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1、思維特訓(xùn)(三)四邊形中幾種 輔助線的小結(jié)
思維特訓(xùn)(三)四邊形中幾種輔助線的小結(jié)
1 -截長(zhǎng)補(bǔ)短法:通過將最長(zhǎng)線段截成較短 的兩局部或?qū)⑤^短線段延長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形解 決線段的和差倍分問題.
2- 在三角形中,一邊的中點(diǎn),常在另一邊 上找一中點(diǎn),從而構(gòu)造中位線解決問題.
3- 在直角三角形中,常作斜邊上的中線得 等腰三角形,然后利用圖形的性質(zhì)等解決問題.
類型一連接對(duì)角線解決問題
1 -如圖3-S-1,在四邊形ABCD中,AB //CD,點(diǎn)E,F(xiàn)在對(duì)角線AC上,且ZABF= ZCDE,AE=CF.
(1) 求證:△ABF^^CDE;
(2) 當(dāng)四邊形ABC^滿足什么條件時(shí),四邊
2、形BFDE是菱形?為什么?
圖3-S-1
2 -如圖 3-S-2,
邊形ABCD和四邊形
DEFG都是正方形,點(diǎn)E G分別在AD,CD上, 連接 AF,BF,CF.
⑴求證:AF=CF;
(2)假設(shè)^^j^=35°,求ZBFC的度數(shù).
圖 3-S-2
類型二截長(zhǎng)補(bǔ)短法解決線段問題
3 -如圖3-S-3,在正方形ABCD中,卩 是AB的中點(diǎn),連接DP,過點(diǎn)B作BE丄DF交 DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AFYAE交DP 于點(diǎn)F,連接BF.
(1)假設(shè)AE=1,求EF的長(zhǎng);
⑵求證:PF=EP+EB.
圖 3-S-3
4 -如圖3-S-4,E是正方形ABCD的邊 BC上
3、的一點(diǎn),ZDAE的平分線AF交BC的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G.
(1)假設(shè) AB=8,BF=16,求 CE 的長(zhǎng);
⑵求證:AE=BE+DG.
圖 3-S-4
5 -在正方形 ABCD 中,ZMAN=45° ,Z
MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB, DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M,N,丄MN于 點(diǎn)H.
(1)如圖3—S—5①,當(dāng)ZMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) 到BM=DN時(shí),請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)
量關(guān)系:
⑵如圖②,當(dāng)乙MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到
還成立嗎?如果不成立 請(qǐng)寫出理由;如果成立, 請(qǐng)證明.
⑶如圖③,ZMAN=45° ,AH丄MN于點(diǎn) H,且MH=2,NH=3,求
4、AH的長(zhǎng).(可利用 (2)中得到的結(jié)論)
圖 3-S-5
類型三構(gòu)造三角形的中位線解決問題
6 ?如圖3-S-6,在四邊形ABCD中,AC 丄 BD,BD=12,AC=16,E,F(xiàn) 分別為 AB, CD的中點(diǎn),求EF的長(zhǎng).
圖 3-S-6
7 -如圖 3—S—7,在△ABC 中,AD 是 BC
1
邊上的中線,點(diǎn)F在AC上,AF=2FC,AD與
BF相交于點(diǎn)E?求證:E是AD的中點(diǎn).
圖 3-S-7
類型四 構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線解
決問題
8 -如圖 3-S-8,ZABC=ZADC=90° ,
M N分別是邊AC,BD的中點(diǎn)?求證:MN丄BD?
圖 3-S-8
5、
9 -如圖 3-S-9,在 RtAABC 中,ZC= 90°,點(diǎn)E在邊AC上,AB=》E,AD〃BC?
求證:ZCBA=3ZCBE.
圖 3-S-9
詳解詳析
1?解:⑴證明:IAB〃CD,???ZBAC= ZDCA.
?:AE=CF,???AE+EF=CF+EF,即 AF
=CE.
在△A/F和ACDE中,
ZBAC=ZDCA,ZABF=ZCDE,AF= CE,
???△ABF 竺△CDE(AAS).
⑵當(dāng)四邊形ABCD滿足AB=AD時(shí),四邊 形BFDE是菱形?理由如下:
連接BD交AC于點(diǎn)O,如下圖.
由(1)得△ABF^^CDE,
:.AB=CD,BF=DE
6、,ZAFB=ZCED, :.BF//DE.
?:AB//CD,AB=CD,
:?四邊形ABCD是平行四邊形.
又?:AB=AD,:?平行四邊形ABCD是菱形,
:BD丄AC?
:BF=DE,BF//DE,
?:四邊形BFDE是平行四邊形? 又: BD丄AC,?:四邊形BFDE是菱形?
2 ?解:(1)證明:I四邊形ABCD和四邊形 DEFG都是正方形,
:.AD=CD,ED=GD,F(xiàn)E=FG,
:.AD-ED=CD-GD,:.AE=CG.
在AAFE和ACFe中,
AE=CG,ZAEF=ZCGF=90° ,F(xiàn)E= FG,
???△AFE^ACFG(SAS),:.AF=C
7、F.
(2)由(1)得AAFE^ACFG,
:.ZAFE=ZCFG.
又?:AB//EF,ZBAF=35。,
:.ZAFE=ZCFG=ZBAF=35° .
連接DF,如圖,???四邊形DEFG是正方形,
:.ZDFG=45° ,
:.Z BFC = 180 ° - ZCFG - ZDFG = 180°-35°-45°=100° .
3 ?解:⑴,??在正方形ABCD中,AB=^, ZBAD=90° ,
???ZDAF+ZBAF=90° .
???AF 丄 AE,
:.ZBAE+ZBAF=90° ,
:.ZBAE=ADAF.
?BE丄DP,
:.ZABE+ZBPE=9
8、0° .
又?:ZADF +ZAPD = 90° ,ZBPE =
ZAPD(對(duì)頂角相等),
:?ZABE=ZADF.
在AABE 和 AADF 中,ZABE=Z^F,
AB=^,ZBAE=ZDAF,
? △ABE 旦△ADF(ASA),
:.AE=AF,
? △AEF是等腰直角三角形.
?AE=1,
?:EF= \2AE= ,2X 1=\2
⑵證明:如圖,過點(diǎn)A作AM丄EF于點(diǎn)
M.
-△AEF是等腰直角三角形,
:?AM=MF=EM?
VP是AB的中點(diǎn),
:.AP=BP.
又VZAPM=ZBPE,ZAMP=ZBEP=
90° ,
:.^AMP^^BEP(
9、AAS),
:.PM=EP,AM=EB.
VPF=PM+MF,
:.PF=EP+EB.
4 ?解:(1)V四邊形ABCD是正方形,AB =8,
:.AB=BC=8,ZB=90°,AD〃BC,
:.ZDAG=ZF.
VAF 平分ZDAE,
:.ZDAG=ZEAF,
:.ZEAF=ZF,
:.AE=EF.
設(shè) CE=x,
那么 BE=8—x,EF=AE=8+x?
在RtAABE中,由勾股定理得82+(8—x)2 = (8+x)2,
解得x=2,
即 CE=2.
(2)證明:如圖,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)M,使BM= DG,連接AM.
???四邊形ABCD是正方形,
:-ZD
10、 = ZABM=90° ,AD=AB,AB〃 CD,
?:Z3=Z2+Z5=Z4.
在 AABM 和 AADG 中,AB=AD,ZABM =ZD,BM=DG,
:.△ABM^AADG(SAS),
?:ZM=Z4,Z6=Z1.
???Z1=Z2(角平分線的定義),
???Z2=Z6,???Z4=ZM=Z3=Z2+Z5
= Z6+Z5,
即 ZM=ZMAE,:.AE=ME.
?:BM=DG,:.AE=BE+DG.
5 ?解:(1)AH=AB
⑵還成立.
證明:如圖,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=DN.
???四邊形ABCD是正方形,:AB=^,Z D=ZABE=90° .
在
11、 RtAAEB 和 RtAAND 中,
AB=^,ZABE=ZD,BE=DN,
:.RtAAEB^RtAAND,
:.AE=AN,ZEAB=ZNAD,
:.ZEAM=ZNAM=45° .
在AAEM和AANM中,
AE=AN,ZEAM=ZNAM,AM=AM,
:.AAEM^AANM,
,em=mn.
又???AB ^AH分別是AAEM和AANM對(duì)應(yīng) 邊上的高,
:.ah=ab.
⑶如圖,分別沿AM,AN翻折AAMH和 △ANH,得到AAMB和皿枷,
?:BM=2,DN=3,ZB = ZD=ZB^= 90° .
分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C,得正方形
ABCD,
由(
12、2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
設(shè) AH=x,那么 MC=x-2,NC=x—3,
在RtAMCN中,由勾股定理,得MN2=
MC2+NC2,
?: 52 = (x — 2)2+(x — 3)2,
解得x1=6,x2=—1(不符合題意,舍去).
:AH的長(zhǎng)為6?
6 ?解:如圖,取邊BC的中點(diǎn)G,連接EG,
fg.
???E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),
:.EG是△ABC的中位線,F(xiàn)G是的 中位線,
:.EG 綊拉,F(xiàn)G 綊2BD.
又???BD=12,AC= 16,AC丄BD,
:.EG=8,F(xiàn)G=6,EG丄FG? 在RtAEGF中,由勾股定理,
EF=
13、EG2+FG2= 82+62=10,
即EF的長(zhǎng)是10.
7 ?證明:如圖,取CF的中點(diǎn)M,連接DM.
?AF=1fC,
:.AF=FM=CM.
?AD是BC邊上的中線,
:.BD=CD,
:.DM是ABFC的中位線,
:.DM//BF.
^AF=FM,
:.AE=DE,
即E是AD的中點(diǎn).
8?證明:如圖,連接BM,DM.
???ZABC=ZADC=90° ,
M是AC的中點(diǎn),
:.BM=DM=AC.
?N是BD的中點(diǎn),
:.MN 丄 BD.
9 ?證明:如圖,取DE的中點(diǎn)F,連接AF.
?: AD//BC,
ZC=90° ,:.ZDAE=ZC=90° ,
:.AF=DF=EF=1DE.
?AB=1DE,
:.DF=AF=AB,
:.ZD=ZDAF,ZAFB=ZABF,
:.ZAFB=ZD+ZDAF=2ZD,
:.ZABF=2ZD.
?: AD/BC,:?ZCBE=ZD,
:.ZCBA = ZCBE^ZABF=3ZCBE.