思維特訓(xùn) 四邊形中幾種輔助線的小結(jié)

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1、思維特訓(xùn)(三)四邊形中幾種 輔助線的小結(jié) 思維特訓(xùn)(三)四邊形中幾種輔助線的小結(jié) 1 -截長(zhǎng)補(bǔ)短法:通過將最長(zhǎng)線段截成較短 的兩局部或?qū)⑤^短線段延長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形解 決線段的和差倍分問題. 2- 在三角形中,一邊的中點(diǎn),常在另一邊 上找一中點(diǎn),從而構(gòu)造中位線解決問題. 3- 在直角三角形中,常作斜邊上的中線得 等腰三角形,然后利用圖形的性質(zhì)等解決問題. 類型一連接對(duì)角線解決問題 1 -如圖3-S-1,在四邊形ABCD中,AB //CD,點(diǎn)E,F(xiàn)在對(duì)角線AC上,且ZABF= ZCDE,AE=CF. (1) 求證:△ABF^^CDE; (2) 當(dāng)四邊形ABC^滿足什么條件時(shí),四邊

2、形BFDE是菱形?為什么? 圖3-S-1 2 -如圖 3-S-2, 邊形ABCD和四邊形 DEFG都是正方形,點(diǎn)E G分別在AD,CD上, 連接 AF,BF,CF. ⑴求證:AF=CF; (2)假設(shè)^^j^=35°,求ZBFC的度數(shù). 圖 3-S-2 類型二截長(zhǎng)補(bǔ)短法解決線段問題 3 -如圖3-S-3,在正方形ABCD中,卩 是AB的中點(diǎn),連接DP,過點(diǎn)B作BE丄DF交 DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AFYAE交DP 于點(diǎn)F,連接BF. (1)假設(shè)AE=1,求EF的長(zhǎng); ⑵求證:PF=EP+EB. 圖 3-S-3 4 -如圖3-S-4,E是正方形ABCD的邊 BC上

3、的一點(diǎn),ZDAE的平分線AF交BC的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G. (1)假設(shè) AB=8,BF=16,求 CE 的長(zhǎng); ⑵求證:AE=BE+DG. 圖 3-S-4 5 -在正方形 ABCD 中,ZMAN=45° ,Z MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB, DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M,N,丄MN于 點(diǎn)H. (1)如圖3—S—5①,當(dāng)ZMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) 到BM=DN時(shí),請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù) 量關(guān)系: ⑵如圖②,當(dāng)乙MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到 還成立嗎?如果不成立 請(qǐng)寫出理由;如果成立, 請(qǐng)證明. ⑶如圖③,ZMAN=45° ,AH丄MN于點(diǎn) H,且MH=2,NH=3,求

4、AH的長(zhǎng).(可利用 (2)中得到的結(jié)論) 圖 3-S-5 類型三構(gòu)造三角形的中位線解決問題 6 ?如圖3-S-6,在四邊形ABCD中,AC 丄 BD,BD=12,AC=16,E,F(xiàn) 分別為 AB, CD的中點(diǎn),求EF的長(zhǎng). 圖 3-S-6 7 -如圖 3—S—7,在△ABC 中,AD 是 BC 1 邊上的中線,點(diǎn)F在AC上,AF=2FC,AD與 BF相交于點(diǎn)E?求證:E是AD的中點(diǎn). 圖 3-S-7 類型四 構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線解 決問題 8 -如圖 3-S-8,ZABC=ZADC=90° , M N分別是邊AC,BD的中點(diǎn)?求證:MN丄BD? 圖 3-S-8

5、 9 -如圖 3-S-9,在 RtAABC 中,ZC= 90°,點(diǎn)E在邊AC上,AB=》E,AD〃BC? 求證:ZCBA=3ZCBE. 圖 3-S-9 詳解詳析 1?解:⑴證明:IAB〃CD,???ZBAC= ZDCA. ?:AE=CF,???AE+EF=CF+EF,即 AF =CE. 在△A/F和ACDE中, ZBAC=ZDCA,ZABF=ZCDE,AF= CE, ???△ABF 竺△CDE(AAS). ⑵當(dāng)四邊形ABCD滿足AB=AD時(shí),四邊 形BFDE是菱形?理由如下: 連接BD交AC于點(diǎn)O,如下圖. 由(1)得△ABF^^CDE, :.AB=CD,BF=DE

6、,ZAFB=ZCED, :.BF//DE. ?:AB//CD,AB=CD, :?四邊形ABCD是平行四邊形. 又?:AB=AD,:?平行四邊形ABCD是菱形, :BD丄AC? :BF=DE,BF//DE, ?:四邊形BFDE是平行四邊形? 又: BD丄AC,?:四邊形BFDE是菱形? 2 ?解:(1)證明:I四邊形ABCD和四邊形 DEFG都是正方形, :.AD=CD,ED=GD,F(xiàn)E=FG, :.AD-ED=CD-GD,:.AE=CG. 在AAFE和ACFe中, AE=CG,ZAEF=ZCGF=90° ,F(xiàn)E= FG, ???△AFE^ACFG(SAS),:.AF=C

7、F. (2)由(1)得AAFE^ACFG, :.ZAFE=ZCFG. 又?:AB//EF,ZBAF=35。, :.ZAFE=ZCFG=ZBAF=35° . 連接DF,如圖,???四邊形DEFG是正方形, :.ZDFG=45° , :.Z BFC = 180 ° - ZCFG - ZDFG = 180°-35°-45°=100° . 3 ?解:⑴,??在正方形ABCD中,AB=^, ZBAD=90° , ???ZDAF+ZBAF=90° . ???AF 丄 AE, :.ZBAE+ZBAF=90° , :.ZBAE=ADAF. ?BE丄DP, :.ZABE+ZBPE=9

8、0° . 又?:ZADF +ZAPD = 90° ,ZBPE = ZAPD(對(duì)頂角相等), :?ZABE=ZADF. 在AABE 和 AADF 中,ZABE=Z^F, AB=^,ZBAE=ZDAF, ? △ABE 旦△ADF(ASA), :.AE=AF, ? △AEF是等腰直角三角形. ?AE=1, ?:EF= \2AE= ,2X 1=\2 ⑵證明:如圖,過點(diǎn)A作AM丄EF于點(diǎn) M. -△AEF是等腰直角三角形, :?AM=MF=EM? VP是AB的中點(diǎn), :.AP=BP. 又VZAPM=ZBPE,ZAMP=ZBEP= 90° , :.^AMP^^BEP(

9、AAS), :.PM=EP,AM=EB. VPF=PM+MF, :.PF=EP+EB. 4 ?解:(1)V四邊形ABCD是正方形,AB =8, :.AB=BC=8,ZB=90°,AD〃BC, :.ZDAG=ZF. VAF 平分ZDAE, :.ZDAG=ZEAF, :.ZEAF=ZF, :.AE=EF. 設(shè) CE=x, 那么 BE=8—x,EF=AE=8+x? 在RtAABE中,由勾股定理得82+(8—x)2 = (8+x)2, 解得x=2, 即 CE=2. (2)證明:如圖,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)M,使BM= DG,連接AM. ???四邊形ABCD是正方形, :-ZD

10、 = ZABM=90° ,AD=AB,AB〃 CD, ?:Z3=Z2+Z5=Z4. 在 AABM 和 AADG 中,AB=AD,ZABM =ZD,BM=DG, :.△ABM^AADG(SAS), ?:ZM=Z4,Z6=Z1. ???Z1=Z2(角平分線的定義), ???Z2=Z6,???Z4=ZM=Z3=Z2+Z5 = Z6+Z5, 即 ZM=ZMAE,:.AE=ME. ?:BM=DG,:.AE=BE+DG. 5 ?解:(1)AH=AB ⑵還成立. 證明:如圖,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=DN. ???四邊形ABCD是正方形,:AB=^,Z D=ZABE=90° . 在

11、 RtAAEB 和 RtAAND 中, AB=^,ZABE=ZD,BE=DN, :.RtAAEB^RtAAND, :.AE=AN,ZEAB=ZNAD, :.ZEAM=ZNAM=45° . 在AAEM和AANM中, AE=AN,ZEAM=ZNAM,AM=AM, :.AAEM^AANM, ,em=mn. 又???AB ^AH分別是AAEM和AANM對(duì)應(yīng) 邊上的高, :.ah=ab. ⑶如圖,分別沿AM,AN翻折AAMH和 △ANH,得到AAMB和皿枷, ?:BM=2,DN=3,ZB = ZD=ZB^= 90° . 分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C,得正方形 ABCD, 由(

12、2)可知,AH=AB=BC=CD=AD. 設(shè) AH=x,那么 MC=x-2,NC=x—3, 在RtAMCN中,由勾股定理,得MN2= MC2+NC2, ?: 52 = (x — 2)2+(x — 3)2, 解得x1=6,x2=—1(不符合題意,舍去). :AH的長(zhǎng)為6? 6 ?解:如圖,取邊BC的中點(diǎn)G,連接EG, fg. ???E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn), :.EG是△ABC的中位線,F(xiàn)G是的 中位線, :.EG 綊拉,F(xiàn)G 綊2BD. 又???BD=12,AC= 16,AC丄BD, :.EG=8,F(xiàn)G=6,EG丄FG? 在RtAEGF中,由勾股定理, EF=

13、EG2+FG2= 82+62=10, 即EF的長(zhǎng)是10. 7 ?證明:如圖,取CF的中點(diǎn)M,連接DM. ?AF=1fC, :.AF=FM=CM. ?AD是BC邊上的中線, :.BD=CD, :.DM是ABFC的中位線, :.DM//BF. ^AF=FM, :.AE=DE, 即E是AD的中點(diǎn). 8?證明:如圖,連接BM,DM. ???ZABC=ZADC=90° , M是AC的中點(diǎn), :.BM=DM=AC. ?N是BD的中點(diǎn), :.MN 丄 BD. 9 ?證明:如圖,取DE的中點(diǎn)F,連接AF. ?: AD//BC, ZC=90° ,:.ZDAE=ZC=90° , :.AF=DF=EF=1DE. ?AB=1DE, :.DF=AF=AB, :.ZD=ZDAF,ZAFB=ZABF, :.ZAFB=ZD+ZDAF=2ZD, :.ZABF=2ZD. ?: AD/BC,:?ZCBE=ZD, :.ZCBA = ZCBE^ZABF=3ZCBE.

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