《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章 §51 第一與第二可數(shù)性公理

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1、第5章有關(guān)可數(shù)性的公理 §5.1第一與第二可數(shù)性公理 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關(guān)系； 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關(guān)連續(xù)映射的不變性、有限可積性、可遺傳性 等問題； 掌握滿足第一可數(shù)性公理的空間中在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)及序列的性質(zhì)； 掌握常見的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間，哪些是第二可數(shù)性公理空間. 從§2.6節(jié)的討論可知，基和鄰域基對于確定拓?fù)淇臻g的拓?fù)浜万?yàn)證映射的連續(xù)性都有 著重要的意義，它們的元素的“個(gè)數(shù)”越少，討論起來越是方便.因此我們試圖對拓?fù)淇臻g 的基或鄰域基的元素“個(gè)數(shù)”加以限制，但又希望加了限制的拓?fù)淇臻g仍能包容絕大多數(shù)

2、常 見的拓?fù)淇臻g，如：歐氏空間、度量空間等.以下的討論表明，將基或鄰域基的元素的“個(gè) 數(shù)”限定為可數(shù)是恰當(dāng)?shù)? 某拓?fù)淇臻g的一個(gè)基或在某一點(diǎn)處的一個(gè)鄰域基，如果是一個(gè)可數(shù)族，我們則分別稱之 為一個(gè)可數(shù)基和一個(gè)可數(shù)鄰域基. 定義5.1.1 一個(gè)拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第二可數(shù) 性公理的空間，或簡稱為&空間. 定理5.1.1實(shí)數(shù)空間R滿足第二可數(shù)性公理 證明 令B為所有以有理數(shù)為它的兩個(gè)端點(diǎn)的開區(qū)間構(gòu)成的族.顯然B是一個(gè)可數(shù)族. 設(shè)U是R中的一個(gè)開集，對于每一個(gè)x￡U，存在實(shí)數(shù)％ >0，使得以x為中心以弓■為半 徑的球形鄰域 B (x, % ) =(x-Wx

3、+F 匚 U 、土口 切 口 x - ev <. <. x <. bv <. x + 選取有理數(shù)X"使得 『 K 『 卸 于是我們有= 2心.這也就是說U可以表示為B中某些成 員之并.這證明了 B是R的一個(gè)基. R有可數(shù)基B,所以R滿足第二可數(shù)性公理. 由于離散空間中的每一個(gè)單點(diǎn)子集都是開集，而一個(gè)單點(diǎn)集不能表為異于自身的非空集 合的并，因此離散空間的每一個(gè)基必定包含著它的所有單點(diǎn)子集.所以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn) 的離散空間是不滿足第二可數(shù)性公理的空間. 定義5.1.2 一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g 是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡稱為也空間.

4、定理5.1.2每一個(gè)度量空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明 設(shè)X是一個(gè)度量空間,x￡X則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成x 處的一個(gè)可數(shù)鄰域基. 例5.1.1不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子. 設(shè)X是包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間.我們證明X在它的任一點(diǎn)處都沒有可數(shù)鄰域 基.因此X不滿足第一可數(shù)性公理. 用反證法來證明這一點(diǎn).設(shè)X在點(diǎn)x￡X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基中.則對于任何y￡X,y尹x, ...0刃U昭即叫匚。｝'，，因此 ｛對叫 將這個(gè)包含關(guān)系式的兩邊分別 ｛X｝；QU 肥 對于X中所有的異于x的點(diǎn)求并，可見 5 ' 由于X是一個(gè)不可數(shù)集，因此上式的左邊是一個(gè)不可數(shù)

5、集；由于W中只有可數(shù)個(gè)元素， 并且每一個(gè)元素的補(bǔ)集都是可數(shù)集，因此上式的右邊是一個(gè)可數(shù)集.矛盾. 定理5.1.3每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明 設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基.對于每一個(gè)x￡X， 根據(jù)定理2.6.7， 氣｛BEB|xEB｝ 是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，它是B的一個(gè)子族所以是可數(shù)族.于是X在點(diǎn)x處有可數(shù)鄰域 基B. 定理5.1.3的逆命題不成立.因?yàn)槿魏我粋€(gè)離散空間顯然滿足第一可數(shù)性公理，而前面 已經(jīng)說過包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理. 定理5.1.4設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y是一個(gè)滿的連續(xù)開映射

6、.如果X滿 足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則Y也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可 數(shù)性公理）.（這是關(guān)于連續(xù)映射下是否保持的性質(zhì)） 證明 設(shè)X滿足第二可數(shù)性公理，月口是它的一個(gè)可數(shù)基.由于f是一個(gè)開映射，互 = {f（B）|B￡‘口}是由Y中開集構(gòu)成的一個(gè)可數(shù)族.只需證明聲是Y的一個(gè)基.設(shè)U是Y中 的一個(gè)開集，則,、）是X中的一個(gè)開集.因此存在‘1仁服'S = 土/ 由于f是一個(gè)滿射，我們有 即U是月口中某些元素的并?這完成5口是Y的一個(gè)基的證明. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補(bǔ)證. 根據(jù)定理5.1.4可見，拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)性公理和滿足第二可

7、數(shù)性公理的性質(zhì)都是 拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱為可遺傳性質(zhì)，如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一 個(gè)子空間也都具有這個(gè)性質(zhì). 例如離散性，平庸性都是可遺傳的性質(zhì)，但連通性卻明顯是不可遺傳的. 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱為對于開子空間（或閉子空間）可遺傳的性質(zhì)，如果一個(gè)拓?fù)淇?間具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一個(gè)開子空間（閉于空間）也都具有這個(gè)性質(zhì). 例如，局部連通性雖然不是可遺傳的性質(zhì)，但對于開子空間卻是可遺傳的.（參見§4.4 習(xí)題第3題）將來我們會接觸到一些對閉子空間可遺傳的性質(zhì). 緊接著的兩個(gè)定理表明拓?fù)淇臻g滿足第一（或第二）可數(shù)性公理的性質(zhì)是可遺傳的，也 是有限可積的.

8、 定理5.1.5滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間的任何一個(gè)子空 間是滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間. 證明 設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基.如果Y是X的一 個(gè)子集，根據(jù)定理3.1.7，集族’>={BCY|BeB}是子空間Y的一個(gè)基，它明顯是可數(shù)族. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補(bǔ)證. 定理5.1.6設(shè)是n個(gè)滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理） 的空間.則積空間滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）. 證明我們只要證明n=2的情形. 設(shè)芍'站都是滿足第二可數(shù)性公理的空間，瑤為分別是它們的可數(shù)基.根據(jù)

9、定理 3. 2. 4,集族 是積空間5 的一個(gè)基，它明顯是一個(gè)可數(shù)族. 本定理當(dāng)n=2時(shí)關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補(bǔ)證. 根據(jù)定理5.1.1,定理5.1.5和定理5.1.6，我們立即可知：（事實(shí)上，這個(gè)推論也容 易直接證明（參見習(xí)題1）.） 推論5.1.7 n維歐氏空間衣”的每一個(gè)子空間都滿足第二可數(shù)性公理. 本節(jié)的余下部分我們討論滿足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質(zhì).讀者將會看到在這 種拓?fù)淇臻g中序列的性質(zhì)與我們在數(shù)學(xué)分析中見到過的有著較多的類似之處，特別是定理 2.7.2和定理2.7.3的逆命題對于這類拓?fù)淇臻g成立. 定理5.1.8設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如

10、果在xeX處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則在點(diǎn)x 處有一個(gè)可數(shù)鄰域基｛耳｝，以+使得對于任何iu Z+有 "S+1，即 U2 n … 證明 設(shè)｛*｝是點(diǎn)x￡X處的一個(gè)可數(shù)鄰域基.對于每一個(gè)i，+，令 容易直接驗(yàn)證'耳"藏+便是點(diǎn)X處的滿足定理要求的一個(gè)可數(shù)鄰域基. (即￡皿點(diǎn)+是個(gè)鄰域基套，一個(gè)套一個(gè)的.這個(gè)定理常用來選取趨向于x的序列中的 點(diǎn).) 定理5.1.9設(shè)X是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，AUX.則點(diǎn)x￡X是集合A 的一個(gè)凝聚點(diǎn)的充分必要條件是在集合A— ｛x｝中有一個(gè)序列收斂于x. 證明 定理的充分性部分的證明已見于第二章定理2.7.2,以下完成必要性部分的證 明. 設(shè)x￡X是集

11、合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，并且根據(jù)定理5.1.8可設(shè)￡皿點(diǎn)+是點(diǎn)x處的一個(gè)可 數(shù)鄰域基套，滿足條件：對于每一個(gè)，<'+,禺叫由于對)*0，可 選取.序列｛%是在入一&｝中的.我們證明1諭互=x(xf8)如下： 如果U是x的一個(gè)鄰域，則由于'”上以+是x處的一個(gè)鄰域基套，所以存在N>O使得 "奴匚".于是當(dāng)iAN時(shí)，我們有 定理5.1.10設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X滿足第一可數(shù)性公理；x￡X.則 映射f:XfY在點(diǎn)x￡X處連續(xù)的充分必要條件是：如果X中的序列｛互｝收斂于x，則Y 中的序列｛f (勺｝收斂于f(x). 證明 定理的必要性部分的證明已見于定理2.7.3，以下完成充分性部分的證明.

12、 假設(shè)定理中陳述的條件成立，我們要證明映射f：X-Y在點(diǎn)x處連續(xù).用反證法.假設(shè) 映射f在點(diǎn)x處不連續(xù)，這也就是說f(x)有一個(gè)鄰域V,使得廠")不是x的鄰域.而這 又意味著，x的任何一個(gè)鄰域U都不能包含在了 1 (V)中，即對于x的任何一個(gè)鄰域U，包 a*玄。匚了才術(shù)工 出普曰咨 如) 含關(guān)系" ' '不成立，也就是說"' 7 總括上一段的論證可見：f (x)有一個(gè)鄰域V使得對于x的任何一個(gè)鄰域U有 現(xiàn)在設(shè)￡皿點(diǎn)+是點(diǎn)x處的一個(gè)可數(shù)鄰域基，滿足條件：對于每一個(gè)i e'+, ”CL、.選取&司' 使得f(七)Ef(U)cW,即'(叫)隹礦.明顯地，序列｛氣｝ 收斂于X.然而序列｛f(%)｝在f (x)的鄰域V中卻沒有任何一個(gè)點(diǎn)，所以不收斂于f (x).這 與反證假設(shè)矛盾.因此反證假設(shè)不成立，所以映射f在點(diǎn)x處連續(xù). 定理5.1.11設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X滿足第一可數(shù)性公理.則映射 f：X-Y是一個(gè)連續(xù)映射的充分必要條件是：如果X中的序列｛誑｝收斂于xCX，則Y中 的序列｛f (誑)｝收斂于f (x). 證明這是因?yàn)橐粋€(gè)映射是一個(gè)連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)映射在它的定義域的每一個(gè)點(diǎn) 處連續(xù)?(參見定理2.3.5.) 作業(yè)： P139 1. 6.