《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章 第1節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 講義》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章 第1節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 講義（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第1節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.
3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
1.角的概念的推廣
(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.
(2)分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.按終邊位置不同分為象限角和軸線角.
(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制
(1)定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,用符號 rad表示,讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)
2、正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.
(2)角α的弧度數(shù)公式:在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角為α rad,則|α|=lr.
(3)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°=π180 rad≈0.017 45 rad,1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′.
(4)扇形的弧長公式:l=|α|·r,扇形的面積公式:S=12lr=12|α|·r2.
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義
設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=yx(x≠0).
(2)三角函數(shù)值的符號規(guī)律
3、
三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)
設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于原點(diǎn)O的任一點(diǎn),其到原點(diǎn)O的距離為r,則sin α=yr,cos α=xr,tan α=yx(x≠0).
1.扇環(huán)的面積公式S=12(l+l′)(r-r′).其中l(wèi),l′是扇環(huán)的兩條弧長,r,r′是兩條弧所在圓的半徑,且r>r′.
2.面積(周長)一定的扇形,周長最小(面積最大)時(shí),扇形的弧長l與半徑r滿足l=2r,即扇形圓心角等于2 rad.
3.若角α∈(0,π2),則sin α<α
4、角-860°的終邊所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:-860°=-2×360°-140°,-860°和-140°的終邊相同,故-860°的終邊在第三象限.故選C.
2.下列與9π4的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是( C )
A.2kπ-45°(k∈Z)
B.k·360°+94π(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+5π4(k∈Z)
解析:與9π4的終邊相同的角可以寫成2kπ+9π4(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有C正確.故選C.
3.若角θ同時(shí)滿足sin θ<0且tan θ<0,則角θ
5、的終邊一定落在( D )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由sin θ<0,可知θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合;由tan θ<0,可知θ的終邊可能位于第二或第四象限.故θ的終邊只能位于第四象限.故選D.
4.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M(12,y),則sin α等于( B )
A.32 B.±32
C.22 D.±22
解析:由題意知r2=(12)2+y2=1,所以y=±32.由三角函數(shù)的定義知
sin α=y=±32.故選B.
5.角-225°= 弧度,這個(gè)角在第 象限.?
答案:-5
6、π4 二
6.已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧長是144 mm,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為 rad.?
解析:由題意知α=lr=144120 rad=1.2 rad.
答案:1.2
象限角及終邊相同的角
1.若角α是第二象限角,則α2是( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
解析:因?yàn)棣潦堑诙笙藿?
所以π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,
所以π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z.
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),α2是第一象限角;
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),α2是第三象限角.
綜上,α2是第一或第三象限角.故選C.
7、
2.-2 021°角是第 象限角,與-2 021°角終邊相同的最小正角是 ,最大負(fù)角是 .?
解析:因?yàn)?2 021°=-6×360°+139°,所以-2 021°角的終邊與139°角的終邊相同.所以-2 021°角是第二象限角,與-2 021°角終邊相同的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故與-2 021°角終邊相同的最大負(fù)角是-221°.
答案:二 139° -221°
3.終邊在直線y=3x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為 .?
解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=3x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是π3,在[0,2π)內(nèi),終邊在
8、直線y=3x上的角有兩個(gè):π3,4π3;在[-2π,0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè):-2π3,-5π3,故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為(5π3,-2π3,π3,4π3).
答案:(-5π3,-2π3,π3,4π3)
4.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角α的集合用弧度制可表示為 .?
解析:在[0,2π)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為(π4,5π6),
所以所求角的集合為
{α2kπ+π4<α<2kπ+5π6,k∈Z}.
答案:{α2kπ+π4<α<2kπ+5π6,k∈Z}
1.象限角的判定有兩種方法:
(1)圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中,作出
9、已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.
(2)轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.
2.由α所在象限判定α2所在象限,應(yīng)先確定α2的范圍,并對整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論.
3.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟:
(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.
(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°～360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間.
(3)起始、終止邊界對應(yīng)角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.
弧長公式與扇形的弧長和面積公
10、式
已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l.若α=π3,R=10 cm,求扇形的面積.
解:由已知得α=π3,R=10,
所以S扇形=12α·R2=12·π3·102=50π3(cm2).
[典例遷移1] 若本例條件不變,求扇形的弧長及該弧所在弓形的
面積.
解:l=α·R=π3×10=10π3(cm),
S弓形=S扇形-S三角形
=12·l·R-12·R2·sin π3
=12·10π3·10-12·102·32
=50π-7533(cm2).
[典例遷移2] 若本例條件改為:“若扇形周長為20 cm”,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?
解:由
11、已知得,l+2R=20,
即l=20-2R(0
12、s α=-45,則m的值為( )
A.-12 B.12 C.-32 D.32
解析:因?yàn)閞=64m2+9,
所以cos α=-8m64m2+9=-45,
所以m>0,所以4m264m2+9=125,即m=12.故選B.
利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法
(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解.
(2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解.
三角函數(shù)值的符號判定
(2021·山西四校聯(lián)考)已知sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,則點(diǎn)P(
13、tan θ,sin θ)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由|cos θ|=-cos θ可知cos θ≤0,由sin 2θ=2sin θ
cos θ<0可知cos θ<0,sin θ>0,所以tan θ<0,所以點(diǎn)
P(tan θ,sin θ)在第二象限.故選B.
三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號與角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)密切相關(guān).sin θ在一、二象限為正,cos θ在一、四象限為正,tan θ在一、三象限為正.特別地,三角函數(shù)的正負(fù)有時(shí)還要考慮坐標(biāo)軸上的角,如sin π2=1>0,cos π=-1<0.
[針對訓(xùn)練]
1.已知角θ的頂點(diǎn)與
14、原點(diǎn)重合,始邊與x軸正半軸重合,若A(x,3)是角θ終邊上一點(diǎn)且cos θ=-1010,則x等于( )
A.-33 B.33 C.1 D.-1
解析:cos θ=-1010<0及A(x,3)是角θ終邊上一點(diǎn)?x<0,由三角函數(shù)的定義,得xx2+9=-1010,解得x=-1.故選D.
2.若sin αtan α<0,且cosαtanα<0,則角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α異號,則α為第二或第三象限角;由cosαtanα<0可知cos α,tan α異號,則α為第三或第
15、四象限角.綜上可知,α為第三象限角.故選C.
若α=k·180°+45°(k∈Z),則α在( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析:當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),α=2n·180°+45°=n·360°+45°,α為第一象限角.當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),α=(2n+1)·180°+45°=n·360°+
225°,α為第三象限角.所以α為第一或第三象限角.故選A.
已知扇形的周長是4 cm,則扇形面積最大時(shí),扇形的圓心角的弧度數(shù)是( )
A.2 B.1
C.12 D.3
解析:設(shè)此扇形的半徑為r,弧長為l,圓心角
16、為α,則2r+l=4,即l=4-2r(0
17、上逆時(shí)針運(yùn)動,其初始位置為P0(2,-2),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為( )
解析:因?yàn)镻0(2,-2),所以∠P0Ox=-π4.按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后,得
∠POx=t-π4.由三角函數(shù)的定義知,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin(t-π4),因此d=2|sin(t-π4)|.
令t=0,則d=2|sin(-π4)|=2,當(dāng)t=π4時(shí),d=0.故選C.
已知2弧度的圓心角所對的弦長為1,那么這個(gè)圓心角所對的弧長是 .?
解析:如圖所示,設(shè)半徑為R,
則12R=sin 1,所以R=12sin1,
弧長l=αR=2R=1sin1.
答案
18、:1sin1
知識點(diǎn)、方法
基礎(chǔ)鞏固練
綜合運(yùn)用練
應(yīng)用創(chuàng)新練
角的概念的推廣
1
終邊相同角的表示方法
5,8
12
15
弧度制及其應(yīng)用
3,7
11,13
14
三角函數(shù)的定義及應(yīng)用
2,4,6
9,10
1.給出下列四個(gè)命題:
①-3π4是第四象限角;②4π3是第三象限角; ③-410°是第四象限角;④-300°是第一象限角.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:-3π4是第三象限角,故①錯(cuò)誤.4π3=π+π3,從而4π3是第三象限角,②正確.-410°=-360°-50°,從而③正
19、確.-300°=-360°+60°,從而④正確.故選C.
2.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-12,y),則sin α·tan α等于( C )
A.-33 B.±33 C.-32 D.±32
解析:由|OP|2=14+y2=1,
得y2=34,y=±32.
當(dāng)y=32時(shí),sin α=32,tan α=-3,
此時(shí),sin α·tan α=-32.
當(dāng)y=-32時(shí),sin α=-32,tan α=3,
此時(shí),sin α·tan α=-32.故選C.
3.已知圓上的一段弧長等于該圓內(nèi)接正方形的邊長,則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)為( C )
A.24 B.22
20、C.2 D.22
解析:設(shè)圓的半徑為r,則該圓內(nèi)接正方形的邊長為2r,即這段圓弧長為2r,則該圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為2rr=2.故選C.
4.已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長線上,且|OM|=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為( C )
A.(2cos θ,2sin θ) B.(-2cos θ,2sin θ)
C.(-2cos θ,-2sin θ) D.(2cos θ,-2sin θ)
解析:由題意知,M的坐標(biāo)為(2cos(π+θ),
2sin(π+θ)),即(-2cos θ,-2sin θ).故選C.
5.在(0,2π)內(nèi),使sin x>cos x成立的x的取值范圍為( D )
A.( π
21、4,π2)∪(π,5π4) B.( π4,π)
C.( π4,π)∪(5π4,3π2) D.( π4,5π4)
解析:如圖所示,找出在(0,2π)內(nèi),使sin x=cos x成立的x的值,
sin π4=cos π4=22,sin 5π4=cos 5π4=-22.滿足題中條件的角x∈(π4,5π4).故選D.
6.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,m)(m>0),則下列各式的值一定為負(fù)的是( CD )
A.sin α+cos α B.sin α-cos α
C.sin αcos α D.sinαtanα
解析:由已知得r=|OP|=m
22、2+1,則sin α=mm2+1>0,cos α=
-1m2+1<0,tan α=-m<0,所以sin α+cos α的符號不確定,sin α-cos α>0,sin αcos α<0,sinαtanα=cos α<0.故選CD.
7.已知扇形的圓心角為π6,面積為π3,則扇形的弧長等于 .?
解析:設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,
則lr=π6,12lr=π3,解得l=π3,r=2.
答案:π3
8.若α=1 560°,角θ與角α終邊相同,且-360°<θ<360°,則θ= .?
解析:因?yàn)棣?1 560°=4×360°+120°,
所以與α終邊相同的角為360°×k
23、+120°,k∈Z,
令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°.
答案:120°或-240°
9.△ABC為銳角三角形,若角θ的終邊過點(diǎn)P(sin A-cos B,cos A-
sin C),則sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值為( B )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
解析:由△ABC為銳角三角形,可知A+B>π2,即A>π2-B,又A,B∈(0,π2),所以sin A>cos B,所以sin A-cos B>0,同理cos A-sin C<0,所以θ為第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以si
24、nθ|sinθ|+
cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|=-1+1-1=-1.故選B.
10.頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在x軸的正半軸上的角α,β的終邊與單位圓交于A,B兩點(diǎn),若α=30°,β=60°,則弦AB的長為 .?
解析:由三角函數(shù)的定義得A(cos 30°,sin 30°),
B(cos 60°,sin 60°),即A(32,12),B(12,32).
所以|AB|=(12-32)?2+(32-12)?2=
2×(32-12)=6-22.
答案:6-22
11.若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1∶4,則這兩個(gè)扇形的周長之比為 .?
解析:設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角
25、的弧度數(shù)為α,半徑分別為r,R(其中r
26、是1,正方形邊長也是1,所以△BCE為正三角形,圓心角∠EBC,∠ECB都是π3,lBE=π3×1=π3,∠EBA=
π2-π3=π6,lAE=π6×1=π6,所以曲邊三角形ABE的周長是1+π3+π6=1+π2.
答案:1+π2
14.已知圓O與直線l′相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),P沿著直線l′向右,Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動,當(dāng)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P也停止運(yùn)動,連接OQ,OP(如圖),則陰影部分面積S1,S2的大小關(guān)系是 .?
解析:因?yàn)橹本€l′與圓O相切,所以O(shè)A⊥AP,設(shè)AQ的長為l,
所以S扇形AOQ=12·l·r=12·l·OA,
S△A
27、OP=12·OA·AP,
因?yàn)閘=AP,
所以S扇形AOQ=S△AOP,
即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,
所以S1=S2.
答案:S1=S2
15.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動,若兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動,若紅螞蟻每秒爬過α角,黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°), 如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn),并且在第2秒時(shí)均位于第二象限,則α=
,β= .?
解析:根據(jù)題意可知14α,14β均為360°的整數(shù)倍,故可設(shè)14α=
m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z, 從而可知α=m7·180°,
β=n7·180°,m,n∈Z.
又由兩只螞蟻在第2秒時(shí)均位于第二象限,則2α,2β在第二象限.
又0°<α<β<180°,從而可得0° <2α<2β<360°,
因此2α,2β均為鈍角,即90° <2α<2β<180°.
于是45°<α<90°,45°<β<90°.
所以45°
2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章 第1節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 講義
