2、 )
A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
解析:選C.0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.故選C.
3.(2020·江西撫州模擬)設(shè)a,b∈R,現(xiàn)給出下列五個(gè)條件:①a+b=2;②a+b>2;③a+b>-2;④ab>1;⑤logab<0(a>0,且a≠1).其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件為( )
A.②③④ B.②③④⑤
3、C.①②③⑤ D.②⑤
解析:選D.a=b=1時(shí),a+b=2,所以推不出a,b中至少有一個(gè)大于1,①不符合;當(dāng)a=b=0時(shí),a+b>-2,推不出a,b中至少有一個(gè)大于1,③不符合;當(dāng)a=b=-2時(shí),ab>1,推不出a,b中至少有一個(gè)大于1,④不符合;對(duì)于②,假設(shè)a,b都不大于1,即a≤1,b≤1,則a+b≤2,與a+b>2矛盾,所以②能推出a,b中至少有一個(gè)大于1;對(duì)于⑤,假設(shè)a,b都不大于1,則logab≥loga1=0,與logab<0矛盾,故⑤能推出a,b中至少有一個(gè)大于1.綜上,選D.
4.已知函數(shù)f(x)=,a,b是正實(shí)數(shù),A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關(guān)系為(
4、 )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
解析:選A.因?yàn)椤荨?,又f(x)=在R上是減函數(shù),所以f≤f()≤f,即A≤B≤C.
5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)f(x)是減函數(shù),若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒為負(fù)值 B.恒等于零
C.恒為正值 D.無法確定
解析:選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)f(x)遞減,可知f(x)是R上的減函數(shù),
由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)b>0
5、,則①<;②ac2>bc2;③a2>b2;④>,其中正確的序號(hào)是________.
解析:對(duì)于①,因?yàn)閍>b>0,所以ab>0,>0,a·>b·,即>.故①正確;
當(dāng)c=0時(shí),②不正確;由不等式的性質(zhì)知③④正確.
答案:①③④
7.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N+,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為________.
解析:由條件得cn=an-bn=-n=,
所以cn隨n的增大而減小,所以cn+1
6、42n+1 152n的個(gè)位數(shù)字,則an=________.
解析:42n的個(gè)位數(shù)字與2n的個(gè)位數(shù)字相同,1 152n的個(gè)位數(shù)字也與2n的個(gè)位數(shù)字相同,從而42n+1 152n的個(gè)位數(shù)字與2n+1的個(gè)位數(shù)字相同,而2n+1的個(gè)位數(shù)字是以4為周期的數(shù)列,即4,8,6,2,….故42n+1 152n的個(gè)位數(shù)字是以4為周期的數(shù)列:4,8,6,2,….所以an=(4+8+6+2)×504=10 080.
答案:10 080
9.已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b.
證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)
=(a2-b2)(2a+b)=(
7、a-b)(a+b)(2a+b).
因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,
即2a3-b3≥2ab2-a2b.
10.已知非零向量a,b,且a⊥b,求證:≤.
證明:a⊥b?a·b=0,
要證≤.
只需證|a|+|b|≤|a+b|,
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2),
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,
只需證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即證(|a|-|b|)2≥0,
上式顯然成立,故原不等式得證.
[綜合題組練]
1.已知a,b,
8、c∈R,若·>1且+≥-2,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a(chǎn),b,c同號(hào)
B.b,c同號(hào),a與它們異號(hào)
C.a(chǎn),c同號(hào),b與它們異號(hào)
D.b,c同號(hào),a與b,c的符號(hào)關(guān)系不確定
解析:選A.由·>1知與同號(hào),
若>0且>0,不等式+≥-2顯然成立,
若<0且<0,則->0,->0,
+≥2 >2,即+<-2,
這與+≥-2矛盾,故>0且>0,即a,b,c同號(hào).
2.在等比數(shù)列{an}中,“a1
9、,
由a10,則11,
此時(shí),顯然數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,
若a1<0,則1>q>q2,即02時(shí),關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解.”經(jīng)歷三百多年,于二十世紀(jì)九十年代中期,英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想,使它終成費(fèi)馬大定理.則下面說法正確的是( )
A.至少存在一組正
10、整數(shù)組(x,y,z),使方程x3+y3=z3有解
B.關(guān)于x,y的方程x3+y3=1有正有理數(shù)解
C.關(guān)于x,y的方程x3+y3=1沒有正有理數(shù)解
D.當(dāng)整數(shù)n>3時(shí),關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒有正實(shí)數(shù)解
解析:選C.由于B,C兩個(gè)命題是對(duì)立的,故正確選項(xiàng)是這兩個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè).假設(shè)關(guān)于x,y的方程x3+y3=1有正有理數(shù)解,則x,y可寫成整數(shù)比值的形式,不妨設(shè)x=,y=,其中m,n為互質(zhì)的正整數(shù),a,b為互質(zhì)的正整數(shù),代入方程得+=1,兩邊同時(shí)乘以a3n3,得(am)3+(bn)3=(an)3.由于am,bn,an都是正整數(shù),這與費(fèi)馬大定理矛盾,所以假設(shè)不成立,所以關(guān)于x,
11、y的方程x3+y3=1沒有正有理數(shù)解.故選C.
4.(一題多解)若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________.
解析:法一(補(bǔ)集法):
令解得p≤-3或p≥,
故滿足條件的p的取值范圍為.
法二(直接法):
依題意有f(-1)>0或f(1)>0,
即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,
得-<p<1或-3<p<,
故滿足條件的p的取值范圍是.
答案:
5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),若f(c)=0,且0
12、f(x)>0.
(1)證明:是f(x)=0的一個(gè)根;
(2)試比較與c的大??;
(3)證明:-20,
由00,
知f>0與f=0矛盾,
所以≥c,又因?yàn)椤賑,所以>c.
(3)證明:由f(c)=0,得ac+b+1=0,
所以b=-1-ac.
又a>0,c>0,所以b<-1.
二次函數(shù)f(x
13、)的圖象的對(duì)稱軸方程為
x=-=<=x2=,
即-<.
又a>0,所以b>-2,
所以-2-2)使函數(shù)h(x)=在區(qū)間[a,b](a>-2)上是“四維光軍”函數(shù),
因?yàn)閔(x)=在區(qū)間(-2,+∞)上是減少的,
所以有即
解得a=b,這與已知a