2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第8講 函數(shù)與方程練習 理 北師大版

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1、第8講 函數(shù)與方程 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·河南商丘九校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝(x2－1)·的零點個數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選B.要使函數(shù)有意義，則x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選B. 2．函數(shù)y＝x－4·的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選B.因為y＝f(x)＝x－4＝x－是R上連續(xù)遞增的函數(shù)，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所

2、以f(1)·f(2)<0，故函數(shù)y＝x－4·的零點所在的區(qū)間為(1，2)．故選B. 3．(2020·福建晉江四校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y＝log3x與y＝3－x的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選C.令m(x)＝log3x＋x－3，則函數(shù)m(x)＝log3x＋x－3的零點所在的區(qū)間即為函數(shù)y＝log3x與y＝3－x的圖象的交點的橫坐標所在的區(qū)間．因為m(x)＝log3x＋x－3遞增且連續(xù)，且滿足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零點在(2，3)內(nèi)，從而可知方程log3x＋x－3

3、＝0的解所在的區(qū)間是(2，3)，即函數(shù)y＝log3x與y＝3－x的圖象交點的橫坐標x0所在的區(qū)間是(2，3)．故選C. 4．(2020·河南焦作統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)在(－6，＋∞)上的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.由題知函數(shù)f(x)＝在(－6，＋∞)上有零點，則或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函數(shù)f(x)在(－6，＋∞)上的零點個數(shù)為3.故選C. 5．(2020·河北張家口模擬)已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B． C．(0，1) D．

4、解析：選A.g(x)有三個零點，即y＝f(x)與y＝mx的圖象有三個交點，作出y＝f(x)和y＝mx的圖象如圖．當y＝mx與y＝f(x)相切時，設(shè)切點坐標為(x0，ln x0)，則解得m＝.則當0

5、數(shù)f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點個數(shù)為________． 解析：如圖，作出g(x)＝與h(x)＝cos x的圖象，可知其在[0，2π]上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0，2π]上的零點個數(shù)為3. 答案：3 8．函數(shù)f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________． 解析：可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y＝與y＝－2cos πx在[－4，6]上的交點的橫坐標的和，因為兩個函數(shù)均關(guān)于x＝1對稱，所以兩個函數(shù)在x＝1兩側(cè)的交點對稱，則每對對稱點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數(shù)的圖象易知兩個函數(shù)在x＝1兩側(cè)分別有5個交點，所以5×2＝10.

6、 答案：10 9．關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0，2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍． 解：顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，00)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)當0

7、示． (2)因為f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 由00，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故選B.

8、2．(2020·湖南婁底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，則x1x2等于(　　) A．1 B．－1 C．e D． 解析：選A.考慮到x1，x2是函數(shù)y＝ex、函數(shù)y＝ln x與函數(shù)y＝的圖象的交點A，B的橫坐標，而A，B兩點關(guān)于y＝x對稱，因此x1x2＝1.故選A. 3．(2020·湘贛十四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，有且只有1個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______． 解析：當a>0時，函數(shù)y＝ax－3(x>0)必有一個零點，又因為－<0，故a＋2＋a>0，解得a>1；當a＝0時，f(x)＝恰有一個零點；當a<0時，若x>0，則f(x)＝ax－3<

9、0，若x≤0，則f(x)＝ax2＋2x＋a，此時，f(x)恒小于0，所以當a<0時，f(x)無零點，故答案為a＝0或a>1. 答案：a＝0或a>1 4．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析： 在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝a|x|的圖象可知，若滿足條件，則a＞0. 當a≥2時，在y軸右側(cè)，兩函數(shù)圖象只有一個公共點， 此時在y軸左側(cè)，射線y＝－ax(x≤0)與拋物線y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切． 由消去y， 得x2＋(5－a)x＋4＝0. 由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得

10、a＝1或a＝9. a＝1與a≥2矛盾，a＝9時，切點的橫坐標為2，不符合題意． 當0＜a＜2，此時，在y軸右側(cè)，兩函數(shù)圖象有兩個公共點，若滿足條件，則－a＜－1，即a＞1.故1＜a＜2. 答案：(1，2) 5．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g(f(1))的值； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)利用解析式直接求解得 g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數(shù)y＝g(t)(t<1

11、)與y＝a的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù)y＝g(t)(t<1)的圖象如圖，由圖象可知，當1≤a<時，函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝，x∈R且x≠1. (1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值； (2)就m的取值情況，討論關(guān)于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的個數(shù)． 解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝，則f＝＝＝－， 則f(x)＋f＝0， 則f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0. (2)根據(jù)題意

12、，設(shè)g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2， 令t＝x－1，又由x∈[2，3]，則t∈[1，2]， 則設(shè)h(t)＝t＋＋2，有h′(t)＝1－＝， 分析可得，在區(qū)間[1，)上，h(t)遞減，在區(qū)間[，2]上，h(t)遞增； 則h(t)在[1，2]有最小值h()＝2＋2， 且h(1)＝h(2)＝5， 則函數(shù)h(t)在區(qū)間[1，2]上有最大值5，最小值2＋2， 方程f(x)＋x＝m的解的個數(shù)即為函數(shù)g(x)與直線y＝m的交點個數(shù)， 分析可得，當m＜2＋2時，函數(shù)g(x)與直線y＝m沒有交點，方程f(x)＋x＝m無解； 當m＝2＋2時，函數(shù)g(x)與直線y＝m有1個交點，方程f(x)＋x＝m有1個解； 當2＋2＜m≤5時，函數(shù)g(x)與直線y＝m有2個交點，方程f(x)＋x＝m有2個解； 當m＞5時，函數(shù)g(x)與直線y＝m沒有交點，方程f(x)＋x＝m無解； 綜上可得，當m＜2＋2或m＞5時，方程f(x)＋x＝m無解； 當m＝2＋2時，方程f(x)＋x＝m有1個解； 當2＋2＜m≤5時方程f(x)＋x＝m有2個解． 7