人教高中數(shù)學(xué)必修四2.4 平面向量的數(shù)量積 教案 b

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1、教案 B第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能1. 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2. 體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算二、過程與方法體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)參與、積極探究，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)問題探究的樂趣和成功的喜悅，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角教學(xué)難點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教 具多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)

2、容分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)流程概念引入概念獲得簡(jiǎn)單運(yùn)用運(yùn)算律探究理解掌握反思提高教學(xué)設(shè)想：一、情境設(shè)置：?jiǎn)栴}1：回憶一下物理中“功”的計(jì)算，功的大小與哪些量有關(guān)？結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是與的夾角（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)功這個(gè)物理量所涉及的物理量，從“向量相乘”的角度進(jìn)行分析）二、新課講解1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們

3、的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為0問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果還是向量嗎？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清向量數(shù)量積運(yùn)算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量）注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積ab，而ab是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“”代替（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，

4、且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因?yàn)槠渲衏osq有可能為0（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c（b0），則ab=bc a=c但是在向量的數(shù)量積中，ab = bc 推導(dǎo)不出a = c .如下圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但a c. （5）在實(shí)數(shù)中，有（ab）c = a（bc），但是在向量中，（ab）c a（bc） 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線（ “投影”的概念）：作圖2定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，

5、不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b|3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積例1 已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|=2，|=1，|=，求+的值. 解:由已知,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90,從而sinABC=，sinBAC=.ABC=60，BAC=30.與的夾角為120，與的夾角為90，與的夾角為150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4. 點(diǎn)評(píng):確定兩個(gè)向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點(diǎn)

6、相同,再考察其角的大小,而不是簡(jiǎn)單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120,而不是60.探究1：非零向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí)為正，何時(shí)為0 ，何時(shí)為負(fù)？當(dāng)0 90時(shí)ab為正；當(dāng) =90時(shí)ab為零；90 180時(shí)ab為負(fù).探究2：兩個(gè)向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號(hào)，那么它們共線或垂直時(shí)，數(shù)量積有什么特殊性呢？4兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量（1）ab ab = 0（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或（3） |ab| |a|b|公式變形：cosq =探究3：對(duì)一種運(yùn)算自然會(huì)涉及運(yùn)算律，回憶過

7、去研究過的運(yùn)算律，向量的數(shù)量積應(yīng)有怎樣的運(yùn)算律？（引導(dǎo)學(xué)生類比得出運(yùn)算律，老師作補(bǔ)充說明）向量a、b、c 和實(shí)數(shù)，有 （1） a b= b a （2）（a） b= （a b ）= a（b） （3）（a +b） c = a c+ b c（進(jìn)一步）你能證明向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？（引導(dǎo)學(xué)生證明（1）、（2）例2 判斷正誤：a00；0a；0-；aa；若a0，則對(duì)任一非零有a；a，則a與中至少有一個(gè)為0；對(duì)任意向量a，都有（a）（）；a與是兩個(gè)單位向量，則a上述8個(gè)命題中只有正確；例3 已知a，當(dāng)a，a，a與的夾角是60時(shí)，分別求a解：當(dāng)a時(shí)，若a與同向，則它們的夾角，aacos036118；若a與反向

8、，則它們的夾角180，aacos18036（-1）-18；當(dāng)a時(shí)，它們的夾角90，a；當(dāng)a與的夾角是60時(shí)，有aacos60369評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)a時(shí)，有0或180兩種可能評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律三、課堂練習(xí)1已知|a|=1，|b|=，且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，若|a|=|b|則（a+b）與（a-b） .4已知向量a、b的夾角為，|

9、a|=2，|b|=1，則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知|a|=1，|b|=，（1）若ab，求ab；（2）若a、b的夾角為45，求|a+b|；（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角參考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：（1）若a、b方向相同，則ab=；若a、b方向相反，則ab=；（2）|a+b|=（3）45四、知識(shí)小結(jié)（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？（2）關(guān)于向量的數(shù)量積，你還有什么問題？五、課后作業(yè)教材第108頁(yè)習(xí)題24 A組 1、2、3、6、7教學(xué)后記數(shù)學(xué)課

10、堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)是以學(xué)生為主體的活動(dòng)，沒有學(xué)生積極參與的課堂教學(xué)是失敗的本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)按照“問題討論解決”的模式進(jìn)行，并以學(xué)生為主體，教師以課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、評(píng)價(jià)者、組織者和參與者同學(xué)生一起探索平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)和運(yùn)算律的形成與發(fā)展過程始終做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思維為主攻、訓(xùn)練為主線”第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo) 一、知識(shí)與技能掌握平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用二、過程與方法1.通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會(huì)向量的代數(shù)性和幾何性.2.從具體應(yīng)用體會(huì)向量數(shù)量積的作用三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀學(xué)會(huì)對(duì)待不同問題用不同的方法分析的態(tài)度 .教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：

11、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用.教 具多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想一、復(fù)習(xí)引入向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題二、探究新知： 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量，試用和的坐標(biāo)表示設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國(guó)有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生

12、的語(yǔ)文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語(yǔ)文水平的重要前提和基礎(chǔ)。所以又，所以這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即2 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（1）設(shè)，則或如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）（2）向量垂直的判定設(shè)，則（3）兩非零向量夾角的余弦（） cosq =三、例題講解例1 已知a = （3， -1），b = （1， 2），求滿足xa = 9與xb = -4的向量x解：設(shè)x = （t， s）， 由 . x = （2，-3）.例2 已知a（，），b（，-），則a與b的夾角是多少

13、？ 分析：為求a與b夾角，需先求ab及ab，再結(jié)合夾角的范圍確定其值解：由a（，），b（，-）.有ab（-），a，b記a與b的夾角為，則.又，.評(píng)述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定例3 如圖，以原點(diǎn)和A（5， 2）為頂點(diǎn)作等腰直角OAB，使B = 90，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo)解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)（x， y），則= （x， y），= （x-5， y-2）. x（x-5） + y（y-2） = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| = | x2 + y2 = （x-5）2 + （y-2）2即：10 x + 4y = 29.由.B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或 .例4在ABC中，=（2， 3），

14、=（1， k），且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值解：當(dāng)A = 90時(shí)，= 0，21 +3k = 0， k =當(dāng)B = 90時(shí)，= 0，=-= （1-2， k-3） = （-1， k-3），2（-1） +3（k-3） = 0 k =當(dāng)C = 90時(shí)，= 0，-1 + k（k-3） = 0， k =四、小結(jié)1本節(jié)課的內(nèi)容：有關(guān)公式、結(jié)論（由學(xué)生歸納、總結(jié)）.2本節(jié)課的思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程（組）思想等.五、課外作業(yè)教材第107頁(yè)練習(xí)其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記”之后會(huì)“活用”。不記住那些基礎(chǔ)知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,

15、要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從基礎(chǔ)知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記”名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的功效。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原則，有目的、有計(jì)劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得

16、正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf“這是烏云滾滾。”當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃?！苯又變郝牭嚼茁曮@叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆?！币粫?huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?”幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：

17、“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑?！边@樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，在發(fā)展想象力中發(fā)展語(yǔ)言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動(dòng)形象地描述觀察對(duì)象。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原則，有目的、有計(jì)劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，

18、大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。”我加以肯定說“這是烏云滾滾?！碑?dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。”接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。”一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?”幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。”這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，在發(fā)展想象力中發(fā)展語(yǔ)言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動(dòng)形象地描述觀察對(duì)象。第 7 頁(yè)