2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題四 2 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系專題強(qiáng)化訓(xùn)練

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2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題四 2 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系專題強(qiáng)化訓(xùn)練_第1頁
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1、第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 一、選擇題 1.設(shè)α為平面,a、b為兩條不同的直線,則下列敘述正確的是(  ) A.若a∥α,b∥α,則a∥b B.若a⊥α,a∥b,則b⊥α C.若a⊥α,a⊥b,則b∥α D.若a∥α,a⊥b,則b⊥α 解析:選B.若a∥α,b∥α,則a與b相交、平行或異面,故A錯(cuò)誤;易知B正確;若a⊥α,a⊥b,則b∥α或b?α,故C錯(cuò)誤;若a∥α,a⊥b,則b∥α或b?α或b與α相交,故D錯(cuò)誤.故選B. 2.設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是(  ) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β C.若α

2、⊥β,l⊥α,則l∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 解析:選B.對于A,若l∥α,l∥β,則α∥β或α與β相交,故A錯(cuò);易知B正確;對于C,若α⊥β,l⊥α,則l∥β或l?β,故C錯(cuò);對于D,若α⊥β,l∥α,則l與β的位置關(guān)系不確定,故D錯(cuò).故選B. 3.如圖,在三棱錐D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列命題中正確的是(  ) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE 解析:選C.因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥A

3、C,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故選C. 4.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題: ①若α∩β=m,n?α,n⊥m,則α⊥β; ②若m⊥α,m⊥β,則α∥β; ③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β; ④若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β. 其中正確的命題是(  ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 解析:選B.兩個(gè)平面斜交時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于兩個(gè)平面的交線的情況,①不正確;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平

4、行,②正確;當(dāng)兩個(gè)平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時(shí),它們所成的二面角為直二面角,故③正確;當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),分別與兩個(gè)平面平行的直線也平行,故④不正確. 5.(2018·高考全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. 解析:選C.如圖,連接BD1,交DB1于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM,易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1∥OM,則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角.因?yàn)樵陂L方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2,DM==,DB1==,所以O(shè)

5、M=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為,故選C. 6.如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,將△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置為D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面體D1ABC的四個(gè)面中,有n對平面相互垂直,則n等于(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:選B.如圖,設(shè)D1在平面ABC上的射影為E,連接D1E,則D1E⊥平面ABC, 因?yàn)镈1E?平面ABD1, 所以平面ABD1⊥平面ABC. 因?yàn)镈1E⊥平面ABC,BC?平面ABC, 所以D1E⊥BC,又A

6、B⊥BC,D1E∩AB=E, 所以BC⊥平面ABD1, 又BC?平面BCD1, 所以平面BCD1⊥平面ABD1, 因?yàn)锽C⊥平面ABD1,AD1?平面ABD1, 所以BC⊥AD1,又CD1⊥AD1,BC∩CD1=C, 所以AD1⊥平面BCD1,又AD1?平面ACD1, 所以平面ACD1⊥平面BCD1. 所以共有3對平面互相垂直.故選B. 二、填空題 7.(2018·廣州調(diào)研)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段DD1上靠近D1的三等分點(diǎn),平面BMN交AA1于點(diǎn)Q,則線段AQ的長為________. 解析:如圖所示,在線段DD1上靠近點(diǎn)

7、D處取一點(diǎn)T,使得DT=,因?yàn)镹是線段DD1上靠近D1的三等分點(diǎn),故D1N=,故NT=2--=1,因?yàn)镸為CC1的中點(diǎn),故CM=1,連接TC,由NT∥CM,且CM=NT=1,知四邊形CMNT為平行四邊形,故CT∥MN,同理在AA1上靠近A處取一點(diǎn)Q′,使得AQ′=,連接BQ′,TQ′,則有BQ′∥CT∥MN,故BQ′與MN共面,即Q′與Q重合,故AQ=. 答案: 8.如圖,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE⊥DB交DB于點(diǎn)E,AF⊥DC交DC于點(diǎn)F,且AD=AB=2,則三棱錐D-AEF體積的最大值為________. 解析:因?yàn)镈A⊥平面ABC,所以DA⊥BC,又BC⊥AC,DA∩

8、AC=A,所以BC⊥平面ADC,所以BC⊥AF.又AF⊥CD,BC∩CD=C,所以AF⊥平面DCB,所以AF⊥EF,AF⊥DB.又DB⊥AE,AE∩AF=A,所以DB⊥平面AEF,所以DE為三棱錐D-AEF的高.因?yàn)锳E為等腰直角三角形ABD斜邊上的高,所以AE=,設(shè)AF=a,F(xiàn)E=b,則△AEF的面積S=ab≤·=×=,所以三棱錐D-AEF的體積V≤××=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號成立). 答案: 9.(2018·昆明調(diào)研)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.過點(diǎn)A1作平面α與AB,AD分別交于M,N兩點(diǎn),若AA1與平面α所成的角為45°,則截面A1MN面積

9、的最小值是________. 解析:如圖,過點(diǎn)A作AE⊥MN,連接A1E,因?yàn)锳1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥MN,所以MN⊥平面A1AE,所以A1E⊥MN,平面A1AE⊥平面A1MN,所以∠AA1E為AA1與平面A1MN所成的角,所以∠AA1E=45°,在Rt△A1AE中,因?yàn)锳A1=2,所以AE=2,A1E=2,在Rt△MAN中,由射影定理得ME·EN=AE2=4,由基本不等式得MN=ME+EN≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)ME=EN,即E為MN的中點(diǎn)時(shí)等號成立,所以截面A1MN面積的最小值為×4×2=4. 答案:4 三、解答題 10.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面

10、ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上,且EF⊥AD. 求證:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 證明:(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB. 又因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, BC?平面BCD且BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因?yàn)锳D?平面ABD,所以BC⊥AD. 又因?yàn)锳B⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因?yàn)锳C?平面ABC, 所以A

11、D⊥AC. 11.如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn). 求證:(1)AF∥平面BCE; (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明:(1)如圖,取CE的中點(diǎn)G, 連接FG,BG. 因?yàn)镕為CD的中點(diǎn), 所以GF∥DE且GF=DE. 因?yàn)锳B⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE, 所以GF∥AB. 又因?yàn)锳B=DE,所以GF=AB. 所以四邊形GFAB為平行四邊形,則AF∥BG. 因?yàn)锳F?平面BCE,BG?平面BCE, 所以AF∥平面BCE. (2)因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點(diǎn),

12、 所以AF⊥CD. 因?yàn)镈E⊥平面ACD,AF?平面ACD, 所以DE⊥AF. 又CD∩DE=D, 所以AF⊥平面CDE. 因?yàn)锽G∥AF,所以BG⊥平面CDE. 又因?yàn)锽G?平面BCE, 所以平面BCE⊥平面CDE. 12.如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體. (1)求證:AB⊥平面ADC; (2)若AD=1,AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為,求點(diǎn)B到平面ADE的距離. 解:(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面B

13、CD,平面ABD∩平面BCD=BD, 又DC⊥BD,DC?平面BCD, 所以DC⊥平面ABD. 因?yàn)锳B?平面ABD, 所以DC⊥AB. 又因?yàn)檎郫B前后均有AD⊥AB, 且DC∩AD=D, 所以AB⊥平面ADC. (2)由(1)知DC⊥平面ABD, 所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD, 即∠CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成的角. 依題意知tan ∠CAD==, 因?yàn)锳D=1,所以DC=. 設(shè)AB=x(x>0),則BD=, 易知△ABD∽△DCB,所以=, 即=,解得x=, 故AB=,BD=,BC=3. 由于AB⊥平面ADC, 所以AB⊥AC,又E為BC的中點(diǎn),所以由平面幾何知識得AE==, 同理DE==, 所以S△ADE=×1× =. 因?yàn)镈C⊥平面ABD,所以VA-BCD=CD·S△ABD=. 設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d, 則d·S△ADE=VB-ADE=VA-BDE=VA-BCD=, 所以d=,即點(diǎn)B到平面ADE的距離為. 6

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