極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

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1、一、坐標(biāo)系 1、數(shù)軸 它使直線上任一點P都可以由惟一的實數(shù)x確定 2、平面直角坐標(biāo)系 在平面上，當(dāng)取定兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系。它使平面上任一點P都可以由惟一的實數(shù)對（x,y）確定。 3、空間直角坐標(biāo)系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，當(dāng)取定這三條直線的交點為原點，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系。它使空間上任一點P都可以由惟一的實數(shù)對（x,y,z）確定。 二、平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換 定義：設(shè)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換 ④的作用下，點P（x，y）

2、對應(yīng)到點P’（x’，y’），稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。 三．例題講解 例1 在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。 （1）2x+3y=0； （2）x2+y2=1 三、極坐標(biāo)系 1、極坐標(biāo)系的建立： 在平面上取一個定點O，自點O引一條射線OX，同時確定一個單位長度和計算角度的正方向（通常取逆時針方向為正方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。 （其中O稱為極點，射線OX稱為極軸。） 2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定 對于平

3、面上任意一點M，用 r 表示線段OM的長度，用 q 表示從OX到OM 的角度，r 叫做點M的極徑， q叫做點M的極角，有序數(shù)對（r，q）就叫做M的極坐標(biāo)。 特別強調(diào)：由極徑的意義可知r≥0;當(dāng)極角q的取值范圍是[0,2)時,平面上的點(除去極點)就與極坐標(biāo)（r，q）建立一一對應(yīng)的關(guān)系 .們約定,極點的極坐標(biāo)是極徑r=0,極角是任意角. 3、負(fù)極徑的規(guī)定 在極坐標(biāo)系中，極徑r允許取負(fù)值，極角q也可以去任意的正角或負(fù)角 當(dāng)r＜0時，點M （r，q）位于極角終邊的反向延長線上，且OM=。 M （r，q）也可以表示為 4、數(shù)學(xué)應(yīng)用 例1 寫出下圖中各點的極坐標(biāo) A（4，0）B（

4、2 ）C（ ）D（ ） E（ ）F（ ）G（ ） 規(guī)定：極點的極坐標(biāo)是=0，可以取任意角。 變式訓(xùn)練 在極坐標(biāo)系里描出下列各點 A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，） 例2 在極坐標(biāo)系中， （1） 已知兩點P（5，），Q，求線段PQ的長度； （2） 已知M的極坐標(biāo)為（r，q）且q=，r，說明滿足上述條件的點M 的位置。 變式訓(xùn)練 1、若的的三個頂點為 2、若A、B兩點的極坐標(biāo)為求AB的長以及的面積。（O為極點） 例3 已知Q（

5、r，q），分別按下列條件求出點P 的極坐標(biāo)。 （1） P是點Q關(guān)于極點O的對稱點； （2） P是點Q關(guān)于直線的對稱點； （3） P是點Q關(guān)于極軸的對稱點。 變式訓(xùn)練 1.在極坐標(biāo)系中,與點關(guān)于極點對稱的點的一個坐標(biāo)是 ( ) 2在極坐標(biāo)系中，如果等邊的兩個頂點是求第三個頂點C的坐標(biāo)。 四、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 直角坐標(biāo)系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位。平面內(nèi)任意一點P的直角坐標(biāo)與極

6、坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式： 說明1上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式 2通常情況下，將點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，取≥0，≤≤。 3 化公式的三個前提條件 1. 極點與直角坐標(biāo)系的原點重合; 2. 極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合; 3. 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同. 三、數(shù)學(xué)應(yīng)用 例1（1）把點M 的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； （2）把點P的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)。 變式訓(xùn)練 在極坐標(biāo)系中,已知求A,B兩點的距離

7、 例2若以極點為原點,極軸為軸正半軸,建立直角坐標(biāo)系. (1) 已知A的極坐標(biāo)求它的直角坐標(biāo), (2) 已知點B和點C的直角坐標(biāo)為求它們的極坐標(biāo).＞0,0≤＜2) 變式訓(xùn)練 把下列個點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定＞0,0≤＜) 例3在極坐標(biāo)系中,已知兩點.求A,B中點的極坐標(biāo). 變式訓(xùn)練 在極坐標(biāo)系中,已知三點.判斷三點是否在一條直線上. 五、常用曲線的極坐標(biāo)方程 1、若直線經(jīng)過且極軸到此直線的角為，求直線的極坐標(biāo)方程。 變式訓(xùn)練：直線經(jīng)過且該直線到極軸所成角為，求此直線的極坐

8、標(biāo)方程。 2、若圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，求圓的方程。運用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。 3、 在圓心的極坐標(biāo)為，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡。 三、鞏固與練習(xí) 在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑， （1）求圓的極坐標(biāo)方程。 （2）若點在圓上運動，在的延長線上，且，求動點的軌跡方程。 1、圓錐曲線的統(tǒng)一方程 設(shè)定點的距離為，求到定點到定點和定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡的極坐標(biāo)方程。 分析：①建系 ②設(shè)點 ③列出等式 ④用極坐標(biāo)

9、、表示上述等式，并化簡得極坐標(biāo)方程 說明：⑴為便于表示距離，取為極點，垂直于定直線的方向為極軸的正方向。 ⑵表示離心率，表示焦點到準(zhǔn)線距離。 2、例題講解 例1．2003年10月15—17日，我國自主研制的神舟五號載人航天飛船成功發(fā)射并按預(yù)定方案安全、準(zhǔn)確的返回地球，它的運行軌道先是以地球中心為一個焦點的橢圓，橢圓的近地點（離地面最近的點）和遠(yuǎn)地點（離地面最遠(yuǎn)的點）距離地面分別為200km和350km，然后進(jìn)入距地面約343km的圓形軌道。若地球半徑取6378km，試寫出神舟五號航天飛船運行的橢圓軌道的極坐標(biāo)方程。 例2．求證：過拋物線的焦點的弦被

10、焦點分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù)。 變式訓(xùn)練 設(shè)P、Q是雙曲線上的兩點，若。 求證：為定值； 三、鞏固與練習(xí) 已知拋物線的焦點為。 （1）以為極點，軸正方向為極軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標(biāo)方程； （2）過取作直線交拋物線于A、B兩點，若|AB|＝16，運用拋物線的極坐標(biāo)方程，求直線的傾斜角。 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．直線 的斜率是 2．極坐標(biāo)方程表示的曲線是 3．曲線和的交點坐標(biāo) 4．在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線方程為 （ ） A、 B、 C、 D、 5．橢圓的長軸長 二、講解新課： 例1．求曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程。 例2．求下列兩曲線的交點坐標(biāo)。 和 例3．已知圓，直線，過極點作射線交圓于點，交直線于點，當(dāng)射線以極點為中心轉(zhuǎn)動時，求線段的中點的軌跡方程。 例4．已知A、B為橢圓上兩點，若。（為原點） （1）求證為定值； （2）求面積的最值。