陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 斐波那契數(shù)列拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

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1、斐波那契數(shù)列 　　每一對兔子過了出生第一個月之后，每個月生一對小兔子?，F(xiàn)把一對初生小兔子放在屋內，問一年后屋內有多少對兔子？ 　　先不在這里考慮兔子能否長大，或是某些月份沒有生小兔子一類的問題，完全只由數(shù)學角度去考慮這問題，意大利數(shù)學家斐波那契(Fibonacci)解了這個題目，其內容大約是這樣的： 　　在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律： 時間(月) 初生兔子(對) 成熟兔子(對) 兔子總數(shù)(對) 1

2、 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 不難發(fā)現(xiàn)，每個月成熟兔子的數(shù)目是上個月的兔子總數(shù)，而初生兔子的數(shù)目是上個月成熟兔子的數(shù)目，也即是兩個月前的兔子總數(shù)，因此每個月的兔子總數(shù)剛好是上個月和兩個月前的的兔子總數(shù)之和。由此可得每個月的兔子總數(shù)是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 對兔子。　　 若把上述數(shù)列繼續(xù)寫下去，得到的數(shù)列便稱為斐波那契數(shù)列，數(shù)列中每個數(shù)便是前兩個數(shù)之和，而數(shù)列的最初兩個數(shù)都是

3、 1。若果設 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 則成立這個關系式：當 n 大于 1，F(xiàn)n+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一個古怪的式子： 　　 …(1) 　　Fn看似是無理數(shù)，但當 n 是非負整數(shù)時，F(xiàn)n都是整數(shù)，而且組成斐波那契數(shù)列，因為F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，這可用數(shù)學歸納法來證明。 利用斐波那契數(shù)列解決兔子數(shù)目的問題似乎沒有甚么用途，因為不能保證兔子真的每月只生一對小兔子一類的問題，但事實上這個數(shù)列的應用十分廣泛。例如一個走梯級的問題，若某人走上一段梯級，他每一步可以走上一級，或是跳過

4、一級而走到第二級，若他要走上六級，有多少個不同走法？我們可以考慮，若果設 Fn是走 n 級梯級的走法的數(shù)目，若他在第n級，他可以走到第 n-1 級，或是跳過第n-1級，走到第 n-2 級，他在第 n-1 級有 Fn-1個走法，而在第 n-2 級有 Fn-2個走法，因此在第n級時的走法是 Fn-2+Fn-1個走法，即 Fn=Fn-2+Fn-1，而他在第二級和第三級的走法分別有 1 個和 2 個，因此可知走法的數(shù)目與斐波那契數(shù)列有關。 　　我們還可以利用斐波那契數(shù)列來做出一個新的數(shù)列，方法是把數(shù)列中相鄰的數(shù)字相除，以組成新的數(shù)列如下： 　　 　　從(1)中可知當 n 無限增大時，數(shù)列的極限是 　　 　　這個數(shù)值稱為黃金分割，它正好是方程 x2+x-1=0 的一個根。