江蘇省南通市通州區(qū)2020年高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí) 單元檢測十二 綜合試卷2

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1、高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)單元檢測十二 綜合試卷2 一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分． 1．若點(diǎn)P(m，n)(m，n≠0)為角600°終邊上一點(diǎn)，則等于________． 2．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程的一個(gè)根所在的區(qū)間為 ． x －1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 3．如圖，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}， 用列舉法寫出圖中陰影部分表示的集合為 ． 4．P，Q分別為直線

2、3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上任意一點(diǎn)， 則PQ的最小值為________． 5．執(zhí)行下圖所示的程序框圖，若輸入的值為2， 否 是 輸出 輸入 結(jié)束 開始 則輸出的值是 ． 6．將一骰子連續(xù)向上拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為 . （結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示） 7．已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則此函數(shù)的最小值是 _ ． 8．定義：關(guān)于x的兩個(gè)不等式f(x)＜0和g(x)＜0的解集分別為(a，b)和，則稱這兩個(gè)不等式為對偶不等式．如果不等式x2－4xcos2q +2＜0與不等式2x2－4xsin2q +1＜0為對偶

3、不等式，且q ∈(，p)，則q＝ ． 9．對于數(shù)列{}，定義數(shù)列{}為數(shù)列{}的“差數(shù)列”，若，{}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為，則數(shù)列{}的前項(xiàng)和= ． 10．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 11．若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是______ ． 12．設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)：，取函數(shù)（＞1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域是______ ． 13．已知△ABC所在平面上的動點(diǎn)M滿足，

4、則M點(diǎn)的軌跡過△ABC的 心． 14．若不等式a＋≥在x∈(，2)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ． 二、解答題：本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．(本小題滿分14分) 某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績（成績均 為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，…，[90,100)后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題： （1）求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù)； （2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及以上

5、為及格）； （3）從物理成績不及格的學(xué)生中任選兩人，求他們成績至少有一個(gè)不低于50分的概率． 分?jǐn)?shù) 0.005 0.015 0.025 0.03 50 60 70 80 90 100 16．(本小題滿分14分) 已知向量, ，，設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的自變量x的取值集合； （2）當(dāng)且時(shí)，求的值． 17．(本小題滿分14分) 已知三條直線l1：2x-y+a = 0 (a＞0)，直線l2：-4x+2y+1 = 0和直線l3：x+y-1= 0 ，且l1與 l2的距離是． （

6、1）求a的值； （2）能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到 l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的；③P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是∶．若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由． 18．(本小題滿分16分) 已知函數(shù)且． （1）求函數(shù)的定義域、值域； （2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)滿足：對于任意，都有？若存 在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由． 19．(本小題滿分16分) 如圖，某市市區(qū)有過市中心O南北走向的解放路，為了解決南徐新城的交通問題，市政府 決定修建兩條公路：延伸從市中心O出

7、發(fā)北偏西60°方向的健康路至B點(diǎn)；在市中心正南方向解放路上選取A點(diǎn)，在A、B間修建南徐新路． （1）如果在A點(diǎn)處看市中心O和B點(diǎn)視角的正弦值為，求在B點(diǎn)處看市中心O和A點(diǎn)視 角的余弦值； （2） 如果△AOB區(qū)域作為保護(hù)區(qū)，已知保護(hù)區(qū)的面積為 km2，A點(diǎn)距市中心的距離 為3 km，求南徐新路的長度； （3） 如果設(shè)計(jì)要求市中心O到南徐新路AB段的距離為4 km，且南徐新路AB最短，請你 確定A、B兩點(diǎn)的位置． 20．(本小題滿分16分) 定義數(shù)列：，當(dāng) 時(shí)， 其中， 為 常數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)， ． ①求：； ②求證：數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能

8、夠成等差數(shù)列； （2）求證：對一切及，不等式恒成立． 高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)單元檢測十二參考答案 一、填空題： 1．答案： 解析：，∴ = ． 2．答案： 解析：令，∴． 3．答案： 解析：由圖即求． 4．答案：3 解析：直線6x＋8y＋6＝0可變形為3x＋4y＋3＝0，則PQ的最小值即兩平行線3x＋4y－12＝0與3x＋4y＋3＝0間的距離d，又d＝＝3，所以PQ的最小值為3． 5．答案：4 解析：，此時(shí)P= 4． 6．答案： 解析 古典概型，窮舉法，分公差為0，±1，±2五種情形，成等差數(shù)列時(shí)共18種． 7．答案： 解析：，

9、∴． 8．答案： 解析：由韋達(dá)定理，∴，又q ∈(，p)，∴ ∴． 9．答案： 解析： ，由疊加法可得，∴=． 10．答案： 解析：兩圖象的對稱軸完全相同，則兩函數(shù)的周期相同，∴，∵x∈，∴f(x)＝3sin ． 11．答案： 解析：由題目所給的不等式組可知，其表示的平面區(qū)域如圖所示，這里直線y＝kx＋只需要經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)D即可，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，代入即可解得k的值為． 12．答案： 解析：＞1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，則；若，則． 13．答案：外 解析：， ∴，∴，∴， ∴，∴M在BC的垂直平分線上，∴M點(diǎn)的軌跡過△ABC的外心． 14．答案：a≥1 解析：不

10、等式即為a≥＋，在x∈(，2)上恒成立．而函數(shù) ＝＋＝，則在(，2)上的最大值為1，所以a≥1． 二、解答題： 15．解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為： f1＝1－(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10＝0.1，∴低于50分的人數(shù)為60×0.1＝6（人）． （2）依題意，成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），頻率和為 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10＝0.75．即抽樣學(xué)生成績的合格率是75%． 答：估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為75﹪． （3）“成績低于50分”及“[50,60)”的

11、人數(shù)分別是6，9．所以從成績不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績至少有一個(gè)不低于50分的概率為P＝1－＝． 答：至少有一個(gè)不低于50分的概率為． 16．解：（1），， ∴= ∴函數(shù)取得最大值為，相應(yīng)的自變量x的取值集合為{x|（Z）}． （2）由得，即 因?yàn)?所以，從而 ，于是． 17．解：（1）l2即2x-y-= 0， ∴l(xiāng)1與l2的距離d ===， ∴|| =，由a＞0解得a = 3． （2）設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1、l2平行的直線：2x-y+c = 0上． 且=×，解得c =或c =，∴2x0-y0+= 0或2x0-y0

12、+= 0； 若P點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，有 =·，即|| = ||， ∴x0-2y0+4= 0或3x0+2 = 0； 由P在第一象限，顯然3x0+2 = 0不可能， 聯(lián)立方程2x0-y0+= 0和x0-2y0+4= 0，解得(舍去)， 聯(lián)立方程2x0-y0+= 0和x0-2y0+4= 0，解得， ∴點(diǎn)P(，)即為能同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn)． 18．解：（1）由4－ax≥0,得ax≤4．當(dāng)a＞1時(shí)，x≤loga4；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x≥loga4． 即當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?，loga4]；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)閇loga4，＋∞）． 令t＝

13、，則0≤t＜2，且ax＝4－t2，∴ f(x)＝g(t)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4， 當(dāng)t≥0時(shí)，g(x)是t的單調(diào)減函數(shù)，∴g(2)＜g(t)≤g(0)，即－5＜f(x)≤3，∴ 函數(shù)f(x)的值域是． （2）若存在實(shí)數(shù)a，使得對于任意，都有f(x) ≤0，則區(qū)間是定義域的子集． 由（1）知，a＞1不滿足條件；所以0＜a＜1，且loga4≤-1， 即． 令t＝，由（1）知，f(x)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4， 由，解得（舍）或，即有解得， 由題意知對任意，有恒成立，因?yàn)?＜a＜1，所以對任

14、意，都有 ．所以有，解得，即．∴存在，對任意，都有f(x) ≤0． 19．解：（1） 由題可得∠AOB＝π，∠BAO為銳角，sin∠BAO＝?cos∠BAO＝， cos∠OBA＝cos(－∠BAO)＝·＋·＝. （2） OA＝3，S＝OB·OAsin∠AOB＝OB·3·sinπ＝， 解得OB＝5. 由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcosπ＝9＋25＋15＝49， ∴ AB＝7(km)． （3） ∵ AB·4＝OA·OB·sin∠AOB，∴ OA·OB＝AB， ∴AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcosπ＝OA2＋OB2＋OA·OB ≥2OA·OB＋OA·OB＝3OA·OB＝3·AB， ∴ AB2≥8AB，∴ AB≥8(等號成立OA＝OB＝8)． 20．解：（1）當(dāng)時(shí)，計(jì)算得數(shù)列的前8項(xiàng)為：1，1，2，2，4，4，8，8. 從而猜出數(shù)列、 均為等比數(shù)列． ∵， ∴數(shù)列、均為等比數(shù)列，∴． ①∴，，∴ ②證明（反證法）：假設(shè)存在三項(xiàng)是等差數(shù)列，即 成立．因均為偶數(shù)，設(shè)，，，（）， ∴即 ∴，而此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，這就矛盾． （2）∵，∴，∴是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴． 又∵，∴，∴是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴． ∴ ， ∴ ． ∵，∴．∴．