C應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)理論實(shí)用學(xué)習(xí)教案

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1C應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)和強(qiáng)理論實(shí)用和強(qiáng)理論實(shí)用第一頁(yè)，共69頁(yè)。2cossin22Fkkp x拉壓桿斜截面(jimin)上應(yīng)力: bfehxsin2cos2 受扭圓桿斜截面上應(yīng)力: 第1頁(yè)/共69頁(yè)第二頁(yè)，共69頁(yè)。鑄鐵鑄鐵第2頁(yè)/共69頁(yè)第三頁(yè)，共69頁(yè)。 事實(shí)上, 構(gòu)件在拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲等基本變形情況下, 并不都是沿構(gòu)件的橫截面(jimin)破壞的。例如, 在拉伸試驗(yàn)中, 低碳鋼屈服時(shí)在與試件軸線成45的方向出現(xiàn)滑移線; 鑄鐵壓縮時(shí), 試件卻沿著與軸線成接近45的斜截面(jimin)破壞。這表明桿件的破壞還與斜截面(jimin)上的應(yīng)力有關(guān)。 第3頁(yè)/共69頁(yè)第四頁(yè)，

2、共69頁(yè)。 另一方面, 由于該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)較為復(fù)雜, 而應(yīng)力的組合形式又有無(wú)限(wxin)多的可能性, 因此, 就不可能用直接試驗(yàn)的方法來(lái)確定每一種應(yīng)力組合情況下材料的極限應(yīng)力。第4頁(yè)/共69頁(yè)第五頁(yè)，共69頁(yè)。 為了研究受力構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，通常是圍繞該點(diǎn)取一個(gè)無(wú)限小的正六面體單元體來(lái)研究。由于單元體的邊長(zhǎng)為無(wú)窮小量，故可以認(rèn)為單元體各個(gè)面上的應(yīng)力均勻分布，且任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力大小、性質(zhì)(xngzh)完全相同。當(dāng)單元體三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力已知時(shí)，就可以求得通過(guò)該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力，從而確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。第5頁(yè)/共69頁(yè)第六頁(yè)，共69頁(yè)。AAAAPA 截取單元體的原則是

3、：三對(duì)平行平面上的應(yīng)力應(yīng)該是給定的或經(jīng)過(guò)分析后可以求得的，而構(gòu)件在各種基本變形時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布及計(jì)算前面已學(xué)過(guò)，故單元體的三對(duì)平行平面中通常(tngchng)總有一對(duì)平行平面是構(gòu)件的橫截面。第6頁(yè)/共69頁(yè)第七頁(yè)，共69頁(yè)。應(yīng)力的標(biāo)注應(yīng)力的標(biāo)注(bio zh)及正負(fù)：及正負(fù)：負(fù)；拉應(yīng)力為正；壓應(yīng)力為方向的面上的正應(yīng)力。：表示外法線方向?yàn)?xx xx表示與x軸垂直(chuzh)的面上的剪應(yīng)力。其有xy和xz之分。本書(shū)中的x實(shí)際上是指xy。第7頁(yè)/共69頁(yè)第八頁(yè)，共69頁(yè)。主單元體、主平面、主應(yīng)力：、主單元體(Principal Element)： 各側(cè)面(cmin)上剪應(yīng)力均為零的單元體。、

4、主平面(Principal Plane)： 剪應(yīng)力為零的截面(jimin)。、主應(yīng)力(yngl)(Principal Stress ）： 主平面上的正應(yīng)力(yngl)。、主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，321 、三向應(yīng)力狀態(tài)（ Three-Dimensional State of Stress）： 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。第8頁(yè)/共69頁(yè)第九頁(yè)，共69頁(yè)。、二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 兩個(gè)(lin )主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。、單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個(gè)(y )主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。 7.1 概述(

5、i sh)第9頁(yè)/共69頁(yè)第十頁(yè)，共69頁(yè)。0000 xyyxzxzyz，單元體上有一組面上的應(yīng)力分量都為零。一般(ybn)應(yīng)力分量為零的面的外法線為Z。這時(shí)有：平面(pngmin)應(yīng)力狀態(tài)的立體圖平面(pngmin)應(yīng)力狀態(tài)的平面(pngmin)圖xy x xy yo7.1 概述第10頁(yè)/共69頁(yè)第十一頁(yè)，共69頁(yè)。下圖所示承受內(nèi)壓的薄壁容器，試導(dǎo)出容器橫截面(jimin)和縱截面(jimin)上的正應(yīng)力表達(dá)式。解： 1、容器(rngq)的橫截面的正應(yīng)力表達(dá)式用橫截面將容器截開(kāi)，受力如圖b所示,根據(jù)平衡(pnghng)方程42DpDm4pDm7.2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例第11頁(yè)/共69頁(yè)

6、第十二頁(yè)，共69頁(yè)。2、環(huán)向應(yīng)力(yngl)：Dlplt22pDt用縱截面將容器截開(kāi)，取長(zhǎng)為 的一段進(jìn)行研究,受力如圖c所示l第12頁(yè)/共69頁(yè)第十三頁(yè)，共69頁(yè)。平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍(pbin)形式如圖所示, 即在其他兩對(duì)平面上分別有正應(yīng)力和切應(yīng)力(sx, tx和sy, ty)。abxdxyyxyxyyxcxyyyyyxxxxabcd第13頁(yè)/共69頁(yè)第十四頁(yè)，共69頁(yè)。設(shè)一平面(pngmin)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。為求該單元體與前、后兩平面(pngmin)垂直的任一斜截面上的應(yīng)力, 可應(yīng)用截面法。xyyyyyxxxxabcdefn設(shè)斜截面(jimin)ef的外法線n與x軸間的夾角為a, 簡(jiǎn)稱為a

7、截面(jimin), 并規(guī)定從x軸到外法線n逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的方位角為正值。截面上的應(yīng)力分量用和表示。對(duì)正應(yīng)力, 規(guī)定以拉應(yīng)力為正, 壓應(yīng)力為負(fù); 對(duì)切應(yīng)力, 則以其對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正, 反之為負(fù)。這與以前對(duì)正應(yīng)力和切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定是一致的。 第14頁(yè)/共69頁(yè)第十五頁(yè)，共69頁(yè)。yyxxbef設(shè)斜截面(jimin)ef的面積為dA, 斜截面(jimin)上的應(yīng)力sa和sa均為正值?？紤]作用在體元各面上力的平衡, 對(duì)于斜截面(jimin)的法線n參考軸列出的平衡方程為0,d(dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0NxxyyFAAAAA第15頁(yè)/

8、共69頁(yè)第十六頁(yè)，共69頁(yè)。d(dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0 xxyyAAAAA221 cos21 cos2cos, sin, 2sincossin22222cossin2sincosxyx又由三角(snjio)關(guān)系: 將其代入前式, 可得 cos2sin222xyxyx第16頁(yè)/共69頁(yè)第十七頁(yè)，共69頁(yè)。0,d(dcos)sin( dcos)cos(dsin)cos(dsin)sin0TxyyFAAAAA對(duì)于斜截面的切線(qixin)t參考軸列平衡方程為22()sincos(cossin)xy由三角(snjio)關(guān)系化簡(jiǎn)得 sin2cos22xy

9、x第17頁(yè)/共69頁(yè)第十八頁(yè)，共69頁(yè)。sin2cos22xyxcos2sin222xyxyx利用這兩個(gè)公式, 就可以從單元體上的已知應(yīng)力sx、sy、tx和ty, 求得任意(rny)斜截面上的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta。并且由此兩式出發(fā), 還可求得單元體的極值正應(yīng)力和極值切應(yīng)力。所以, 這兩個(gè)方程也稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換方程。 第18頁(yè)/共69頁(yè)第十九頁(yè)，共69頁(yè)。sin2cos22xyxcos2sin222xyxyx求正應(yīng)力(yngl)的極值令: d2sin2cos2 0d2xyx 比較可知, 極值正應(yīng)力(yngl)所在的平面, 就是切應(yīng)力(yngl)ta為零的平面。這個(gè)切應(yīng)力(yngl)等于零的平面,

10、叫做主平面, 主平面上的正應(yīng)力(yngl), 叫做主應(yīng)力(yngl)。也就是說(shuō), 在通過(guò)某點(diǎn)的各個(gè)平面上, 其中的最大正應(yīng)力(yngl)和最小正應(yīng)力(yngl)就是該點(diǎn)處的主應(yīng)力(yngl)。 以a0表示(biosh)主平面的法線n與x軸間的夾角, 由上式可得 02tan2xxy第19頁(yè)/共69頁(yè)第二十頁(yè)，共69頁(yè)。以a0和a0+90確定兩個(gè)(lin )互相垂直的平面, 這表明, 兩個(gè)(lin )主平面是相互垂直的; 同樣, 兩個(gè)(lin )主應(yīng)力也必相互垂直。 在一個(gè)主平面上的主應(yīng)力為最大正應(yīng)力smax; 另一個(gè)主平面上的主應(yīng)力則為最小正應(yīng)力smin。 02tan2xxy00+90兩主平面上

11、的最大正應(yīng)力(yngl)和最小正應(yīng)力(yngl)為: 2max2min22xyxyx第20頁(yè)/共69頁(yè)第二十一頁(yè)，共69頁(yè)。當(dāng)sxsy時(shí), 由上式直接求出的a0角對(duì)應(yīng)(duyng)最大正應(yīng)力smax的方向; 若sxsy, 則a0對(duì)應(yīng)(duyng)最小正應(yīng)力smin的方向。 02tan2xxy2max2min22xyxyx第21頁(yè)/共69頁(yè)第二十二頁(yè)，共69頁(yè)。從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體中, 有一個(gè)特殊的單元體, 在這個(gè)單元體側(cè)面(cmin)上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。這樣的單元體稱為該點(diǎn)處的主單元體。主單元體的側(cè)面稱為(chn wi)主平面(通過(guò)該點(diǎn)處所取的諸截面中沒(méi)有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該

12、點(diǎn)處的主平面)。主平面上的正應(yīng)力(yngl)稱為主應(yīng)力(yngl)。主平面的法線方向叫主方向, 即主應(yīng)力的方向。第22頁(yè)/共69頁(yè)第二十三頁(yè)，共69頁(yè)。主應(yīng)力是過(guò)一點(diǎn)處不同方位(fngwi)截面上正應(yīng)力的極值?？梢宰C明, 一點(diǎn)處必定存在這樣一個(gè)單元體, 其三個(gè)相互垂直的面均為主平面。三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力分別記為s1, s2和s3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序排列, 即s1s2s3。在平面應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)中有一個(gè)主應(yīng)力為零。暫假設(shè)其他兩個(gè)主應(yīng)力均大于零, 故記為s1和s2, 即三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值大小的順序排列。若求得的兩個(gè)主應(yīng)力一為拉應(yīng)力而另一為壓應(yīng)力, 則前者應(yīng)為s1而后者為s3, 另一主

13、應(yīng)力s20。同理, 若求得的兩主應(yīng)力都是壓應(yīng)力, 則它們應(yīng)分別為s2和s3, 而s10。第23頁(yè)/共69頁(yè)第二十四頁(yè)，共69頁(yè)。例: 圖示矩形(jxng)截面簡(jiǎn)支梁, 試分析任一橫截m-m上各點(diǎn)的主應(yīng)力, 并進(jìn)一步分析全梁的情況。解: 1.截面(jimin)上各點(diǎn)主應(yīng)力xyqq(x)Oabcdemm在截面(jimin)m-m上, 各點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力與切應(yīng) 力 可 分 別 按 第 四 章 的 公 式 計(jì) 算 。 在 截 面(jimin)上、下邊緣的a和e點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài); 中性軸上的c點(diǎn)處于純剪切狀態(tài); 而在其間的b和d點(diǎn)則同時(shí)承受彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力。mm第24頁(yè)/共69頁(yè)第二十五頁(yè)，共6

14、9頁(yè)。max22min()22xyxyx02tan2xxy 可知, 梁內(nèi)任一點(diǎn)(y din)處的主應(yīng)力及其方位角可由下式確定: 221223201(4)021(4)0202tan2 (a)(b)式(a)和(b)表明, 在梁內(nèi)任一點(diǎn)(y din)處的兩個(gè)主應(yīng)力中, 其一必為拉應(yīng)力, 而另一則必為壓應(yīng)力。第25頁(yè)/共69頁(yè)第二十六頁(yè)，共69頁(yè)。2. 主應(yīng)力跡線mm根據(jù)梁內(nèi)各點(diǎn)處的主應(yīng)力方向, 可在梁的xy平面內(nèi)繪制(huzh)兩組曲線。在一組曲線上, 各點(diǎn)的切向即該點(diǎn)的主拉應(yīng)力(yngl)方向; 在另一組曲線上, 各點(diǎn)的切向則為該點(diǎn)的主壓應(yīng)力(yngl)方向。由于各點(diǎn)處的主拉應(yīng)力與主壓應(yīng)力相互垂直

15、, 所以, 上述兩組曲線相互正交。上述曲線族稱為梁的主應(yīng)力跡線。第26頁(yè)/共69頁(yè)第二十七頁(yè)，共69頁(yè)。F0.5F0.5F跨度中點(diǎn)受力簡(jiǎn)支梁的主應(yīng)力跡線如圖所示。圖中, 實(shí)線代表主拉應(yīng)力跡線, 虛線(xxin)代表主壓應(yīng)力跡線。在梁的軸線上, 所有跡線與梁軸x均成 45夾角; 而在梁的上、下邊緣, 由于該處彎曲切應(yīng)力為零, 因而主應(yīng)力跡線與邊緣相切或垂直。第27頁(yè)/共69頁(yè)第二十八頁(yè)，共69頁(yè)。例: 簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知m-n截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別(fnbi)為 = -70MPa, = 50MPa 。確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位。mnAAABq第28頁(yè)/共69頁(yè)第二十九頁(yè)，共69

16、頁(yè)。解: 70,0,50 xyx 2max2min22xyxyx227070502226 MPa-96 MPa12226 MPa,0,-96 MPaA第29頁(yè)/共69頁(yè)第三十頁(yè)，共69頁(yè)。70,0,50 xyx 02tan2xxy2 501.429( 70)0 027.562.5因?yàn)閟xsy, 所以a0-62.5對(duì)應(yīng)(duyng)smax的方向。 1x62.5y312226 MPa,0,-96 MPa第30頁(yè)/共69頁(yè)第三十一頁(yè)，共69頁(yè)。例: 圖示單元體, 已知 x-40 MPa, y60 MPa, x-50 MPa。試求ef截面上的應(yīng)力(yngl)情況及主應(yīng)力(yngl)和主單元體的方位。

17、xyxy30nef第31頁(yè)/共69頁(yè)第三十二頁(yè)，共69頁(yè)。x-40MPa, y60MPa, x-50MPa。-300(1) 求ef截面(jimin)上的應(yīng)力58.3MPa 30sin2cos22xyx30cos2sin222xyxyx40604060cos( 60 )( 50)sin( 60 )22 18.3MPaxyxy30nef第32頁(yè)/共69頁(yè)第三十三頁(yè)，共69頁(yè)。(2) 求主應(yīng)力和主單元體的方位(fngwi)022( 50)tan214060 xxy 因?yàn)閤y, 所以(suy)a067.5對(duì)應(yīng)于1x-40MPa, y60MPa, x-50MPa。-3000452135 022.567.

18、5 2max2min80.7 MPa60.7 MPa22xyxyx180.7 MPa20360.7 MPa 第33頁(yè)/共69頁(yè)第三十四頁(yè)，共69頁(yè)。例 分析(fnx)受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定(qudng)危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)其原始單元體求極值(j zh)應(yīng)力0yxxtTWmax22min22xyxyx（）3210C x y x y第34頁(yè)/共69頁(yè)第三十五頁(yè)，共69頁(yè)。破壞(phui)分析低碳鋼低碳鋼002tan245xxy 2max2min2xyx 11tan2002xyx（剪壞）（拉壞）鑄鐵鑄鐵第35頁(yè)/共69頁(yè)第三十六頁(yè)，共69頁(yè)。由上述兩公式可知, 當(dāng)已知一平面應(yīng)力狀態(tài)(zhungti)單元

19、體上的應(yīng)力sx, tx和sy, ty(-tx)時(shí), 任一a截面上的應(yīng)力sa和ta均以2a為參變量。從上兩式中消去參變量2a后, 即得222222xyxyx由上式可見(jiàn), 當(dāng)斜截面隨方位角a變化時(shí), 其上的應(yīng)力sa , ta在st直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓, 其圓心(yunxn)位于橫坐標(biāo)軸(s軸)上, 該圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓, 或稱為莫爾(O.Mohr)應(yīng)力圓。第36頁(yè)/共69頁(yè)第三十七頁(yè)，共69頁(yè)。222222xyxyx2xy22()2xyxO應(yīng)力(yngl)圓圓心位于橫坐標(biāo)軸上。橫坐標(biāo)為2xy半徑(bnjng)為22()2xyxC第37頁(yè)/共69頁(yè)第三十八頁(yè)，共69頁(yè)。應(yīng)力(yngl)圓作法y

20、yyyxxxxabcd在 - 坐標(biāo)系內(nèi), 選定(xun dn)比例尺;O量取OB1x ,已知應(yīng)力(yngl)sx, tx和sy, ty(-tx);xB1B1D1x得D1點(diǎn);量取OB2y ,B2D2y得D2點(diǎn);yB2連接D1D2兩點(diǎn)的直線與 軸相交于C點(diǎn), 以C為圓心, CD1 或CD2為半徑作圓;CyD2D1x第38頁(yè)/共69頁(yè)第三十九頁(yè)，共69頁(yè)。yyyyxxxxabcd該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)(zubio)原點(diǎn)的距離為OxB1D1xyyD2B2C2xyOC22()2xyx半徑(bnjng)為該圓就是對(duì)應(yīng)(duyng)于該單元體應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。D1點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, x), 因而D1點(diǎn)代表單元體

21、x平面(即橫截面)上的應(yīng)力 。第39頁(yè)/共69頁(yè)第四十頁(yè)，共69頁(yè)。利用應(yīng)力圓求單元體上任(shng rn)一截面上的應(yīng)力從應(yīng)力(yngl)圓的半徑CD1按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2, 得到半徑CE。圓周上E點(diǎn)的 坐標(biāo)就依次為斜截面(jimin)上的正應(yīng)力 , 切應(yīng)力。E2OxB1D1xyyD2B2C第40頁(yè)/共69頁(yè)第四十一頁(yè)，共69頁(yè)。E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為OFOCCF0cos(22 )OCCE00cos2cos2sin2sin2OCCECE1()2xyOC010cos2cos21()2xyCECD010sin2sin2xCECDFOxB1D1xyyD2B2CE220第41頁(yè)/共69頁(yè)第四十二頁(yè)，共69頁(yè)

22、。00cos2cos2sin2sin2cos2sin222xyxyxOFOCCECE0011(),cos2(),sin222xyxyxOCCECE同樣(tngyng)可證E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為sin2cos22xyxEFFOxB1D1xyyD2B2CE220第42頁(yè)/共69頁(yè)第四十三頁(yè)，共69頁(yè)。應(yīng)力(yngl)圓上的點(diǎn)與單元體上的面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系: 單元體某一面(y min)上的應(yīng)力, 必對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo); OxB1D1(x, x)xyyD2(y, y)B2CE2xyyyyyxxxxabcden第43頁(yè)/共69頁(yè)第四十四頁(yè)，共69頁(yè)。單元體上任意A, B兩個(gè)(lin )面的外法線之間的夾角

23、若為b, 則在應(yīng)力圓上代表該兩個(gè)(lin )面上應(yīng)力的兩點(diǎn)之間的圓弧段所對(duì)的圓心角必為2b, 且兩者的轉(zhuǎn)向一致。第44頁(yè)/共69頁(yè)第四十五頁(yè)，共69頁(yè)。OxB1D1xyyD2B2C2A21A1第45頁(yè)/共69頁(yè)第四十六頁(yè)，共69頁(yè)。在圖示的應(yīng)力(yngl)圓上, A1和A2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均等于零, 而橫坐標(biāo)分別為主應(yīng)力(yngl)s1和s2。由圖可見(jiàn), A1和A2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為11OAOCCA21OAOCCA式中, 為應(yīng)力圓圓心的橫坐標(biāo), 為應(yīng)力圓半徑。于是, 可得兩主應(yīng)力值為OC1CAOxB1D1xyyD2B2C2A21A1第46頁(yè)/共69頁(yè)第四十七頁(yè)，共69頁(yè)。22111()()422x

24、yxyx22211()()422xyxyxOxB1D1xyyD2B2C2A21A1第47頁(yè)/共69頁(yè)第四十八頁(yè)，共69頁(yè)。由于圓上D1點(diǎn)和A1點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于單元體上的x平面和s1主平面, D1CA1為上述兩平面間夾角a0的兩倍, 所以單元體上從x平面轉(zhuǎn)到s1主平面的轉(zhuǎn)角為順時(shí)針轉(zhuǎn)向, 按規(guī)定應(yīng)為負(fù)值。因此(ync), 由應(yīng)力圓可得從而解得0tan( 2)1()2xxy從而解得表示(biosh)主應(yīng)力s1所在主平面位置的方位角為022arctan()xxy由于A1A2為應(yīng)力圓的直徑, 因而(yn r)s2主平面與s1主平面相垂直。第48頁(yè)/共69頁(yè)第四十九頁(yè)，共69頁(yè)。OxB1D1xyyD2B2C

25、2A21A120確定(qudng)主平面方位由CD1順時(shí)針轉(zhuǎn)20到CA1。所以單元體上從x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)0(負(fù)值)即到1對(duì)應(yīng)(duyng)的主平面的外法線。0確定后, 1對(duì)應(yīng)(duyng)的主平面方位即確定。yyyyxxxxabcdx01122第49頁(yè)/共69頁(yè)第五十頁(yè)，共69頁(yè)。例: 從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示, sx-1MPa, sy-0.4 MPa , tx-0.2 MPa , ty0.2 MPa , 繪出相應(yīng)的應(yīng)力(yngl)圓并確定此單元體在a30和a-40兩斜面上的應(yīng)力(yngl)。yyyyxxxx第50頁(yè)/共69頁(yè)第五十一頁(yè)，共69頁(yè)。x-1, y-0.4, x- 0.2,

26、 y0.2yyyyxxxx解: (1) 畫(huà)應(yīng)力(yngl)圓OB1x-1MPa, B1D1x-0.2MPa, 定出D1點(diǎn);以D1D2為直徑(zhjng)繪出的圓即為應(yīng)力圓。OB2y-0.4MPa, B2D2y0.2MPa, 定出D2點(diǎn);OB2B1CD1D2(-0.4, 0.2)(-1,-0.2)第51頁(yè)/共69頁(yè)第五十二頁(yè)，共69頁(yè)。OB2B1CD1D2(-0.4, 0.2)(-1,-0.2)將半徑CD1逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng)260到半徑CE, E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = 30斜截面上的應(yīng)力。(2) 確定(qudng) = 30斜截面上的應(yīng)力E601 x20. x40. y20. y3030

27、300.68 MPa 300.36 MPa 第52頁(yè)/共69頁(yè)第五十三頁(yè)，共69頁(yè)。OB2B1CD1D2(-0.4, 0.2)(-1,-0.2)將半徑(bnjng)CD1順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2-80到半徑(bnjng)CF, F點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = -40斜截面上的應(yīng)力。(3) 確定(qudng) = -40斜截面上的應(yīng)力F-801 x20. x40. y20. y4040400.95 MPa 400.26 MPa第53頁(yè)/共69頁(yè)第五十四頁(yè)，共69頁(yè)。xy300.68 MPa 300.36 MPa 400.95 MPa 400.26 MPa-4030第54頁(yè)/共69頁(yè)第五十五頁(yè)，共69頁(yè)。例: 兩端簡(jiǎn)支

28、的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示, 梁的橫截面尺寸(ch cun)示于圖中。試?yán)L出截面C上a, b兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓, 并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。1.6 m2 mAB250 kNC第55頁(yè)/共69頁(yè)第五十六頁(yè)，共69頁(yè)。解: 首先計(jì)算(j sun)支反力, 并作出梁的剪力圖和彎矩圖1.6 m2 mAB250 kNCFS圖200 kN50 kNM圖80 kNm200 kN50 kNMmax = MC = 80 kNmFS max =FS C左 = 200 kN第56頁(yè)/共69頁(yè)第五十七頁(yè)，共69頁(yè)。*S,zzzF SMyII d3346120 300111 2701212mm88 10zI*31

29、20 15 (1507.5)256 000 mmzaS135 mmay 第57頁(yè)/共69頁(yè)第五十八頁(yè)，共69頁(yè)。*S,zzzF SMyII d46mm88 10zI 3*256 000 mmzaS135 mmay 橫截面C上a點(diǎn)的應(yīng)力(yngl)為122.5 MPaCaazMyI*S64.6 MPazazaF SI dFS max= 200 kN, MC = 80 kNm第58頁(yè)/共69頁(yè)第五十九頁(yè)，共69頁(yè)。122.5 MPa64.6 MPa064.6 MPaxxyy yyxxxx繪出a點(diǎn)處單元體。以D1D2為直徑(zhjng)作應(yīng)力圓。OB1CD2(0,-64.6)D1(122.5, 64

30、.6)由y, y定出D2點(diǎn)由x, x定出D1點(diǎn)第59頁(yè)/共69頁(yè)第六十頁(yè)，共69頁(yè)。OB1CD2(0,-64.6)D1(122.5, 64.6)A113A1, A2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別(fnbi)代表a點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力s1和s3。A222111()150.4 MPa22xxxOAOCCA22322()27.7 MPa22xxxOAOCCA A1點(diǎn)對(duì)應(yīng)(duyng)于單元體上1所在的主平面。022arctan()64.6arctan()46.461.35xxy 20023.2 第60頁(yè)/共69頁(yè)第六十一頁(yè)，共69頁(yè)。1150.4 MPa327.7 MPa 023.2 64.6 64.6 122.5 1

31、22.5 64.6 64.6 327.7 MPa1150.4 MPax23.2y第61頁(yè)/共69頁(yè)第六十二頁(yè)，共69頁(yè)。150 mmby 0b6680 0000.1588 10134.6 10 Pa=134.6 MPaCbbzMyIb點(diǎn)的單元體如圖所示。134.6 134.6 xyOD1(134.6, 0)D2(0, 0)123134.6 MPa,0MC = 80 kNm1第62頁(yè)/共69頁(yè)第六十三頁(yè)，共69頁(yè)。yyxx180.7 MPa20360.7 MPa 022.567.5 367.51x-40MPa, y60MPa, x-50MPa。-300第63頁(yè)/共69頁(yè)第六十四頁(yè)，共69頁(yè)。x畫(huà)

32、出下面單元體的應(yīng)力圓，并寫(xiě)出主應(yīng)力及主平面夾角（ 軸與大的主應(yīng)力方向夾角）。 )(a )(b )(c1)(d000321、31)(e200321、)( f點(diǎn)圓）、(2000321第64頁(yè)/共69頁(yè)第六十五頁(yè)，共69頁(yè)。例 求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置(wi zhi)。(單位：MPa)第65頁(yè)/共69頁(yè)第六十六頁(yè)，共69頁(yè)。322tanMPa952cos2sin20yxxyxxyyx，得：由解法1解析(ji x)法：分析建立坐標(biāo)系如圖xyyxyMPa325MPa45?xMPa201202222minmaxxyyxyx）（MPa325MPa9560600MPa20MPa120321 300)(max0，xyxxyo60 1 2 00第66頁(yè)/共69頁(yè)第六十七頁(yè)，共69頁(yè)。2020o(MPa)(MPa)CAB解法(ji f)：、建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖)325,45(B)325,95(A在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)、AB的垂直平分線與sa 軸的交點(diǎn)C便是(bin sh)圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓應(yīng)力圓AB第67頁(yè)/共69頁(yè)第六十八頁(yè)，共69頁(yè)。4532532595150AB 1 2 0、主應(yīng)力及主平面如圖0MPa20MPa120321 300 o(MPa)(MPa)2020AB 3 3C2 0 2 2 1 1第68頁(yè)/共69頁(yè)第六十九頁(yè)，共69頁(yè)。