2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題47 待定系數(shù)法——求曲線的方程

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題47 待定系數(shù)法——求曲線的方程 待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解.使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式； 第二步，根據(jù)

2、恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決. 本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，重點說明利用待定系數(shù)法確定曲線方程. 待定系數(shù)法中方程的形式： ① 直線：， ② 圓：；. ③ 橢圓： 標準方程：（或，視焦點所在軸來決定） 橢圓方程通式： (1)方程與有相同的離心率． (2)與橢圓共焦點的橢圓系方程為，恰當運用橢圓系方程，可使運算簡便． ④ 雙曲線： (1)標準方程：（或，視焦點所在軸決定） 雙曲線方程通式： (2) 相同漸進線的雙曲線系方程：與雙曲線漸近線相同的雙曲線系方程為： ⑤拋物線： 標準

3、方程：等 拋物線方程通式：， 【經(jīng)典例題】 例1. 一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） （A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 【答案】D 例2.設斜率為2的直線過拋物線 的焦點F，且和y軸交于點A. 若為坐標原點)的面積為，則拋物線的方程為（ ） A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x 【答案】 【解析】的焦點是，直線的方程為，令得，所以由的面積為得，，故選. x/k//w 例3.中心為原點，焦點在軸上，離心率為，且與直線相切的橢圓的方程為（

4、） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為橢圓的離心率，所以，所以，，則可設橢圓的方程為，與聯(lián)立，并化簡得，因為直線與橢圓相切，所以，即，解得，則，所以橢圓的方程為 例4.【2018屆華大新高考聯(lián)盟高三1月】拋物線的頂點在坐標原點，開口向上，其準線經(jīng)過雙曲線 的一個頂點，則此拋物線的標準方程為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 例5.【2017天津，文5】已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為 （A）（B）（C）（D） 【答案】 【解析】由題意

5、結合雙曲線的漸近線方程可得：，解得：， 雙曲線方程為：，本題選擇D選項. 例6.【2018屆天津市部分區(qū)高三上學期期末】以點為圓心的圓與直線相切于點，則該圓的方程為__________． 【答案】 答案： 例7.求經(jīng)過點兩點的橢圓標準方程. 【答案】 【解析】設橢圓方程為 ， ∵點在橢圓上， ∴，解得 故為所求橢圓標準方程． 例8.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點． （1）若的周長為16，求直線的方程； （2）若，求橢圓的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）的周長為可得的值，由離心率為得的

6、值，得坐標，代入直線的點斜式方程可得直線的方程；（2）由離心率及關系化簡橢圓方程，聯(lián)立橢圓及直線方程，整理關于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系得的值，代入弦長公式，建立等式，可得的值，從而得橢圓的方程． 則 且 ∴， 解得， 從而得所求橢圓C的方程為 ． 例9.橢圓的右焦點為，右頂點，上頂點分別為，且 （1）求橢圓的離心率 x/k**w （2）若斜率為的直線過點，且交橢圓于兩點，，求直線的方程及橢圓的方程 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由橢圓方程可得： 聯(lián)立方程：，消去可得：，即： ，解得：

7、經(jīng)檢驗：當，滿足直線與橢圓有兩個交點，所以符合條件 橢圓方程為 例10.已知點是橢圓的右焦點，是橢圓短軸的兩個端點，且是正三角形 （1）求橢圓的離心率 （2）直線與以為直徑的圓相切，并且被橢圓截得的弦長的最大值為，求橢圓的標準方程 【答案】（1）；（2）. （2）由（1）可得橢圓的方程為：， 設與橢圓的交點為 若斜率不存在，可得弦長 若斜率存在，設，聯(lián)立方程： ，整理可得： 橢圓方程為： 【精選精練】 1.【2018屆云南省昆明市第一中學高三第五次月考】直線過點且圓相切，則直線的的方程為（ ） A. B. C.

8、 或 D. 或 【答案】C 【解析】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，而圓心為，半徑為，所以，解得；當直線的斜率不存在，即直線為時，直線與圓相切，所以直線的方程為或， 故選：C． 2.已知圓，當圓的面積最小時，直線與圓相切，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由題意可知：圓的標準方程為，所以當時圓的面積最小，此時圓的圓心為，半徑為1，又因為直線與圓相切，所以. x.k..w 3.已知拋物線的焦點為，點為上一動點，， ，且的最小值為，則等于（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B

9、 4.如圖所示，已知橢圓方程為，為橢圓的左頂點，在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令橢圓的右端點為點，根據(jù)對稱性可知，那么，又根據(jù)橢圓的對稱性可知，點關于軸對稱，，設點的橫坐標是，代入橢圓方程，解得，即 ，，因為，所以 ，即 ，可得 ，即 ，即，故選C. 5.【2018屆江西省南昌市高三第一次模擬】已知橢圓，為坐標原點，是橢圓上兩點，的斜率存在并分別記為、，且，則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 聯(lián)立方程：可得：， 則：

10、， 此時. 本題選擇C選項. 6.【2018屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學期期末】已知圓與圓相切于原點，且過點，則圓的標準方程為__________． 【答案】 【解析】設圓的標準方程為，其圓心為，半徑為 ∵可化簡為 故答案為 7.【2018屆內蒙古集寧第一中學高三上學期第二次月考】已知雙曲線Ｓ與橢圓的焦點相同,如果是雙曲線Ｓ的一條漸近線,那么雙曲線Ｓ的方程為_______________. 【答案】 【解析】∵橢圓方程為，雙曲線Ｓ與橢圓的焦點相同 ∴雙曲線Ｓ的焦點坐標為 設雙曲線方程為?，則c=5 ∵是雙曲線Ｓ的一條漸近線 ∴, ∵ ∴， ∴雙曲線Ｓ的方程為.

11、 故答案為 8.在直角坐標系中，O為坐標原點，設直線經(jīng)過點，且與軸交于點F（2，0）。 （I）求直線的方程； （II）如果一個橢圓經(jīng)過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程。 【答案】（1）.（2）. 【解析】（I）由于直線經(jīng)過點和F（2，0），則根據(jù)兩點式得，所求直線的方程為 9.【2018屆全國名校大聯(lián)考高三第四次聯(lián)考】（1）求圓心在直線上，且與直線相切于點的圓的方程； （2）求與圓外切于點且半徑為的圓的方程. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】試題分析： (1)由題意可得圓的一條直徑所在的直線方程為，據(jù)此可得圓心，半徑，則所求圓的方程為. (2)圓

12、的標準方程為，得該圓圓心為，半徑為，兩圓連心線斜率.設所求圓心為，結合弦長公式可得， .則圓的方程為. 試題解析： （1）過點且與直線垂直的直線為， ，∴， ，∴. ∴.x.k+*w 10.【2018屆廣東省汕頭市高三上學期期末】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過曲線與軸的交點. (1) 求圓的方程； (2) 已知過坐標原點的直線與圓交兩點，若，求直線的方程. 【答案】（1）（2）或. 【解析】試題分析： （1）先求出曲線與軸的交點為，再根據(jù)圓心在直線，由待定系數(shù)法可求得圓的方 解得或， 所以曲線與軸的交點坐標為． 設圓的方程為， 依題意得， 解得，

13、 所以圓的方程為． (2)解法一： 由題意知直線的斜率顯然存在，故設直線的斜率為，則直線的方程為． 由消去整理得 ， 因為直線與圓交兩點， 所以． 設， 則 因為， 所以， 所以 解得或， 經(jīng)檢驗得或滿足， 所以直線的方程為或. 解法二： 解得 所以圓心到直線的距離等于2， 設直線的方程為，即 所以， 解得或， 所以直線的方程為或. 11.【2018屆山西省晉中市高三1月高考適應性調研】已知拋物線： （）的焦點是橢圓： （）的右焦點，且兩曲線有公共點 （1）求橢圓的方程； （2）橢圓的左、右頂點分別為， ，若過點且斜率不為零的直

14、線與橢圓交于， 兩點，已知直線與相較于點，試判斷點是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由. 【答案】(1) (2) 點在定直線上 有兩個不等的實根，利用韋達定理轉化條件即可. 試題解析： （1）將代入拋物線得 ∴拋物線的焦點為，則橢圓中， 又點在橢圓上， ∴， 解得， 橢圓的方程為 （2）方法一 當點為橢圓的上頂點時，直線的方程為，此時點， ，則直線和直線，聯(lián)立，解得， ， 設，則， 則直線與直線 聯(lián)立兩直線方程得（其中為點橫坐標） 將代入上述方程中可得， 即， 即證 將代入上式可得 ，此式成立 ∴點在定直線上.

15、方法二 ， 由， ， 三點共線，有： 由， ， 三點共線，有： 上兩式相比得 ， 解得 ∴點在定直線上． 12.【2018屆廣東省深圳市高三第一次調研】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個交點. (1)求橢圓的方程和點的坐標； (2) 為坐標原點，與平行的直線與橢圓交于不同的兩點， ，求的面積最大時直線的方程. 【答案】（1）橢圓的方程為，點的坐標為；（2）或. 【解析】試題分析：(1) 根據(jù)橢圓的離心率為，直線與橢圓有且 試題解析：(1)由，得，故. 則橢圓的方程為. 由，消去，得.① 由，得. 故橢圓的方程為. 由，得， . 設原點到直線的距離為. 則. 所以. 所以當時，即時， 的面積最大. 所以直線的方程為或. 點睛：本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據(jù)上述判斷設方程或 ；③找關系：根據(jù)已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.