2022人教A版數學必修二 《圓的標準方程》教案

《2022人教A版數學必修二 《圓的標準方程》教案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022人教A版數學必修二 《圓的標準方程》教案（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022人教A版數學必修二 《圓的標準方程》教案 1課時 教學分析 在初中曾經學習過圓的有關知識,本節(jié)內容是在初中所學知識及前幾節(jié)內容的基礎上,進一步運用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關系及其應用.同時,由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學習了圓的方程,就為后面學習其他圓錐曲線的方程奠定了基礎.也就是說,本節(jié)內容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實際問題中也有著廣泛的應用.由于“圓的方程”一節(jié)內容的基礎性和應用的廣泛性,對圓的標準方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學生的主體意識,教學生學會學習和學會創(chuàng)造,同時培養(yǎng)學生的應用意識,本節(jié)內容可采用“引導探究”型

2、教學模式進行教學設計,所謂“引導探究”是教師把教學內容設計為若干問題,從而引導學生進行探究的課堂教學模式,教師在教學過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學生“探”,把“引”和“探”有機的結合起來.教師的每項教學措施,都是給學生創(chuàng)造一種思維情境,一種動腦、動手、動口并主動參與的學習機會,激發(fā)學生的求知欲,促使學生解決問題. 課題 4.1.1 圓的標準方程 教學目標 （一）知識與技能 使學生掌握圓的標準方程,能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程,能根據圓的標準方程寫出圓的圓心、半徑,進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數形結合思想,注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現問題和解決問

3、題的能力. （二）過程與方法 會用待定系數法求圓的標準方程,通過圓的標準方程解決實際問題的學習,形成代數方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學生學習數學的熱情和興趣,培養(yǎng)學生分析、概括的思維能力. （三）情感態(tài)度與價值觀 把握運動變化原則,培養(yǎng)學生樹立相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義觀點,欣賞和體驗圓的對稱性,感受數學美. 教學過程 一、導入新課 同學們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內容,教師板書本節(jié)課題:圓的標準方程. 二、講授新課 自主學習 ①已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之

4、間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離? ②具有什么性質的點的軌跡稱為圓？ ③圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？ 圖1 ④我們知道,在平面直角坐標系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么? ⑤如果已知圓心坐標為C(a,b),圓的半徑為r,我們如何寫出圓的方程? ⑥圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時,圓的方程是什么？ 學生展示 討論結果：①根據兩點之間的距離公式,得 |AB|=, |CD|=. ②平面內與一定點距離等于定長的點的軌跡

5、稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓). ③圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小. ④確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了. ⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑,設圓的圓心坐標為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數,r＞0).設M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導學生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件=r.①將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化簡可得(x-a)2+(y-b)2=

6、r2.② 若點M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點M的坐標滿足方程②,反之若點M的坐標滿足方程②,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標準方程. ⑥這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內變數x,y的系數都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標和圓的半徑.當圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2. 合作探究 探究1 ①根據圓的標準方程說明確定圓的方程的條件是什么? ②確定圓的方程的方法和步驟是什么? ③坐標平面內的點與圓有什么位置關系?如何判斷? 學生展示

7、：①圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三個參數a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標準方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件. ②確定圓的方程主要方法是待定系數法,即列出關于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為： 1°根據題意,設所求的圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2°根據已知條件,建立關于a、b、r的方程組； 3°解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設的方程中去,就得到所求圓的方程. ③點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r

8、2的關系的判斷方法： 當點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 當點M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應為: 1°點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,點在圓外; 2°點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上; 3°點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,點在圓內. 探究2 例1 寫出

9、下列各圓的標準方程： (1)圓心在原點,半徑是3； ⑵圓心在點C(3,4),半徑是; (3)經過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)； (4)圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切. 學生展示 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關參數來確定圓的標準方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定. (4)設圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=. 老師點評：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程. 例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等

10、于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上. 學生解答:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標準方程是 (x-2)2+(y+3)2=25, 把點M1(5,-7),M2(-,,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 則M1的坐標滿足方程,M1在圓上.M2的坐標不滿足方程,M2不在圓上. 老師點評:本題要求首先根據坐標與半徑大小寫出圓的標準方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關系,這里體現了坐標法的思想,根據圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數；根據坐標滿足方程來看在不在圓上——從代數到幾何. 教師精講 例3 △ABC的三個頂點的坐

11、標是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程. 教師引導學生從圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標準方程,可用待定系數法確定a、b、r三個參數.另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結、歸納、提煉方法. 解法一:設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上, 它們的坐標都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是 解此方程組得所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:線段AB的中點坐標為(6,-1

12、),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). ① 同理線段AC的中點坐標為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). ②解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標為(2,-3),半徑r==5,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.

13、 點評:△ABC外接圓的圓心是△ABC的外心,它是△ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路. 鞏固提高 1、一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程. 2、課本本節(jié)練習1、2. 3、求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程. 活動:學生思考交流,教師提示引導,求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法. 三、課堂小結 ①圓的標準方程. ②點與圓的位置關系的判斷方法. ③根據已知條件求圓的標準方程的方法. ④利用圓的平面幾何的知識構建方程. ⑤直徑端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 四、布置作業(yè) 1.復習初中有關點與圓的位置關系,直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關系有關內容. 2.預習有關圓的切線方程的求法. 3.課本習題4.1 A組第2、3題.