2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理（含解析） 1．（xx江西，5分）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(　　) A. π B. π C．(6－2)π D. π 解析：選A　法一：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，圓C的圓心坐標(biāo)為，2r＝，由題知圓心到直線2x＋y－4＝0的距離d＝＝r，即|2a＋b－8|＝2r，2a＋b＝8±2r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2r≤2r?r≥，即圓C的面積S＝π r2≥π. 法二：由題意可知以線段A

2、B為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小．又圓C與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識(shí)，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線2x＋y－4＝0的距離，此時(shí)2r＝，得r＝，圓C的面積的最小值為S＝πr2＝π. 答案：A 2．（xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ，5分）設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：由題意可知M在直線y＝1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)P(0,1)．當(dāng)x0＝0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，顯然圓上存在點(diǎn)N(±1，0)符合要求；當(dāng)x0≠0時(shí)，過M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)

3、P，此時(shí)對于圓上任意一點(diǎn)N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當(dāng)∠OMP＝45°時(shí)，有x0＝±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 答案：[－1,1] 3．（xx江蘇，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________． 解析：因?yàn)閳A心(2，－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝＝，所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2＝. 答案： 3．（xx重慶，5分）已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC

4、為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：依題意，圓C的半徑是2，圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±. 答案：4± 4．（xx湖北，5分）直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 解析：由題意得，直線l1截圓所得的劣弧長為，則圓心到直線l1的距離為，即＝?a2＝1，同理可得b2＝1，則a2＋b2＝2. 答案：2 5．（xx江蘇，16分）如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB

5、垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m．經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新橋BC的長； (2)當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？ 解：法一：(1)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 由條件知A(0,60)，C(170,0)， 直線BC的斜率kBC＝ －tan∠BCO＝－. 又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝. 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)， 則kBC＝＝－，kAB＝＝. 解得a＝

6、80，b＝120. 所以BC＝＝150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 由條件知，直線BC的方程為y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r， 即r＝＝. 因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m， 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d＝10時(shí)，r＝最大，即圓面積最大． 所以當(dāng)OM＝10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大． 法二：(1)如圖，延長OA，CB交于點(diǎn)F. 因?yàn)閠an∠FCO＝， 所以sin∠FCO＝，cos∠

7、FCO＝. 因?yàn)镺A＝60，OC＝170， 所以O(shè)F＝OCtan∠FCO＝， CF＝＝. 從而AF＝OF－OA＝. 因?yàn)镺A⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝. 又因?yàn)锳B⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝， 從而BC＝CF－BF＝150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝. 因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，

8、 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d＝10時(shí)，r＝最大，即圓面積最大． 所以當(dāng)OM＝10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大． 6．（xx江西，5分）過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于(　　) A.　　　　　　　　　　　　　 B．－ C．± D．－ 解析：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算能力．由y＝ 得x2＋y2＝1(y≥0)，即該曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的半圓，如圖所示．故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝sin ∠AOB.所以當(dāng)sin

9、 ∠AOB＝1，即OA⊥OB時(shí)，S△AOB取得最大值，此時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離d＝|OA|·sin 45°＝.設(shè)此時(shí)直線l的斜率為k，則方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，則有＝，解得k＝±，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故取k＝－. 答案：B 7．（xx山東，4分）過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________． 解析：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力．最短弦為過點(diǎn)(3,1)，且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦長為2＝2＝2. 答案：2 8．（xx重慶，5分）已知圓C1：(x－2)

10、2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4　　　　　　　　　　　 B.－1 C．6－2 D. 解析：本題考查與圓有關(guān)的最值問題，意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力．兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2|)min＝|CC2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4. 答案：A 9．（xx江蘇，14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y

11、＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 解：本題考查直線與圓的方程，兩直線交點(diǎn)和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生用待定系數(shù)法處理問題的能力和用代數(shù)法處理幾何性質(zhì)的能力． (1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3， 由題意，＝1，解得k＝0或－， 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳A心在直

12、線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO， 所以＝2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，. 10．（xx天津，5分）設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是(

13、　　) A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞) 解析：由題意可得＝1，化簡得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2. 答案：D 11．（xx陜西，5分）已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則(　　) A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 解析：把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32＋0－4×3＝－3<0，故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部，所以過點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交． 答案：A 12．（2011江西，

14、5分）若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－，) B．(－，0)∪(0，) C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：整理曲線C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲線C1為以點(diǎn)C1(1,0)為圓心，以1為半徑的圓；曲線C2則表示兩條直線，即x軸與直線l：y＝m(x＋1)，顯然x軸與圓C1有兩個(gè)交點(diǎn)，知直線l與x軸相交，故有圓心C1到直線l的距離d＝