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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2 函數(shù)與方程教案 新課標(biāo)
【知識歸納】
1.函數(shù)零點的定義:
方程有實根函數(shù)圖象與軸有交點函數(shù)有零點。
2.函數(shù)變號零點與不變號零點(二重零點)性質(zhì):
(1)定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線,并且有那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,即存在,使得,這個也就是方程的實數(shù)根。
(2)變號了一定有零點(能證明f(x)單調(diào)則有且只有一個零點);不變號不一定無零點(如二重零點):在相鄰兩個零點之間所有的函數(shù)值保持同號。
3.怎樣求零點:即為求解方程的根?
解一:利用計算器或計算機(jī)作的對應(yīng)值表、若在區(qū)間上連續(xù),并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個實數(shù)根
2、、若能證明在單調(diào)性,則在有且只有一個零點、再在其它區(qū)間內(nèi)同理去尋找。
解二:試探著找到兩個x對應(yīng)值為一正一負(fù)(至少有一個);再證單調(diào)增函數(shù)即可得有且只有一個。
解三:構(gòu)造兩個易畫函數(shù),畫圖,看圖象交點個數(shù),很實用。
4.用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟:
在給定精確度,用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟是:
(1)確定區(qū)間,驗證,給定精確度;
(2)求區(qū)間的中點;
(3)計算:
①若=0,則c就是函數(shù)的零點,計算終止;
②若,則令b=c(此時零點);
③若則令a=c(此時零點。(用列表更清楚)
(4).判斷是否達(dá)到精確度:即若,則得到零點近似值;否則重復(fù)(2)~(4)。
說
3、明:用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適合,對函數(shù)的不變號零點不使用;用二分法求函數(shù)的零點近似值必須用上節(jié)的三種方法之一先求出零點所在的區(qū)間。
【典型例題】
一、確定零點的個數(shù)
例1.(1)二次函數(shù)中,,則函數(shù)的零點個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.0個 D.無法確定
分析:分析條件,是二次項系數(shù),確定拋物線的開口方向,,所以,由此得解。
解:因為,所以,即與異號,即或
所以函數(shù)必有兩個零點,故選B。
(2)函數(shù)的零點個數(shù)為_______。
解:可由試根法求得的一根為,從而可得,由函數(shù)的零點個數(shù)為3個。
4、
例2. 函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.和(3,4) D.
分析:從已知的區(qū)間,求和,判斷是否有。
解:因為,故在(1,2)內(nèi)沒有零點,非A。
又,所以,所以在(2,3)內(nèi)有一個零點,選B。
例2.下列函數(shù)中,在區(qū)間[1,2]上有零點的是
①②③
④⑤
解析:①直接求出x=1,符合
②首先判斷一元二次函數(shù)的零點個數(shù),通過求所對應(yīng)方程判別式的大?。骸?0,無零點
③△>0,且,零點
④即判斷與的交點情況,需要畫圖,并判斷交點所在區(qū)間
⑤同理,判斷與的交點情況
答案①③⑤
5、
例4. 試證明函數(shù)在上有且僅有一個零點。
證明:且,
而函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的
在區(qū)間內(nèi)有零點。
又,在上是一個單調(diào)遞增函數(shù)。如果函數(shù)有不僅一個的零點,可設(shè)為它的兩個不等的零點,則有,這與在上是一個單調(diào)遞增函數(shù)矛盾,函數(shù)在上有且僅有一個零點。
二、求函數(shù)零點的近似值
例5.求方程在區(qū)間內(nèi)的實數(shù)解。( 精確到0.01)
解:考察函數(shù)由于,函數(shù)在內(nèi)存在零點,即方程在區(qū)間內(nèi)有解。取[0,2]的中點1, 方程在[1,2]內(nèi)有解,又所以在區(qū)間存在零點,方程在[1,1.5]內(nèi)有解,如此下去,取區(qū)間作為計算器的初始區(qū)間。用二分法逐次計算列表如下:
區(qū)間中點坐標(biāo)
中點函數(shù)值
取區(qū)間
6、
0.5
1.25
0.25
1.375
0.125
1.3125
0.0625
1.34375
0.03125
1.328125
0.015625
1.3203125
0.0078125
,至此可以看出,函數(shù)的零點落在區(qū)間長度小于0.01的區(qū)間內(nèi),因為該區(qū)間的所有值精確到0.01的都是1.32,所以1.32是函數(shù)精確到0.01的一個近似零點。
例6.已知二次函數(shù)的圖象以原點為頂點且過點,反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個交點間距離為8,
(1)求函數(shù)的表達(dá)式。
(2)證明:當(dāng)時,關(guān)于的方程有三個實數(shù)解。
7、
解:(1)
(2)由得,即:,在同一坐標(biāo)系作出和的大致圖象,其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線,的圖象是以為頂點,開口向下的拋物線。因此,與的圖象在第三象限有一個交點。即有一個負(fù)數(shù)解。
又,當(dāng)時,
當(dāng)時,在第一象限的圖象上存在一點在圖象的上方。
與的圖象在第一象限有兩個交點,即有兩個正數(shù)解。因此,方程有三個實數(shù)解。
方法二:由得,因式分解為:,即:或,又不是的根,故可化為:,只須證明和不是的根,且具有兩個不等的實根。
【作業(yè)】
1.已知關(guān)于的方程-2= 0有實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍。
答案:0≤≤4-
2.已知二次函數(shù)
(1)若,且,試證明
8、必有兩個零點。
(2)若對于且,,方程有兩個不等的實根,證明必有一實根屬于。
證明:(1)
又,即,
又,方程有兩個不等實根,所以函數(shù)有兩個實根。
(2)令,
則,
,
在內(nèi)必有一實根,即在內(nèi)必有一實根。
3.已知關(guān)于x的二次函數(shù).
(1)求證:對于任意,方程必有實數(shù)根;
(2)若,求證:方程在區(qū)間上各有一個實數(shù)根.
(1)由知必有實數(shù)根.
或由得必有實數(shù)根.
(2)當(dāng)時,因為,,
,
所以方程在區(qū)間上各有一個實數(shù)根.
4.已知,t∈[,8],對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m,不等式恒成立,求x的取值范圍。
解析∵t∈[,8],∴f(t)∈[,3]
原題轉(zhuǎn)化為:>0恒成立,為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)
當(dāng)x=2時,不等式不成立。
∴x≠2。令g(m)=,m∈[,3]
問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[,3]上恒對于0,則:;
解得:x>2或x<-1
評析:首先明確本題是求x的取值范圍,這里注意另一個變量m,不等式的左邊恰是m的一次函數(shù),因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中,選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。