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1、2022年高考數(shù)學(xué) 函數(shù)題 專題復(fù)習(xí)教案 蘇教版
一:考點(diǎn)分析:
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),也是每年高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容,而且在每年的高考試卷上所占的比重比較大,從題型上來(lái)看,圍繞函數(shù)的考查既有填空題,又有解答題。函數(shù)部分復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)分兩個(gè)方面:一是函數(shù)“內(nèi)部”的復(fù)習(xí):即對(duì)函數(shù)的基本概念(定義域、值域、函數(shù)關(guān)系)、函數(shù)的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性)及應(yīng)用、基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)的掌握與應(yīng)用等方面的復(fù)習(xí);另一方面是從函數(shù)的“外延”方面去復(fù)習(xí),即重視函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的交叉、綜合方面的復(fù)習(xí)。
函數(shù)復(fù)習(xí)除了知識(shí)方面的復(fù)習(xí)要全面到位以外,還要重視思想方法的滲透,尤其是要重視分類討論、數(shù)形結(jié)合、
2、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法的滲透。
二、典例解析:
【例1】函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______________
分析:不能只想到 還要考慮。
解:且,解得且。
答案:
【例2】若函數(shù)在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是 .
解法一:(數(shù)形結(jié)合、分類討論)
(ⅰ)時(shí),不合題意;
(ⅱ)時(shí),由于函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是,且,作函數(shù)的圖象知,此時(shí)函數(shù)在(0,1)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)
(ⅲ)時(shí),由于函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是,且,作函數(shù)的圖象知,要使函數(shù)在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),只須,即。
解法二:時(shí),,令則,于是有,作函數(shù)的圖象知,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn),故a的取值范圍是。
3、
答案:。
【例3】已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則的值是_______________
解:令,則;令,則,由
得,所以
答案:0。
【例4】已知函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的范圍是
解:設(shè),當(dāng)時(shí),,,則函數(shù)是上的減函數(shù);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)是上的減函數(shù),則,,解得,綜上,或。
答案:或
【例5】設(shè)函數(shù)在(,+)內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù),定義函數(shù),取函數(shù),若對(duì)任意的,恒有=,則的最小值為_(kāi)__________解:若對(duì)任意的,恒有=,則是函數(shù)在上的最大值, 由
知,所以時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以即的值域是,而要使在上恒成立, 值為1。
【例6
4、】已知函數(shù).
(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2) 證明: 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱。;
(3) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.
解:(1) 法一:,當(dāng)或時(shí),均有,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和。
法二:由于,因而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位而得,因而以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和。
(2)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任一點(diǎn),則,
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)是,
記,則
由上可知,點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱。
(3),當(dāng)時(shí),,,
,即當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?
【例7】已知二次函數(shù)滿足,且。
(1)求的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
5、
(3)設(shè),,求的最大值。
解:(1)設(shè),代入和,
并化簡(jiǎn)得,。
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立即不等式恒成立,
令,則,當(dāng)時(shí),,。
(3)對(duì)稱軸是。
當(dāng)時(shí),即時(shí),;
當(dāng)時(shí),即時(shí),
綜上所述:。
【例8】已知。
(Ⅰ)當(dāng),時(shí),問(wèn)分別取何值時(shí),函數(shù)取得最大值和最小值,并求出相應(yīng)的最大值和最小值;
(Ⅱ)若在R上恒為增函數(shù),試求的取值范圍;
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), 。
(1)時(shí),,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。
(2)當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 。
綜上所述,當(dāng)或4時(shí),;當(dāng)時(shí), 。
(Ⅱ),
在上恒為增函數(shù)的充要條件是,解得 。
【例9】已知函數(shù)(且)。
(1)求函數(shù)的定義域
6、和值域;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)滿足:對(duì)于任意,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1)由得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域是。
令,則,,當(dāng)時(shí),是減函數(shù),故有,即,所以函數(shù)的值域?yàn)椤?
(2)若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于任意,都有,則是定義域的子集,由(1)得不滿足條件;因而只能有,且,即,令,由(1)知,由得(舍去),或,即,解得,由是,只須對(duì)任意,恒成立,而對(duì)任意,由得,因而只要,解得。綜上,存在,使得對(duì)于任意,都有。
【例10】已知集合是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)的全體:在其定義域上是單調(diào)函數(shù);在的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間,使得在上的
7、最小值是,最大值是。請(qǐng)解答以下問(wèn)題:(1)判斷函數(shù)是否屬于集合?并說(shuō)明理由,若是,請(qǐng)找出滿足的閉區(qū)間;(2)若函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:的定義域是,,當(dāng)時(shí),恒有(僅在時(shí)取等號(hào)),故在其定義域上是單調(diào)減函數(shù);若,當(dāng)時(shí),即 解得故滿足的閉區(qū)間是。至此可知,屬于集合。
(2)函數(shù)的定義域是,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上是增函數(shù),若,則存在,且,使得,即且令,則,于是關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根,記,。
三、鞏固練習(xí):
1.已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
2.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是___
8、________________.
3.已知函數(shù),對(duì)任意的,都有成立,則的取值范圍是 ___
4.已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),有,且當(dāng),的值域是,則的值是
5.已知,,則與的大小關(guān)系是_______.
6.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)若函數(shù)在[10,+∞)上單調(diào)遞增,求k的取值范圍.
7.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查分析知,東海水晶市場(chǎng)明年從年初開(kāi)始的前幾個(gè)月,對(duì)水晶項(xiàng)鏈需求總量(萬(wàn)件)近似滿足下列關(guān)系:
(1)寫(xiě)出明年第個(gè)月這種水晶項(xiàng)鏈需求總量(萬(wàn)件)與月份的函數(shù)關(guān)系式,并求出哪幾個(gè)月的需求量超過(guò)萬(wàn)件。
(2)若計(jì)劃每月水晶項(xiàng)鏈的市場(chǎng)的投放量都是P萬(wàn)件,
9、并且要保證每月都滿足市場(chǎng)需求,則P至少為多少萬(wàn)件?
8.已知函數(shù),證明:在上是增函數(shù)的充要條件是在上恒成立.
9.對(duì)于函數(shù),若存在使成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn),已知函數(shù).
(1) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);
(2) 若對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;
(3) 在(2)的條件下,若圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求的最小值.
10.已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體:在定義域內(nèi)存在,使得成立。
(Ⅰ)函數(shù)是否屬于集合?說(shuō)明理由;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn),證明:函
10、數(shù)。
鞏固練習(xí)參考答案:
1. ;2.;3.;4.1;5.。
6.解:(1)由及 得,
(?。┊?dāng)01時(shí),得
綜上,當(dāng)0
11、
8.證法1:求導(dǎo)可得:.
“必要性”:若在上遞增,則當(dāng)時(shí),恒成立.
在上單調(diào)遞增.
又在上遞增,則
則“必要性”得證.
“充分性”:在上恒成立,則
又在上單調(diào)遞增,則
在上遞增.
證法2:證明:因?yàn)?
“必要性”:若在上遞增,則當(dāng)時(shí),恒成立.
則
當(dāng)時(shí),遞減,則,則
又因?yàn)樵谏线f增,則
則“必要性”得證.
“充分性”:若在上恒成立,則
則,令,則,
因?yàn)?,則,所以在上單調(diào)遞減.
則,所以,由必要性的論證可知,在上遞增
則“充分性”得證.
9.解 (1)當(dāng)時(shí),,于是,等價(jià)于
, 解得或,即此時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)是和.
(2)由得 (*) ,
由題意得,對(duì)任意實(shí)數(shù),方程(*)總有兩個(gè)不等的實(shí)根,故有,即
總成立,于是又有,,.
(3)設(shè),,,
則由關(guān)于直線對(duì)稱,得,
,又的中點(diǎn)在直線上,
,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取最小值
10.解:(Ⅰ)若,在定義域內(nèi)存在,則,
∵方程無(wú)解,∴。
(Ⅱ),
時(shí),;時(shí),由,得。
∴。
(Ⅲ),
∵函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
則(其中),即,
于是。