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1、2022年高三數(shù)學《第98課特征值與特征向量》基礎(chǔ)教案
一．課標解讀
掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義，會求二階矩陣特征值與特征向量，并能解決簡單的問題。
二．課前預(yù)習
1.矩陣A= 的特征值和特征向量 .
2.矩陣的特征值和特征向量 .
3.設(shè)是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．
則矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量為 ；逆矩陣 ；橢圓在的作用下的新曲線的方程 .
4.已知 ，，則
2、 .
5. 已知方程AX=B，其中A= ，B＝，則X＝____________
6. 已知向量，在矩陣 作用下得到向量，則△OPP’的面積____
7.已知盒子A中裝有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B中裝有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A，B兩個盒子很難分辨，而且可以任取一個，現(xiàn)在要求先取一個盒子，那么從中摸到一只黑色小球的概率有 。
8.A，B，C三個城市的交通情況，小月想從其中某一個城市出發(fā)直達另一個城市，她可以有幾種選擇？如果他想從某一個城市出發(fā)，先經(jīng)過一個城市，再到達另一個城市，她又可以有
3、 種選擇。
三 典型例題
例1. 給定矩陣M＝ ，N＝ 及向量，
（1）證明和同時是M和N的特征向量
（2）求出M和N的特征值。
例2.已知點列滿足，且，求
例3.在軍事密碼學中，密碼發(fā)送的流程如圖所示，它的數(shù)學原理是：發(fā)送方將要傳送的信息數(shù)字化后用一個矩陣X表示(不足的元素可以補上0，字與字之間的空格也以0記)，在矩陣的左邊乘上一個雙方約定好的可逆方陣A，得到B=AX，則B即為傳送出去的密碼。接受方收到密碼后，只需左乘A的逆矩陣，即可得到發(fā)送出去的明碼X=B。不妨以二階矩陣為例，先將英文字母數(shù)字化，讓，先已知發(fā)送方傳出的密碼為7，13，39，6
4、7，雙方約定的可逆矩陣為 ，試破解發(fā)送的密碼.
明碼 X
發(fā)送方加密
密碼B
接受方解密
明碼X
例4.自然界生物種群的成長受到多種因素影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等。因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系。但是，如果沒有任何限制，種群也會泛濫成災(zāi).現(xiàn)假設(shè)兩個相互影響的種群X，Y隨時間段變化的數(shù)量分別為，有關(guān)系式，其中，試分析20個時段后這兩個種群的數(shù)量變化趨勢.
班級：________姓名：_____________學號：_____
四.學生作業(yè)
1.矩陣A= 的特征值和特征向量
5、
2. 矩陣B= 的特征值和特征向量
3.投影變換矩陣M= 的特征值和特征向量為 ， = 。
4.已知一級路矩陣 表示一個網(wǎng)絡(luò)圖，它們的結(jié)點分別是A，B，C，試畫出一個網(wǎng)絡(luò)圖.
5.證明：若是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量，則也是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量.
6.給定矩陣
(1)求A的特征值 及對應(yīng)的特征向量 ；
(2)求A4B．
7.已知點列滿足且。問當逐漸變大時，有何變化趨勢.
8. 寫出圖示網(wǎng)絡(luò)表示的一級路矩陣和二級路
6、矩陣(圖(2)的圓圈表示自己到自己有1條線路).
9.已知甲、乙兩個種群相互影響，其數(shù)量分別為，，且有關(guān)系式，試求10個時段后甲、乙兩個種群的數(shù)量.
10.某運動服銷售店經(jīng)銷A，B，C，D四種品牌的運動服，其尺寸分別有S(小號)、M(中號)、L(大號)、XL(特大號)四種，一天內(nèi)該店的銷售情況如下表所示(單位：件)假設(shè)不同品牌的運動服的利潤是A為20元/件，B為15元/件，C為30元/件，D為25元/件，請問：M號的運動服在這天獲得的總利潤是多少？
型號 品牌
A
B
C
D
S
3
2
0
1
M
5
3
4
3
L
2
4
5
5
XL
1
0
1
1
2022年高三數(shù)學《第98課特征值與特征向量》基礎(chǔ)教案
