2020版高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖教學案 文（含解析）北師大版

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1、第一節(jié)　空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖 [考綱傳真]　1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式． 1．旋轉體的形成 幾何體 旋轉圖形 旋轉軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線

2、2.多面體的結構特征 3．直觀圖 (1)畫法：常用斜二測畫法． (2)規(guī)則： ①在已知圖形中建立直角坐標系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應x′軸和y′軸，兩軸交于點O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面； ②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段； ③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的. 4．三視圖 (1)三視圖的畫法規(guī)則： 主、俯視圖長對正，主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等，前后對應． (2)畫簡單組合體的三視圖應注意的兩個問題： ①首先，確定主視、

3、俯視、左視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同． ②其次，簡單組合體是由哪幾個基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置． 1．按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關系如下． S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 2．常見旋轉體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓． (2)水平放置的圓錐的正視圖和側視圖均為全等的等腰三角形． (3)水平放置的圓臺的正視圖和側視圖均為全等的等腰梯形． (4)水平放置的圓柱的正視圖和側視圖均為全等的矩形． 3．正棱柱、正棱錐的結構特征 (1)正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做

4、直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形． (2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． (　　) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． (　　) (3)夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺． (　　) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相

5、同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(　　) A．棱臺　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．簡單組合體 C　[由幾何體的結構特征，剩下的幾何體為五棱柱．] 3．下列說法正確的是(　　) A．相等的角在直觀圖中仍然相等 B．相等的線段在直觀圖中仍然相等 C．正方形的直觀圖是正方形 D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行 D　[根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則知，A，B，C均不正確，故選D．] 2．某空間幾何體的正視圖是三角形，則

6、該幾何體不可能是(　　) A．圓柱　　　　　　　 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱 A　[由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形．] 5．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于________． 2π　[由題意得圓柱的底面半徑r＝1，母線l＝1， 所以圓柱的側面積S＝2πrl＝2π.] 空間幾何體的結構特征 1．給出下列命題： (1)棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形； (2)若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直； (3)在四棱柱中，若兩個

7、過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； (4)存在每個面都是直角三角形的四面體； (5)棱臺的側棱延長后交于一點． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．2　　 B．3　　　　C．4　　　　D．5 C　[(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面構成的三個平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺的概念可知．] 2．以下

8、命題： (1)以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐； (2)以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺； (3)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； (4)一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[命題(1)錯，因為這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題(2)錯，因為這條腰必須是垂直于兩底的腰；命題(3)對；命題(4)錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．] 3．下列結論正確的是 (　　) A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸

9、，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線 D　[A錯誤．如圖①所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐． 圖①　　　　圖② B錯誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐． C錯誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長．D正確．] [規(guī)律方法]　解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧 (1)關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾

10、何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可． (2)圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系． (3)棱(圓)臺是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略． 空間幾何體的三視圖 ?考法1　已知幾何體，識別三視圖 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(　　)

11、 (2)一個三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側視圖可能為(　　) (1)A　(2)D　[(1)由題意可知，咬合時帶卯眼的木構件如圖所示，其俯視圖為選項A中的圖形． (2)由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D．] ?考法2　已知三視圖，判斷幾何體 【例2】　(1)(2018·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4 (2)(2019·鄭州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為__

12、______． (1)C　(2)2　[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為3，故選C． (2)由三視圖可知該三棱錐的底面是斜邊長為2的等腰直角三角形，有一條長度為2的側棱垂直于底面，所以三條側棱長分別是2，，2.故該三棱錐中最長棱的棱長為2.] ?考法3　已知三視圖中的兩個視圖，判斷另一個視圖 【例3】　(1)一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為(　　) (2)(2018·衡水模擬)如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且體

13、積為，則該幾何體的俯視圖可以是 (　　) (1)C　(2)C　[(1)由三視圖中的主、左視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C． (2)由該幾何體的主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，且其高為1，由其體積是，可知該幾何體的底面積是，由圖知A的面積是1，B的面積是，C的面積是，D的面積是，故選C．] [規(guī)律方法]　1.已知幾何體，識別三視圖的技巧 已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點在投影面上的投影，然后再確定線在投影面上的實虛． 2．已知三視圖，判斷幾何體的技巧 (1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉． (2)明確三視圖的形成原理，“直角本由垂線生，虛線皆

14、因遮擋起”，并能結合空間想象將三視圖還原為直觀圖． (3)遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則． (4)對于簡單組合體的三視圖，應注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同． (1)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱棱長為(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2 (2)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長和底面邊長均為2，且側棱AA1⊥底面ABC，其主視圖是邊長為2的正方形，則此三棱柱左視圖的面積為 (　　) A． B．2 C．2 D．4 (1)C　(2)B　[(1)由三視圖可知AD＝BC＝CD＝DE＝EB＝1，AE＝A

15、C＝，AB＝.所以最長棱棱長為. (2)其左視圖為一矩形，其寬為三棱柱底面正三角形的高．所以面積S＝2.] 空間幾何體的直觀圖 【例4】　(1)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　) A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2 (2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四邊形 (1)D　(2)C　[(1)如圖①②所示的實際圖形和直觀圖， 由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′

16、C′＝OC＝a， 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2，故選D． (2)如圖，在原圖形OABC中，應有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm. 所以OC＝＝＝6(cm)， 所以OA＝OC，故四邊形OABC是菱形，故選C．] [規(guī)律方法]　1.用斜二測畫法畫直觀圖的技巧 在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，作出在直觀圖中的相應點后，用平滑的曲線連接而畫出

17、． 2．平面圖形直觀圖與原圖形面積間的關系 對于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測畫法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關系S′＝S，能更快捷地進行相關問題的計算． (1)(2018·襄陽模擬)如圖所示，直觀圖四邊形A′B′C′D′是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是________． (2)如圖正方形OABC的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________cm. (1)2＋　(2)8　[(1)把直觀圖還原為平面圖形得： 在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝＋1，AD＝1， 所以面積為(2

18、＋)×2＝2＋. (2)由題意知正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，所以OB＝ cm，對應原圖形平行四邊形的高為2 cm，所以原圖形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原圖形的周長為2×(1＋3)＝8 cm.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2　　　　 B．2 C．3 D．2 B　[設過點M的高與圓柱的下底面交于點O，將圓柱沿MO

19、剪開，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM＝2，ON＝4，則從M到N的最短路徑為＝＝2.] 2．(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　 B．12　　　C．14　　　D．16 B　[觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個面中有2個梯形，且這兩個梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2××(2＋4)×2＝12.故選B．] - 12 -