（通用版）2021版高考物理大一輪復(fù)習 第4章 曲線運動 萬有引力與航天 第4節(jié) 萬有引力與航天教學(xué)案

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1、第4節(jié)　萬有引力與航天 一、開普勒行星運動定律 1．開普勒第一定律 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。 2．開普勒第二定律 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。 3．開普勒第三定律 所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，表達式：＝k。 二、萬有引力定律 1．內(nèi)容 (1)自然界中任何兩個物體都相互吸引。 (2)引力的方向在它們的連線上。 (3)引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。 2．表達式 F＝G，其中G為引力常量，G＝6.67×10－

2、11 N·m2/kg2，由卡文迪許扭秤實驗測定。 3．適用條件 (1)兩個質(zhì)點之間的相互作用。 (2)對質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩球心間的距離。 三、宇宙速度 1．三種宇宙速度比較 宇宙速度 數(shù)值(km/s) 意義 第一宇宙速度 7.9 地球衛(wèi)星最小發(fā)射速度(環(huán)繞速度) 第二宇宙速度 11.2 物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度(脫離速度) 第三宇宙速度 16.7 物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度(逃逸速度) 2．第一宇宙速度的計算方法 (1)由G＝m得v＝。 (2)由mg＝m得v＝。 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)地面

3、上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。 (√) (2)兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。 (×) (3)開普勒第三定律＝k中k值與中心天體質(zhì)量無關(guān)。 (×) (4)第一宇宙速度與地球的質(zhì)量有關(guān)。 (√) (5)地球同步衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度。 (×) 2．(教科版必修2P44T2改編)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據(jù)開普勒行星運動定律可知(　　) A．太陽位于木星運行軌道的中心 B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等 C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方 D．相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃

4、過的面積 C　[太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤；不同的行星對應(yīng)不同的運行軌道，運行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內(nèi)掃過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得＝，故＝，C正確。] 3．(人教版必修2P43T2改編)若地球表面處的重力加速度為g，而物體在距地面3R(R為地球半徑)處，由于地球作用而產(chǎn)生的加速度為g′，則為(　　) A．1 B． C． D． [答案]　D 4．(人教版必修2P48T3改編)若取地球的第一宇宙速度為8 km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”約為(　　) A．2

5、km/s B．4 km/s C．16 km/s D．32 km/s [答案]　C 開普勒定律的應(yīng)用　[依題組訓(xùn)練] 1．關(guān)于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是(　　) A．開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律 B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律 C．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因 D．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律 B　[開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，與牛頓定律無聯(lián)系，選項A錯誤，選項B正確；開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，但沒有找出行星按照這些規(guī)律運動的原因，選項

6、C錯誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，選項D錯誤。] 2．(多選)(2019·撫州七校聯(lián)考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星東大距”“火星沖日”“月全食”等天象先后扮靚夜空，可謂精彩紛呈。發(fā)生于北京時間7月28日凌晨的“月全食”，相對于2018年1月31日發(fā)生的“月全食”來說，7月的全食階段持續(xù)時間更長。已知月球繞地球的運動軌道可看成橢圓，地球始終在該橢圓軌道的一個焦點上，則相對于1月的月球而言，7月的月球(　　) A．繞地球運動的線速度更大 B．距離地球更近 C．繞地球運動的線速度更小 D．距離地球更遠 CD　[地球繞著太陽公轉(zhuǎn)，月球又繞著地球公轉(zhuǎn)，發(fā)生月食的條件是地球處

7、于月球和太陽中間，擋住了太陽光，月全食持續(xù)的時間長短和太陽、地球、月球三者的位置關(guān)系密切相關(guān)，7月這次月全食的時間比較長是由于月球和地球的距離比較遠。根據(jù)開普勒第二定律可知此時月球繞地球運動的線速度更小，故A、B錯誤，C、D正確。] 3．如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道。已知地球的半徑R＝6 400 km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的高度)(　　) A．3 h B．8 h C．15 h D．20 h A　[根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4 200 km，可

8、知軌道半徑約為R1＝10 600 km，同步軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36 000 km，可知軌道半徑約為R2＝42 400 km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1。地球同步衛(wèi)星的周期為T2＝24 h，運用開普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，選項A正確。] 應(yīng)用開普勒行星運動定律的三點注意 (1)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。 (2)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。 (3)開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。 萬有引力定律的理解及應(yīng)用　[講典例示法] 1．萬有引力與重力的關(guān)系

9、地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在兩極上：G＝mg2。 2．星體表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))： mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝。 3．估算天體質(zhì)量和密度的兩種方法 (1)“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。 ①由G＝mg，得天體質(zhì)量M＝。 ②天體密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。

10、 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天體的半徑R，則天體的密度 ρ＝＝＝。 [典例示法]　(多選)(2019·湖南地質(zhì)中學(xué)三模)若宇航員在月球表面附近高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，引力常量為G。則下列說法正確的是(　　) A．月球表面的重力加速度g月＝ B．月球的平均密度ρ＝ C．月球的第一宇宙速度v＝ D．月球的質(zhì)量m月＝ 關(guān)鍵信息：“水平拋出一個小球，測出水平射程”，可獲得月球表面的重力加速度。 [解析]　設(shè)月球表面的重力加速度為g月，小球在月球表面做平拋運動，根據(jù)平拋知識可知在水平方向上L＝v0t，在豎直方向上h＝g月t2，

11、解得g月＝，故A錯誤；在月球表面＝mg月，解得m月＝，則月球密度為ρ＝＝＝，故B正確，D錯誤；月球的第一宇宙速度v＝＝，故C正確。 [答案]　BC 估算天體質(zhì)量和密度的“四點”注意 (1)利用萬有引力提供天體圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，而非環(huán)繞天體的質(zhì)量。 (2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星，才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。 (3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24 h，公轉(zhuǎn)周期為365天等。 (4)注意黃金代換式GM＝gR2的應(yīng)用。 [跟進訓(xùn)練] 1.(多選

12、)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上。設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R。下列說法正確的是(　　) A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為 B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為 C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為 D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為 BC　[由萬有引力定律知A項錯誤，B項正確；因三顆衛(wèi)星連線構(gòu)成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數(shù)學(xué)知識易知任意兩顆衛(wèi)星間距d＝2rcos 30°＝r，由萬有引力定律知C項正確；因三顆衛(wèi)星對地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為0，則D項錯誤。] 2．若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體。“蛟龍”號下

13、潛深度為d，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為(　　) A．　　　　 B． C． D． C　[設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g＝G，由于地球的質(zhì)量為：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表達式可寫成：g＝＝＝πGρR。根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍”號的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝。根據(jù)萬有引力提供向心力G＝＝ma，“天宮一號”所在處的重力加速度為a＝，所以＝，＝

14、，故C正確，A、B、D錯誤。] 3．(2019·合肥一中等六校聯(lián)考)科學(xué)家計劃在2025年將首批宇航員送往火星進行考察。假設(shè)在火星兩極宇航員用彈簧測力計測得一質(zhì)量為m的物體的重力為F1，在火星赤道上宇航員用同一把彈簧測力計測得該物體的重力為F2。通過天文觀測測得火星的自轉(zhuǎn)角速度為ω，已知引力常量為G，將火星看成是質(zhì)量分布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為(　　) A．， B．， C．， D．， A　[在兩極萬有引力等于重力，G＝F1；在赤道上萬有引力提供重力及向心力，G－F2＝mω2R，聯(lián)立解得R＝；由G＝F1，且M＝πR3ρ，解得ρ＝，故A正確。] 宇宙速度及衛(wèi)星運行參量的分析

15、計算　[講典例示法] 1．宇宙速度與運動軌跡的關(guān)系 (1)v發(fā)＝7.9 km/s時，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動。 (2)7.9 km/s

16、c為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說法中正確的是(　　) A．b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動線速度大于7.9 km/s B．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關(guān)系為aa>ab>ac C．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運動的周期關(guān)系為Tc>Tb>Ta D．在b、c中，b的速度大 思路點撥：解此題抓住以下兩個環(huán)節(jié) (1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度(周期)； (2)赤道上物體與衛(wèi)星比較物理量時，要借助同步衛(wèi)星過渡。 [解析]　b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力定律有G＝m，解得v＝，代入數(shù)據(jù)得v＝7.9 km/s，故A錯誤；地球赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速

17、度，所以ωa＝ωc，根據(jù)a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根據(jù)a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B錯誤；衛(wèi)星c為同步衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，根據(jù)T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C錯誤；在b、c中，根據(jù)v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正確。 [答案]　D 研究衛(wèi)星運行熟悉“三星一物” (1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛(wèi)星。 (2)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。 (3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞

18、地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s。 (4)赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等。 [跟進訓(xùn)練] 　宇宙速度的理解 1．(多選)據(jù)悉，我國的火星探測已引起各國的關(guān)注，我國將于近幾年進行第一次火星探測，向火星發(fā)射軌道探測器和火星巡視器。已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，火星的半徑約為地球半徑的。下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是(　　) A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．發(fā)射速

19、度只有達到第三宇宙速度才可以 C．發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度 D．火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的 CD　[要將火星探測器發(fā)射到火星上去，必須脫離地球引力，即發(fā)射速度要大于第二宇宙速度，火星探測器仍在太陽系內(nèi)運轉(zhuǎn)，因此從地球上發(fā)射時，發(fā)射速度要小于第三宇宙速度，選項A、B錯誤，C正確；由第一宇宙速度的概念，得G＝m，得v1＝，故火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度與地球的第一宇宙速度的比值約為＝，選項D正確。] 　衛(wèi)星的運行問題 2.(2019·重慶一中月考)如圖所示，衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用T、a、v、S分別表示衛(wèi)星的周期、加速度、速

20、度、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積。下列關(guān)系式正確的是(　　) A．TA>TB B．a(chǎn)A>aB C．vA>vB D．SA＝SB A　[根據(jù)萬有引力提供向心力可得＝＝＝ma，可知線速度為v＝，周期為T＝，加速度為a＝，A的軌道半徑較大，則vATB，aA

21、衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星(　　) A．入軌后可以位于北京正上方 B．入軌后的速度大于第一宇宙速度 C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度 D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少 D　[地球同步衛(wèi)星的軌道一定位于赤道的正上方，而北京位于北半球，并不在赤道上，所以該衛(wèi)星入軌后不可能位于北京正上方，故A錯誤；第一宇宙速度為最大的運行速度，即只有當衛(wèi)星做近地飛行時才能近似達到的速度，所以該衛(wèi)星入軌后的速度一定小于第一宇宙速度，故B錯誤；成功發(fā)射人造地球衛(wèi)星的發(fā)射速度應(yīng)大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故C錯誤；衛(wèi)星需加速才可從低軌道運動至高軌道，故衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道所需能量較發(fā)射到

22、同步衛(wèi)星軌道的少，故D正確。] 衛(wèi)星變軌問題　[講典例示法] 1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述 人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預(yù)定軌道，如圖所示。 (1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。 (2)在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。 (3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。 2．三個運行物理量的大小比較 (1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有v

23、A>v1>v3>vB。 (2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同。 (3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行的周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1

24、程中速率越來越大 B．“墨子號”在軌道C上經(jīng)過Q點的速率大于在軌道A上經(jīng)過P點的速率 C．“墨子號”在軌道B上經(jīng)過P時的向心加速度大于在軌道A上經(jīng)過P點時的向心加速度 D．“墨子號”在軌道B上經(jīng)過Q點時受到的地球的引力小于經(jīng)過P點時受到的地球的引力 [解析]　“墨子號”在軌道B上由P向Q運動的過程中，逐漸遠離地心，速率越來越小，選項A錯誤；“墨子號”在A、C軌道上運行時，軌道半徑不同，根據(jù)G＝m可得v＝，軌道半徑越大，線速度越小，選項B錯誤；“墨子號”在A、B兩軌道上經(jīng)過P點時，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，選項C錯誤；“墨子號”在軌道B上經(jīng)過Q點比經(jīng)過P點時

25、離地心的距離要遠些，受地球的引力要小些，選項D正確。 [答案]　D 航天器變軌問題的“三點”注意 (1)航天器變軌時半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運行速度變化由v＝判斷。 (2)同一航天器在一個確定的圓(橢圓)軌道上運行時機械能守恒，在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。 (3)航天器經(jīng)過不同軌道的相交點時，加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。 [跟進訓(xùn)練] 1．(2019·臨沂2月檢測)2019年春節(jié)期間，中國科幻電影里程碑的作品《流浪地球》熱播。影片中為了讓地球逃離太陽系，人們在地球上建造特大功率發(fā)動機，

26、使地球完成一系列變軌操作，其逃離過程如圖所示，地球在橢圓軌道Ⅰ上運行到遠日點B變軌，進入圓形軌道Ⅱ。在圓形軌道Ⅱ上運行到B點時再次加速變軌，從而最終擺脫太陽束縛。對于該過程，下列說法正確的是(　　) A．沿軌道Ⅰ運動至B點時，需向前噴氣減速才能進入軌道Ⅱ B．沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期 C．沿軌道Ⅰ運行時，在A點的加速度小于在B點的加速度 D．在軌道Ⅰ上由A點運行到B點的過程，速度逐漸增大 B　[沿軌道Ⅰ運動至B點時，需向后噴氣加速才能進入軌道Ⅱ，故選項A錯誤；因在軌道Ⅰ的半長軸小于軌道Ⅱ的運動半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期，

27、故選項B正確；由G＝ma可得a＝，則沿軌道Ⅰ運行時，在A點的加速度大于在B點的加速度，故選項C錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，在軌道Ⅰ上由A點運行到B點的過程，速度逐漸減小，選項D錯誤。] 2．(多選)如圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖，在地月轉(zhuǎn)移段，若不計其他星體的影響，關(guān)閉發(fā)動機后，下列說法正確的是(　　) A．“嫦娥三號”飛行速度一定越來越小 B．“嫦娥三號”的動能可能增大 C．“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和一定不變 D．“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和可能增大 AC　[在地月轉(zhuǎn)移段“嫦娥三號”所受地球和月球的引力之和指向地球，關(guān)閉發(fā)動機后，“嫦娥三號”向月球飛行，要克服引

28、力做功，動能一定減小，速度一定減小，選項A正確，B錯誤。關(guān)閉發(fā)動機后，只有萬有引力做功，“嫦娥三號”的動能和引力勢能之和一定不變，選項C正確，D錯誤。] 1．雙星模型 (1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。 (2)特點： ①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②兩顆星的周期及角速度都相同， 即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。 ④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即 ＝。 ⑤雙星的運動周期T＝2π。 ⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝。

29、 [示例1]　雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質(zhì)量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計算出的周期理論值T0，且＝k(k<1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認為C位于雙星A、B的連線正中間，相對A、B靜止，求： (1)兩個星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0； (2)星球C的質(zhì)量。 [解析]　(1)兩星球的角速度相同，根據(jù)萬有引力充當向心力知：＝mr1ω＝mr2ω 可得：r1＝r2 ① 兩星繞連線的中點轉(zhuǎn)動，則有： ＝m×ω 解得ω1＝ ② 所以T0＝＝2π。 ③ (2)由于C的存在，

30、雙星的向心力由兩個力的合力提供，則 ＋G＝m·L·ω ④ T＝＝kT0 ⑤ 聯(lián)立③④⑤式解得M＝。 [答案]　(1)2π　(2) 2．多星模型 (1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。 (2)三星模型： ①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。 ②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。 甲　　　　乙　　　　丙　　　　丁 (3)四星模型： ①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻

31、速圓周運動(如圖丙所示)。②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)。 [示例2]　(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則(　　) A．每顆星做圓周運動的線速度為 B．每顆星做圓周運動的角速度為 C．每顆星做圓周運動的周期為2π D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān) ABC　[每顆星受到的合力為F＝2Gsin

32、 60°＝G，軌道半徑為r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，顯然加速度a與m有關(guān)，選項A、B、C正確，D錯誤。] 解決雙星、多星問題的關(guān)鍵點 (1)雙星或多星的特點、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運動的軌道半徑。 (2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。 (3)星體的角速度相等。 (4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計算萬有引力和向心力。 [即時訓(xùn)練] 1.(2019·云南昆明一中月考)如圖所示，A、B兩顆恒星分別繞它們連線上某一點做勻速圓周運動，我們通常稱之為“雙星系統(tǒng)”，A的質(zhì)量

33、為B的2倍，忽略其他星球?qū)Χ叩囊?，下列說法正確的是(　　) A．恒星A的向心加速度是B的一半 B．恒星A的線速度是B的2倍 C．恒星A的公轉(zhuǎn)周期是B的一半 D．恒星A的動能是B的2倍 A　[A、B之間的引力提供各自的向心力，由牛頓第二定律可知，A、B的向心力相等，角速度和周期相等，則有2MrA＝MrB，解得恒星A與恒星B的軌道半徑之比為rA∶rB＝1∶2，由v＝ωr，a＝ω2r，TA＝TB，可得A正確，B、C錯誤；由動能Ek＝mv2可得＝·＝×＝，故D錯誤。] 2．(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設(shè)四

34、星系統(tǒng)中每顆星的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法正確的是(　　) A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動 B．四顆星的軌道半徑均為 C．四顆星表面的重力加速度均為 D．四顆星的周期均為2πa ACD　[其中一顆星在其他三顆星的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為a，故A正確，B錯誤；在每顆星表面，根據(jù)萬有引力近似等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得T＝2πa，故D正確。] 17