算術平均數(shù)與幾何平均數(shù).ppt

《算術平均數(shù)與幾何平均數(shù).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《算術平均數(shù)與幾何平均數(shù).ppt（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

求差比較法,a-b>0a>b,,a-b=0a=b,,a-ba0，所以(a-b)2≥0，即(a-b)2∈R+U{0},下面我們根據(jù)(a-b)2∈R+U{0}這一性質，來推導一些重要的不等式.,1．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù),一、重要不等式的推導,1、奠基,課題,ii〉定理如果a、b∈R,那么a+b≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號),以公式(1)為基礎,運用不等式的性質推導公式(2)這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法。,i〉如果a、b∈R,那么有(a-b)≥0(1),把(1)式左邊展開，得a-2ab+b≥0∴a+b≥2ab(2),(2)式中取等號成立的充要條件是什么？,,公式,2、探索,設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式(2)，有,a+b≥2ab;,b+c≥2bc;,c+a≥2ca.,把以上三式疊加，得a+b+c≥ab+bc+ca(3)(當且僅當a=b=c時取“=”號),從以上推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法—迭代與疊加.,３、推論,,公式,定理的推論：如果a、b＞0,那么,(當且僅當a=b時取“=”號),４、兩個概念,,公式,如果a1，a2，…，an>0，且n>1，那么(a1+a2++an)/n叫做這n個正數(shù)的算術平均數(shù)，,上式表明：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。,５、深化,,公式,公式（a+b)/2≥還可以用幾何法證明。,它的幾何意義是：半徑≥半弦，如下圖所示。,５．應用,定理如果a、b∈R,那么a+b≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號),已知證明：,平方、算術、幾何、調和,小結,注意；（1）定理與推論的前提條件與等號成立的條件。（2）正用、逆用與變行用。,