高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第六節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)課件 理.ppt

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第六節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù),1.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). (2)5種常見冪函數(shù)的圖象(如圖),(3)5種常見冪函數(shù)的性質(zhì),2.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)的定義:形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù). (2)二次函數(shù)的三種常見的解析式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)為頂點坐標; ③兩根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2分別為f(x)=0的兩實根. (3)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),3.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系 (1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實根.,另外,當二次函數(shù)開口向上時,自變量的取值離開對稱軸越遠,則對應的函數(shù)值越大; 反過來,當二次函數(shù)開口向下時,自變量的取值離開對稱軸越遠,則對應的函數(shù)值越小. 4.常用的數(shù)學方法與思想 配方法、待定系數(shù)法、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.,1.判斷下列說法是否正確(打“√”或“”). (1)函數(shù)f(x)=x2與f(x)=3x2都是冪函數(shù).( ) (1) (2)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c表示二次函數(shù).( ) (2) (3)冪函數(shù)的圖象恒過定點(1,1),(0,0).( ) (3) (4)二次函數(shù)的圖象是軸對稱圖形.( ) (4)√ (5)二次函數(shù)y=x2+mx+1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增的充要條件是m≥-2.( ) (5)√ 2.已知某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y=2x2的圖象的形狀一樣,開口方向相反,且其頂點為(1,3),則該函數(shù)的解析式為( ) A.y=2(x-1)2+3 B.y=2(x+1)2+3 C.y=-2(x-1)2+3 D.y=-2(x+1)2+3 2.C 【解析】設所求函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k(a≠0),由題意可知a=-2,-h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.,,,,命題角度1:利用冪函數(shù)的圖象判斷冪指數(shù)大小,典例1 如圖為冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,則C1,C2,C3,C4的大小關(guān)系為 ( ) A.C1C2C3C4 B.C2C1C4C3 C.C1C2C4C3 D.C1C4C3C2,【解題思路】利用基本冪函數(shù)y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作為參考并利用特殊值驗算.觀察圖形可知C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C3C4. 【參考答案】 C,命題角度2:利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小,【解題思路】化為同底數(shù)冪與同指數(shù)冪后再進行大小比較.,,,【變式訓練】,(2015貴陽模擬)函數(shù)y=ax(a0,a≠1)與y=xb的圖象如圖,則下列不等式一定成立的是 ( ) A.ba0 B.a+b0 C.ab1 D.loga2b D 【解析】由圖可知a1,bloga1=0b,所以只有選項D一定成立.,典例3 (2015嘉興統(tǒng)測)設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)滿足條件:①當x∈R時,f(x)的最大值為0,且f(x-1)=f(3-x)成立;②二次函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-2交于A,B兩點,且|AB|=4. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求最小實數(shù)n(n-1),使得存在實數(shù)t,只要當x∈[n,-1]時,就有f(x+t)≥2x成立. 【解題思路】(1)根據(jù)條件得出函數(shù)的對稱軸、最大值以及|AB|的長度,由此列出方程組得到相應的參數(shù)值,,【變式訓練】,(2015山東棗莊八中月考)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數(shù),a≠0,x∈R). (1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一個根,求f(x)的表達式; (2)在(1)的條件下,當x∈[-1,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍. 【解析】(1)因為f(-2)=1,即4a-2b+1=1, 所以b=2a. 因為方程f(x)=0有且只有一個根,即Δ=b2-4a=0, 因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2. (2)因為g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx =x2-(k-2)x+1,,命題角度1:二次函數(shù)的最值問題 典例4 已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2,求實數(shù)a的值. 【解題思路】動軸定區(qū)間問題,應將對稱軸從左向右移動進行討論. 【參考答案】當對稱軸x=a0時,如圖1所示,當x=0時, y有最大值ymax=f(0)=1-a, ∴1-a=2,即a=-1,且滿足a0,∴a=-1. 當對稱軸0≤a≤1時,如圖2所示,當x=a時,y有最大值ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.,,當對稱軸a1時,如圖3所示, 當x=1時,y有最大值, ymax=f(1)=2a-a=2, ∴a=2,且滿足a1,∴a=2. 綜上可知,a的值為-1或2.,命題角度2:一元二次不等式恒成立問題,A.(-∞,-1]∪[0,+∞) B.[-1,0] C.[0,1] D.[-1,0) 【解題思路】利用分類討論,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化.,,(2015嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=2x+a(a,b∈R),且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象至多有一個公共點. (1)證明:當x≥0時,f(x)≤(x+b)2; (2)若不等式f(a)-f(b)≥L(a2-b2)對題設條件中的a,b總成立,求L的最小值. 【解析】(1)由題意得f(x)-g(x)=x2+ax+b-2x-a=x2+(a-2)x+b-a≥0恒成立, ∴Δ=(a-2)2-4(b-a)=a2+4-4b≤0, ∴a2≤4b-4,∴0≤4b-4,1≤b. 又f(x)-(x+b)2=(a-2b)x+b(1-b), 又a2≤4b-4≤b2, ∴a≤|a|≤b≤2b, ∴k=a-2b≤0, f(0)-b2=b(1-b)≤0, ∴當x≥0時,f(x)≤(x+b)2.,【變式訓練】,二次函數(shù)中最值與對稱軸問題探究 二次函數(shù)是一種特殊的函數(shù),主要涉及的知識有定軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間、定區(qū)間動軸、最值、分離變量、恒成立、數(shù)形結(jié)合、分類討論等,知識點多,內(nèi)容豐富,可謂“動中有靜,靜中有動”. 典例 已知二次函數(shù)f(x)=x2-4x+2,求1≤x≤4上的f(x)的最值. 【解題思路】定區(qū)間、定軸的基本題,考查數(shù)形結(jié)合及學生對二次函數(shù)認識的基本能力. 【參考答案】f(x)max=f(4)=2,f(x)min=f(2)=-2.,【針對訓練】 1.已知二次函數(shù)f(x)=x2-4x+2,求x∈[1,a]上的f(x)的最值. 1.【解析】定軸,動區(qū)間(單邊動)問題,考查學生數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想,關(guān)鍵是最大值里以a=3為分界線,而在最小值里以2為分界線. 最大值:當13時,f(x)max=f(a)=a2-4a+2. 最小值:當12時,f(x)min=f(2)=-2. 2.已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+2,求1≤x≤4上的f(x)的最大值. 2.【解析】定區(qū)間動軸問題,通?？疾閷虞S進行討論,但此處采用相對運動,釘住軸變成定軸,而把區(qū)間運動,這是一種新的思維方法,且比動軸更好理解.,,1.方程x2-4x+k=0在區(qū)間[1,4]上有實根,求k的取值范圍. 1.【解析】二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題,解法1:轉(zhuǎn)換為兩曲線的交點問題,數(shù)形結(jié)合易求;解法2:轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題,數(shù)形結(jié)合也易求,這是一道典型的化難為易的題. 解法1:x2-4x+k=0變形為x2-4x=-k,從而變?yōu)槎魏瘮?shù)y=x2-4x與直線y=-k有交點問題,數(shù)形結(jié)合易得-4≤-k≤0,解得0≤k≤4. 解法2:x2-4x+k=0變形為k=-x2+4x,即此處的k相當于y,即變?yōu)榍蠛瘮?shù)y=-x2+4x,x∈[1,4]的值域問題,易求得0≤y≤4,即0≤k≤4.,2.方程x2+kx+2=0在區(qū)間[1,4]上有實根,求k的取值范圍. 2.【解析】定區(qū)間動軸的二次函數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題,分離參數(shù)后可轉(zhuǎn)化為求值域問題.,,