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1、
《無(wú)窮級(jí)數(shù)》練習(xí)題
1. 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
2. 對(duì)級(jí)數(shù)，若，證明：時(shí)級(jí)數(shù)收斂，
時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。
3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明：（1）收斂；（2）收斂。
4. 設(shè)n充分大時(shí)，，且收斂，證明：收斂。
5. 設(shè)，討論級(jí)數(shù)…的斂散性。
6. 下列級(jí)數(shù)是否收斂？如收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂？
（1）； （2）。
7. 對(duì)常數(shù)，討論級(jí)數(shù)何時(shí)絕對(duì)收斂？何時(shí)條件收斂？何時(shí)發(fā)散？
8. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，討論的斂散性。
9. 設(shè)，（1）求的值；
2、（2）討論的斂散性。
10. 設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，求的收斂區(qū)間。
11. 求級(jí)數(shù)的收斂域
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（1）； （2）； （3）。
12. 求下列級(jí)數(shù)的和：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
13. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：
（1） （2） （3）
14. 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求導(dǎo)數(shù)：
（1） （2）
15. 求下列函數(shù)關(guān)于x 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并指出收斂域：
（1）； （2）。
16. 把展開(kāi)為 的冪級(jí)數(shù)。
答案：1：收斂；收斂；收斂；；收斂；發(fā)散
2，3，4：略。
3、 5：。 6：條件收斂；條件收斂。
7：條件收斂，發(fā)散。
8：收斂。 9：1，收斂。 10：
11：時(shí)時(shí)，。
12：。
13：
，
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14：，
15（2） 16：，。
《無(wú)窮級(jí)數(shù)》部分例題解答
例1. 設(shè)數(shù)列滿足，若級(jí)數(shù)都收斂，證明：也收斂。
證：由知：；
再由都收斂，得收斂。根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法得
收斂。所以 收斂。
例2. 設(shè)……），…，討論級(jí)數(shù)的斂散性。
解：級(jí)數(shù)收斂，證明如下：
因?yàn)椤?，所?……
由于 ，所以
從而
4、級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和
… +…
=
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即正項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和有界。所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。
例3 （1）討論級(jí)數(shù)的斂散性。
（2）證明：數(shù)列 ……收斂；
（3）求……。
解： （1） 根據(jù)常用不等式 可知：，所以
級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于
故由比較判別法，得級(jí)數(shù)與同收斂。
（2） 由于收斂，故前n項(xiàng)的和有極限，即
……
有極限，上式可變形為
……
……
……，
所以數(shù)列 ……收斂；
（3）……
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例4 設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，極限存在，求r的值
5、，并舉出滿足這些條件的例子。
解：r = 1，證明如下：
若，則，它說(shuō)明級(jí)數(shù)收斂，與條件收斂矛盾。
若，則，它說(shuō)明級(jí)數(shù)發(fā)散，與條件收斂矛盾。
若，則n充分大時(shí)，它說(shuō)明同號(hào)（同為正，或者同為負(fù)），級(jí)數(shù)收斂時(shí)就是絕對(duì)收斂，矛盾。
綜上所述，r = 1。
滿足這些條件的例子為：
例5 設(shè)k為常數(shù)，討論級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂。（PPT上題目與這里有出入，以這里為準(zhǔn)）
解：
此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；
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考慮
因?yàn)椋?
故由收斂得：收斂，級(jí)數(shù)收斂；且是絕對(duì)收斂。
6、
故由發(fā)散得：發(fā)散，此時(shí)級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂；
由于顯然滿足：
根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼滋判別法知：級(jí)數(shù)收斂；且是條件收斂。
級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和
……
=……
……
即正項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和有界，故收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂。
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注：級(jí)數(shù)的收斂性也可用“積分判別法”證明。
級(jí)數(shù)與反常積分同斂散，而
收斂。
（注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝!）
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《無(wú)窮級(jí)數(shù)》練習(xí)題
