高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第十四周周清 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓幾何性質(zhì) 文

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第十四周周清 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓幾何性質(zhì) 核心知識(shí) 1．橢圓的概念 在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)： (1)若a＞c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若a＜c，則集合P為空集． 2．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 圖　形 性　　質(zhì) 范　圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　　對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0， a) B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2－b2 自我檢測(cè) 1.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解析　∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，則c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，從而可得a＝5，b＝4，∴橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 2. 設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求|PF1|＋|PF2| 解析　依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝25＝10. 3. 求以F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)P，則橢圓C的方程. 解析　由題意得，c＝1,2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋＝2.故a＝，b＝1.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1. 4. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)P，求橢圓的方程. 解析　設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，將點(diǎn)(－5,4)代入得＋＝1，又離心率e＝＝?e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1. 5. 已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，求橢圓的離心率. 解析　由題意得2a＝2b?a＝b，又a2＝b2＋c2?b＝c?a＝c?e＝.