高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第一周周清 正弦定理和余弦定理

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第一周周清 正弦定理和余弦定理 核心知識 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解決不同的三角形問題． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形為：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 自我檢測 1.在△ABC中，a＝，b＝，B＝45.求角A，C和邊c. 解　由正弦定理得＝，＝， ∴sin A＝. ∵a＞b，∴A＝60或A＝120. 當(dāng)A＝60時，C＝180－45－60＝75，c＝＝； 當(dāng)A＝120時，C＝180－45－120＝15，c＝＝. 2. 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，則a等于多少？ 解析　由正弦定理得：a＝＝＝. 3. 在△ABC中，A＝60，B＝75，a＝10，則c等于多少？ 解析　由A＋B＋C＝180，知C＝45，由正弦定理得：＝，即＝.∴c＝. 4. 在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，則A等于多少？ 解析　由余弦定理得：cos A＝＝＝， ∵0＜A＜π，∴A＝60. 5．已知△ABC三邊滿足a2＋b2＝c2－ab，則此三角形的最大內(nèi)角為多少？ 解析　∵a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－， 故C＝150為三角形的最大內(nèi)角． 6. 在△ABC中，若＝＝；則△ABC是什么三角形？ 解析　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R為△ABC外接圓半徑)． ∴＝＝. 即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C，為等邊三角形。 7. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B＝，b＝2. 當(dāng)A＝30時，求a的值； 解　(1)因為cos B＝，所以sin B＝. 由正弦定理＝，可得＝， 所以a＝.