高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第19周 立體幾何中的向量方法（一） 理

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理科第19周 立體幾何中的向量方法（一） 核心知識(shí) 1. 直線的方向向量與平面的法向量的確定 （1）直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量． （2）平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為 2. 用向量證明空間中的平行關(guān)系 （1）設(shè)直線l1和l2方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2. （2）設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2. （3）設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u. （4）設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2. 3. 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 （1）設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1v2＝0. （2）設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u. （3）設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1u2＝0. 4.點(diǎn)面距的求法 如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝. 自我測(cè)評(píng) 1．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量是n＝(6，－3,6)，則下列點(diǎn)P中在平面α內(nèi)的是(　　)． A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 解析　∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量， ∴n⊥，在選項(xiàng)A中，＝(1,4,1)，∴n＝0. 答案　A 2．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是(　　)． A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0, 3,1) 解析　若l∥α，則an＝0. 而A中an＝－2， B中an＝1＋5＝6， C中an＝－1，只有D選項(xiàng)中an＝－3＋3＝0. 答案　D 3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________． 解析　設(shè)平面ABC的法向量n＝(x，y，z)． 則即 令z＝1，得∴n＝， ∴平面ABC的單位法向量為＝.