高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第三周周清 正余弦定理小結(jié)與復(fù)習(xí)

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第三周周清 正余弦定理小結(jié)與復(fù)習(xí) 核心知識(shí) 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解決不同的三角形問題． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形為：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 自我檢測(cè) 1. 已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0. (1)求角A的值； (2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積． 解　(1)由2cos2 ＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0， 即cos A＝－，∵0＜A＜π，∴A＝. (2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝， 則a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4， 有12＝42－bc，則bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝. 2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且cos B＝，b＝2. (1)當(dāng)A＝30時(shí)，求a的值； (2)當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求a＋c的值． 解　(1)因?yàn)閏os B＝，所以sin B＝. 由正弦定理＝，可得＝， 所以a＝. (2)因?yàn)椤鰽BC的面積S＝acsin B，sin B＝， 所以ac＝3，ac＝10. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以a＋c＝2.　　 3.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. [嘗試解答]　(1)由正弦定理得， sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即 sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2. 可得cos2B＝，又cos B＞0，故cos B＝，所以B＝45.