原子物理學(xué) 第一章答案

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1、第一章 習(xí)題1、2解 1.1 速度為v的非相對(duì)論的α粒子與一靜止的自由電子相碰撞，試證明：α粒子的最大偏離角約為10-4rad. 要點(diǎn)分析: 碰撞應(yīng)考慮入射粒子和電子方向改變.并不是像教材中的入射粒子與靶核的碰撞(靶核不動(dòng)).注意這里電子要?jiǎng)? 證明：設(shè)α粒子的質(zhì)量為Mα，碰撞前速度為V，沿X方向入射；碰撞后，速度為V'，沿θ方向散射。電子質(zhì)量用me表示，碰撞前靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，碰撞后以速度v沿φ方向反沖。α粒子-電子系統(tǒng)在此過(guò)程中能量與動(dòng)量均應(yīng)守恒，有： （1） （2）

2、（3） 作運(yùn)算：（2）×sinθ±(3)×cosθ,得 （4） （5） 再將（4）、（5）二式與（1）式聯(lián)立，消去Ｖ’與v， 　　 化簡(jiǎn)上式，得 　　　　　 　?。ǎ叮? 若記，可將（６）式改寫(xiě)為 　　　　　　　?。ǎ罚? 視θ為φ的函數(shù)θ（φ），對(duì)（7）式求θ的極值，有 令 ，則 sin2(θ+φ)-sin2φ=0 即 2cos(θ+2φ)sinθ=0 （1） 若 sinθ=0, 則 θ=0（極?。? （8） （2）若cos(θ+2φ)=0

3、 則 θ=90o-2φ （9） 將（9）式代入（7）式，有 由此可得 θ≈10-4弧度（極大） 此題得證。 1.2（1）動(dòng)能為5.00MeV的α粒子被金核以90°散射時(shí)，它的瞄準(zhǔn)距離（碰撞參數(shù)）為多大？ （2）如果金箔厚1.0 μm，則入射α粒子束以大于90°散射（稱為背散射）的粒子數(shù)是全部入射粒子的百分之幾？ 要點(diǎn)分析:第二問(wèn)是90°～180°范圍的積分.關(guān)鍵要知道n, 注意推導(dǎo)出n值. ,其他值從書(shū)中參考列表中找. 解：（1）依 和 金的原子序數(shù)Z2

4、=79 答：散射角為90o所對(duì)所對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離為22.8fm. (2)解: 第二問(wèn)解的要點(diǎn)是注意將大于90°的散射全部積分出來(lái). (問(wèn)題不知道nA,但可從密度與原子量關(guān)系找出) 從書(shū)后物質(zhì)密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, ρAu=1.888×104kg/m3 依: 注意到： 即單位體積內(nèi)的粒子數(shù) 為密度除以摩爾質(zhì)量數(shù)乘以阿伏加德羅常數(shù)。 是常數(shù)其值為 最后結(jié)果為：dN’/N=9.6×10-5 說(shuō)明大角度散射幾率十分小。 1-3～1-4 練習(xí)

5、參考答案（后面為褚圣麟1-3～1-4作業(yè)） 1-3 試問(wèn)4.5MeV的α粒子與金核對(duì)心碰撞時(shí)的最小距離是多少?若把金核改為7Li核,則結(jié)果如何? 要點(diǎn)分析: 計(jì)算簡(jiǎn)單，重點(diǎn)考慮結(jié)果給我們什么啟示，影響靶核大小估計(jì)的因素。 解: 對(duì)心碰撞時(shí) ，時(shí) ， 離金核最小距離 離7Li核最小距離 結(jié)果說(shuō)明: 靶原子序數(shù)越小，入射粒子能量越大，越容易估算準(zhǔn)核的半徑. 反之易反。 1-4 ⑴ 假定金核半徑為7.0 fm,試問(wèn)入射質(zhì)子需要多少能量才能在對(duì)頭碰撞時(shí)剛好到達(dá)金核的表面？ ⑵若金核改為鋁時(shí)質(zhì)子在對(duì)頭碰撞時(shí)剛好到達(dá)鋁核的表面，那么入射質(zhì)子的能量應(yīng)為多少？設(shè)鋁

6、核的半徑為4.0 fm。 要點(diǎn)分析:注意對(duì)頭碰撞時(shí),應(yīng)考慮靶核質(zhì)量大小,靶核很重時(shí), m << M可直接用公式計(jì)算;靶核較輕時(shí), m << M不滿足,應(yīng)考慮靶核的反沖,用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)心系來(lái)解.79AAu=196 13AAl=27 解：⑴若入射粒子的質(zhì)量與原子核的質(zhì)量滿足m << M，則入射粒子與原子核之間能達(dá)到的最近距離為，時(shí) ， 即 即： ⑵ 若金核改為鋁核，m << M則不能滿足，必須考慮靶核的反沖在散射因子中，應(yīng)把E理解為質(zhì)心系能EC 說(shuō)明靶核越輕、Z越小，入射粒子達(dá)到靶核表面需要能量越小

7、.核半徑估計(jì)值越準(zhǔn)確. 褚圣麟教材作業(yè)題解 1.3若盧瑟福散射用的α粒子是放射性物質(zhì)鐳C′放射的,其動(dòng)能為7.68×106電子伏特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)Z=79的金箔,試問(wèn)散射角θ=150°所對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離b多大? 解： 依 和 答：散射角為150o所對(duì)所對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離為3.9664×10-15m 1.4釙放射的一種α粒子的速度為1.597×107米/秒,正面垂直入射厚度為10-7米,密度為1.932×104公斤/米3的金箔,試求所有散射在θ≥90°的α粒子占全部入射粒子的百分比,已知金的原子量為179。 解: 此題解的要點(diǎn)是注意將大于90°的散射全部積分出來(lái).

8、 設(shè)散射入大于90°角的粒子數(shù)為dn’,入射的總粒子數(shù)為n,金箔的單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為N。 依: 注意到： 最后結(jié)果為：dn/n=3.89×10-7 問(wèn)答:如果知道散射的總粒子數(shù)，如何計(jì)算散射入某一角度內(nèi)粒子的數(shù)量？如何求出其散射截面？如何算出散射幾率？ 散射入某一角內(nèi)的粒子數(shù) 散射幾率(微分散射截面) 習(xí)題1-5、1-6解 補(bǔ)：求積分式的積分結(jié)果 解：積分式的積分結(jié)果 = 結(jié)果： 1-5 動(dòng)能為1.0MeV的窄質(zhì)子束

9、垂直地射在質(zhì)量厚度為1.5mg/cm2的金箔上，記數(shù)器的記錄以60°角散射的質(zhì)子。計(jì)數(shù)器圓形輸入孔的面積為1.5cm2，離金箔散射區(qū)的距離為10cm，輸入孔對(duì)著且垂直于射到它上面的質(zhì)子，試問(wèn)：散射到計(jì)數(shù)器輸入孔的質(zhì)子數(shù)與入射到金箔的質(zhì)子數(shù)之比為多少？（質(zhì)量厚度ρm定義為單位面積的質(zhì)量ρm=ρt，則ρ=ρm/ t其中ρ為質(zhì)量密度，t 為靶厚）。 要點(diǎn)分析：沒(méi)給直接給nt。設(shè)置的難點(diǎn)是給出了質(zhì)量厚度，計(jì)算時(shí)需把它轉(zhuǎn)換成原子體密度n和厚度t。需推導(dǎo)其關(guān)系。 解：輸入圓孔相對(duì)于金箔的立體角為 AAu=197 θ=60o （注意密度為單位體積的質(zhì)量,單位體積內(nèi)的粒子 數(shù)為） 依公式

10、 1-6 一束α粒子垂直射至一重金屬箔上，試求α粒子被金屬箔散射后，散射角大于60°的α粒子與散射角大于90°的粒子數(shù)之比。 要點(diǎn)分析：此題無(wú)難點(diǎn)，只是簡(jiǎn)單積分運(yùn)算。 解：依據(jù)散射公式 因?yàn)? 同理算出 可知 習(xí)題1-7、8解 補(bǔ)：求積分式的積分結(jié)果 解： 積分式的積分結(jié)果 = 結(jié)果： 1-7 單能的窄α粒子束垂直地射到質(zhì)量厚度為2.0mg/cm2的鉭箔上，這時(shí)以散射角θ0>20?散射的相對(duì)粒子數(shù)（散射粒子數(shù)與入射數(shù)之比）為4.0×10-3.試計(jì)算：散射角θ=6

11、0°角相對(duì)應(yīng)的微分散射截面。 要點(diǎn)分析：重點(diǎn)考慮質(zhì)量厚度與nt關(guān)系。 解： ρm= 2.0mg/cm2 ATa=181 ZTa=73 θ=60o 依微分截面公式 知該題重點(diǎn)要求出a2/16 由公式 所以 1-8 (1)質(zhì)量為m1的入射粒子被質(zhì)量為m2（m2<< m1）的靜止靶核彈性散射,試證明:入射粒子在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的最大可能偏轉(zhuǎn)角θ由下式?jīng)Q定. （2）假如粒子在原來(lái)靜止的氫核上散射，試問(wèn)：它在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中最大的散射角為多大？ 要點(diǎn)分析：

12、同第一題結(jié)果類似。 證明： （1） （2） （3） 作運(yùn)算：（2）×sinθ±(3)×cosθ,得 （4） （5） 再將（4）、（5）二式與（1）式聯(lián)立，消去Ｖ’與v，得　　　 　化簡(jiǎn)上式，得 　　　　　　 　?。ǎ叮? 若記，可將（６）式改寫(xiě)為 　　　　　　　?。ǎ罚? 視θ為φ的函數(shù)θ(φ)，對(duì)(7)式求θ的極值，有 令 ，則 sin2(θ+φ)-sin2φ=0 2cos(θ+2φ)sinθ=0 (1)

13、若 sinθ=0, 則 θ=0（極?。? （8） (2) 若cos(θ+2φ)=0 則 θ=90o-2φ （9） 將(9)式代入(7)式，有 由此可得 　 若m2=m1 則有 此題得證。 第一章 習(xí)題1-9、10題解 1-9 動(dòng)能為1.0 Mev的窄質(zhì)子束垂直地射到質(zhì)量厚度（ρt）為1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的銀，試求散射角大于30°的相對(duì)質(zhì)子數(shù)為多少？ 要點(diǎn)分析：此題靶為一個(gè)復(fù)合材料靶,關(guān)鍵找出靶的厚度t .然

14、后計(jì)算出金原子數(shù)和銀原子數(shù),即可積分計(jì)算. 從書(shū)后表可知：ZAu=79,AAu=197, ρAu=1.888×104kg/m3; ZAg=47,AAg=108, ρAg=1.05×104kg/m3. 解： 先求金箔的厚度t ρt=(0.7ρAu+0.3ρAg) t = 1.5mg/cm2 這種金箔中所含金原子數(shù)與銀原子數(shù)分別為 和 再計(jì)算質(zhì)子被金原子與銀原子散射到θ>30°范圍內(nèi)的相對(duì)數(shù)目。被金原子散射的相對(duì)數(shù)目為： 式中，N為入射質(zhì)子總數(shù)，dNAu’為被金原子散射到θ>30°范圍內(nèi)的質(zhì)子數(shù)。同理可得質(zhì)子被銀原子散射的相對(duì)數(shù)目為：

15、被散射的相對(duì)質(zhì)子總數(shù)為 將已知數(shù)據(jù)代入： NA=6.02×1023,E=1.0MeV,t=0.916μm,ZAu=79,AAu=197,ρAu=18.88×103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,ρAg=10.5×103kg/m3 η≈1.028×10-5 結(jié)果討論: 此題是一個(gè)公式活用問(wèn)題.只要稍作變換,很容易解決.我們需要這樣靈活運(yùn)用能力. 1-10 由加速器產(chǎn)生的能量為1.2MeV、束流為5.0 nA的質(zhì)子束，垂直地射到厚為1.5μm的金箔上，試求5 min內(nèi)被金箔散射到下列角間隔內(nèi)的質(zhì)子數(shù)。金的密度（ρ=1.888×104 kg/m3） [1]

16、59°～61°; [2] θ>θ0=60° [3] θ<θ0=10° 要點(diǎn)分析:解決粒子流強(qiáng)度和入射粒子數(shù)的關(guān)系. 注意:第三問(wèn),因盧瑟福公式不適用于小角(如0o)散射，故可先計(jì)算質(zhì)子被散射到大角度范圍內(nèi)的粒子數(shù)，再用總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)去減，即為所得。 解：設(shè)j 為單位時(shí)間內(nèi)入射的粒子數(shù)，I為粒子流強(qiáng)度，因I= je, j=I/e,時(shí)間T=5min內(nèi)單位面積上入射的質(zhì)子的總數(shù)為N個(gè)： 再由盧瑟福公式，單位時(shí)間內(nèi)，被一個(gè)靶原子沿θ方向，射到dΩ立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為： 單位時(shí)間內(nèi)，被所有靶原子沿θ方向，射到dΩ立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為 式中，n為單位體積的粒子數(shù)，它與密度的關(guān)系為： 所以，上式可寫(xiě)為 解：[1] 解：[2] 仍然像上式一樣積分，積分區(qū)間為60°-180°，然后用總數(shù)減去所積值。即θ>θ0=60°的值。 解：[3] 由于0°的值為無(wú)窮大,無(wú)法計(jì)算,所以將作以變換.仍然像上式一樣積分，積分區(qū)間為10°-180°，然后用總數(shù)減去所積值，即θ<θ0=10°的值。 總數(shù)為9.36×1012-7.56×1011=8.6×1012 (個(gè)