整理耦合電感和諧振電路品質(zhì)因數(shù)

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1、精品文檔 耦合電感和諧振電路 (in ductor of coupli ng and resonance circu it ) 本章主要介紹： ① ① 耦合電感元件，耦合電感的串、并聯(lián) 5 ② ② 含有耦合電感的正弦電流電路的分析 ,理想變壓器的初步概念 ③ ③ 串聯(lián)諧振、并聯(lián)諧振的物理現(xiàn)象，諧振條件，諧振特點(diǎn)。 4.1 耦合電感元件(coupled in ductors) 磁耦合：兩個(gè)線圈的磁場存在著相互作用，這種現(xiàn)象稱為磁耦合，亦具有互感。 本節(jié)只討論一對(duì)線圈相耦合的情況。 一.互感 (mutual inductanee ) 1. 互感：當(dāng)兩個(gè)

2、電感線圈物理上相互靠近， 一個(gè)線圈所產(chǎn)生的磁通與另一個(gè)線圈相交鏈， 使之產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象。 圖為兩個(gè)有耦合的線圈。 設(shè)線圈芯子及其周圍的磁介質(zhì)為非鐵磁性物質(zhì)。 線圈1的匝數(shù) 為N1,線圈2的匝數(shù)為N2。規(guī)定每個(gè)線圈電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向，電流與其產(chǎn)生的磁 鏈(或電流與磁通)的參考方向符合右手螺旋法則，也是相關(guān)聯(lián)。 耦合線圈 無耦合線圈 ① 自感磁鏈：- i1在線圈1中產(chǎn)生的磁通為 中1及磁鏈為出1，即：出1二N1中1 彳2在線圈2中產(chǎn)生的自感磁鏈 里2 ,即：里2 = L2i2 ② 互感磁鏈：「i1在線圈2中產(chǎn)生的磁鏈 巫1，即：巫1 =2?1 , M 21 ――線圈

3、1與2 的互感。 L在線圈1中產(chǎn)生的磁鏈 田2,即：出2二皿亦2 , M12——線圈2與1的 互感。 由于磁場耦合作用，每個(gè)線圈的磁鏈不僅與線圈本身的電流有關(guān)， 也和與之耦合的線圈 電流有關(guān)，即 出=訊1」2) 及 ^^2 = f2 (i1, i2) 由于線圈周圍磁介質(zhì)為非鐵磁性物質(zhì)，上兩式均為線性的，即磁鏈?zhǔn)请娏鞯木€性函數(shù)。 2. 結(jié)論：①互感系數(shù)：只要磁場的介質(zhì)是靜止的， 根據(jù)電磁場理論可以證明 M12=M21 , 所以，統(tǒng)一用 M表示，簡稱互感，其 SI單位：亨利(H )。 ② 互感的量值反映了一個(gè)線圈在另一個(gè)線圈產(chǎn)生磁鏈的能力?；ジ械拇笮〔粌H 與兩線圈的匝數(shù)、 形狀及

4、尺寸有關(guān)， 還與兩線圈的相對(duì)位置有關(guān)。 如果兩線圈使其軸線平行 放置，則相距越近，互感便越大，反之越小。而兩線圈軸線相互垂直，如圖所示 在這種情況下，線圈1產(chǎn)生的磁力線幾乎不與線圈 2相交鏈，互感磁鏈接近零，所以互感接 近零。 ③ 耦合系數(shù)：一對(duì)耦合線圈的電流產(chǎn)生的磁通只有部分磁通相交鏈， 而彼此不交 k」— 鏈的那一部分磁通稱為漏磁通。表征耦合線圈的緊密程度，用耦合系數(shù) k表示，其定義為 k=1時(shí)稱為全耦合（緊耦合） Y k = 0稱為無耦合 k值較小稱為松耦合 ④ 線圈1、2同時(shí)分別有電流h和i2時(shí)，線圈1、2的總磁鏈可以看作是 h和i2單 獨(dú)作用時(shí)磁鏈的疊加。取電流和

5、磁通的參考方向符合右手螺旋法則， 電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考 方向，則兩個(gè)耦合線圈的磁鏈可表示為 出二出1 ?出2 rJi, _Mi2 巴=巴2 + = L2i2 土 Mb 當(dāng)自感磁鏈和互感磁鏈參考方向一致時(shí), 線圈的磁鏈?zhǔn)窃鰪?qiáng)的, M前面取的是“ + ”號(hào); 精品文檔 M前面取的是"一” 即線圈的總磁鏈?zhǔn)窃鰪?qiáng) 當(dāng)自感磁鏈和互感磁鏈參考方向相反時(shí)，線圈的磁鏈?zhǔn)菧p弱的, 號(hào)。 同名端(dotted terminals ) 1. 同名端定義：當(dāng)h和i2在耦合線圈中產(chǎn)生的磁場方向一致時(shí)， 的，電流i1和i 2流入（或流出）的兩個(gè)端鈕稱為同名端。 2. 同名端標(biāo)注的原則

6、：當(dāng)兩電感元件電流參考方向都是由同名端進(jìn)入（或流出）元件 時(shí)，互感為正。 3. 同名端標(biāo)注的符號(hào)：用一對(duì)“ ?或“ “△”標(biāo)記。 ◎ ，也可以通過實(shí)驗(yàn)方法確 兩個(gè)耦合線圈的同名端確定之后，便可用圖（ 例 電路如圖所示，試確定開關(guān) S打開瞬間, b）所示的電路模型來表示。 22 ?間電壓的實(shí)際極性。 解：假定i及電壓Um的參考方向如圖所示, 根據(jù)同名端原則可得 d i Um = M dt 當(dāng)開關(guān)S打開瞬間，正值電流減小，即 di dt V 0,所以Um V 0,其極性與假設(shè)極性相反, 所以，22間的電壓的實(shí)際極性是 2 ?為高電位端, 2為低電位端。 . 互感電壓

7、 (mutual inductanee voltage ) 忽略互感線圈的內(nèi)阻后，線圈 1對(duì)線圈2的互感電壓可表示為 U21 d %1 dt (a) 選擇互感電壓與互感磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，如圖所示，則上式為 dt dt di1 因?yàn)?dt 0 ' e?i ：：- 0 ~■ U21 0 di1 d ^21 ::0 > dt 當(dāng)電流為正弦交流量時(shí)，互感電壓用相量表示為

8、e21 Or U2I :: 0 U 21 = j ■，M 11 = jX m 11 式中Xm二稱為互感電抗，單位：歐姆。 結(jié)論：①互感電壓的方向與兩耦合線圈的實(shí)際繞向有關(guān)。 ②互感電壓與產(chǎn)生該電壓的電流的參考方向?qū)ν艘恢?（即相關(guān)聯(lián)）時(shí)，互感 電壓取正，不一致（非關(guān)聯(lián)）時(shí)為負(fù)。 4.2含有耦合電感的正弦電流電路 （sinu soidal curre nt circuit with coupled in ductors ） 互感電路：含有耦合電感的電路。 （簡稱互感電路）的正弦穩(wěn)態(tài)計(jì)算可采用相量法。 分析時(shí)要注意耦合電感上的電壓是由自感 電壓和互感電壓疊加而成的。 根據(jù)

9、電壓，電流的參考方向及耦合電感的同名端確定互感電壓 的正、負(fù)是互感電路分析計(jì)算的難點(diǎn)。 由于耦合電感支路的電壓不僅與本支路電流有關(guān)， 還 和與之有耦合支路的電流有關(guān)，所以互感電路的分析計(jì)算一般采用支路電流法或網(wǎng)孔電流 法。 一.耦合電感的串聯(lián) （series conn ecti on of coupled in ductors ） 耦合電感的串聯(lián)聯(lián)接有兩種方式：順向串聯(lián)和反向串聯(lián)。 1. 順向串聯(lián) a）所示。電流是從兩電 U (b) ①電路圖及方程：耦合電感的順向串聯(lián)是異名端相接，如圖（ 感的同名端流入（或流出），其線圈磁鏈?zhǔn)窃鰪?qiáng)的。 J J3（厶2遼空+皿） __

10、 十 -一 /昇也/ + *? _ 5 U （a） 按圖示參考方向，KVL方程為: U^r L1 I j M (L1 M ) I ? ? ? ? U2 =j L2I j M I =「(L2 M )I * * * ? ' U =Uj+U2 =jg + L2 +2M ) I = jC0L I 其中 L=L 1+L2+2M ②等效（去耦等效）電感： L=L 1+L2+2M 2. 反向串聯(lián) ① 電路圖及方程：耦合電感的反向串聯(lián)是同名端相接，如圖（ a）所示。電流是從一個(gè) 線圈的同名端流入（或流出），從另一個(gè)線圈的同名端流出 （或流入），其線圈的磁鏈?zhǔn)菧p弱 的。 按圖示

11、的參考方向， KVL方程為: Ui =j L1 I -j M I 二 j 仏- M)l U2 二 j 丄2I _jI 二 j ?(L2 _M )1 U =U^U^ j o（L^L^2M ） I = jcoL I 其中L=L什L2— 2M ②等效（去耦等效）電感： L=L 1+L2-2M 注意：去耦后，耦合電感支路等效為（L i-M ）和（L2-M ）,這兩者其中之一有可能為負(fù) 值。但其耦合等效電感 L不可能為負(fù)（因?yàn)橛?Li+L2>2M ）。 二.耦合電感的并聯(lián) （parallel conn ecti on of coupled in ductors 耦合電感的并聯(lián)也有兩

12、種方式：同側(cè)并聯(lián)和異側(cè)并聯(lián)。 1.同側(cè)并聯(lián) ①電路圖及方程：耦合電感的同側(cè)并聯(lián)是兩個(gè)同名端連接在同一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，如圖（ 所示。 a） 4- 厶廠 U (b) （a） 在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，按圖示的參考方向有 U = j Li li j M I2 U = j L2 l2 j M l1 因?yàn)? = l1 ^2，所以上兩式可寫成 廠 U = j^M r^jco(L1 -M )l 1 由上式得到去耦等效電路如圖（ 圖（b）中的A點(diǎn)而非A/點(diǎn)。 -M ）l 2 所示。注意去耦等效之后原電路中的節(jié)點(diǎn) A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ②等效（去耦等效）電感: L丄2 - M 2

13、L“ L2 -2M 1 血厶/ ■ 1 j? （厶-胚） -- 十 ? 4-? + ? - 打 u * ■1 U (b) (a) 由圖（b）電路可求出等效阻抗為 Z _ j. M j 仏-M) j ‘J -M) _ j (L^M) j .(L^M) 2.異側(cè)并聯(lián) LiL2 -M2 ①電路圖及方程：耦合電感的異側(cè)并聯(lián)是兩個(gè)異名端連接在同一節(jié)點(diǎn)上，如圖（ a)所 示。 Ca) 可以證明，只要改變同側(cè)并聯(lián)電路圖（ 示。 b）中M前符號(hào)就是其等效電路，如圖（b）所 ②等效（去耦等效）電感:

14、 L1L2 -M L1 L2 2M 3. 耦合電感的兩個(gè)線圈有一個(gè)端鈕相連接時(shí) 耦合電感的兩個(gè)線圈雖然不是并聯(lián)， 但它們有一個(gè)端鈕相連接， 即有一個(gè)公共端，去耦 法仍然適用，仍然可以把有耦合電感的電路化為去耦后的等效電路。如圖（ a）所示。 6 3 W 由圖(a)可得 ? ? * U 13 = j L 11 j M 12 ? ? ? U 23 = j 丄2 I 2 j M I 1 ? ? ? 由于1 =丨1「2，所以上式可寫成 i Ui3 二 j （Lj —M ）|i j M I U23 =j （L2 - M ）1； j M I* 電路如圖（b）所示。 3)

15、 a）同樣可推導(dǎo)其去耦等效電路如下 如改變圖（a）中耦合線圈同名端的位置，如下圖（ 圖（b）。 門L- ￡ jcv(4+M) I jcud.+M) ￡ 3 Xjo-M (a) 三?含耦合電感電路的一般計(jì)算方法 (an alysis methods circuit with coupled in ductors 在計(jì)算含有耦合電感的正弦電流電路時(shí)， 法仍然適用。但由于某些支路具有耦合電感， 時(shí)還與那些與之有耦合關(guān)系的支路電流有關(guān)， 接應(yīng)用。而以電流為未知量的支路電流法、 直接計(jì)入KVL方程中。 ) 采用相量表示電壓、 電流，則前面介紹的相量 這些支路的電壓不僅與本支路的電

16、流有關(guān)， 同 因而象阻抗串并聯(lián)公式、節(jié)點(diǎn)電壓法等不便直 網(wǎng)孔電流法則可以直接應(yīng)用， 因?yàn)榛ジ须妷嚎梢? 例已知圖中，Li=1H , L2=2H , M=0.5H , Ri=R2=1K Q , us = 100sin200二 t V , 試求電路中電流i及耦合系數(shù)K。 解：支路的阻抗為 Z = Ai+A^+J oj(￡i+￡i — 2^T)= 20 00+j 4 OO^r Q =2 360Z±^_l& 所以 (5 耦合系數(shù)為 例 , M 0.5 c — k 0.3 5 4 ..Li L2 ，2 電路如圖所 示，已知 i 二 42.3sin(200二 t-32.1 )

17、A -\ jcuAZ 1/ (a) U, =10 0 V,R, =R2 =3",丄,hJ：：L + 解法一：由題意知丨2=0 根據(jù)圖示電路的參考方向可得 ■I w Ui =(盡十j oii/Vtf； ■I V U2 = \ 3 Mh +倒+血&)右+久 解得 厶=」一二耳缶 =2厶也：直 局+」追 3+]4 U2 = = j2x2Z_12_￡+10z_0：= H 4/10F V 解法二：原電路的去耦等效電路如圖（ b）所示 */ 4=0 ”二 耐+1 3 （厶 1+M） 二 … 0 = : : xc4 閃+ j

18、to（￡】+M）+j to C 3+j6 TH4 X 10zOa =1 * 4/10.3° 4.3 理想變壓器(ideal transformer ) 理想變壓器模型 （ideal tran sformer model ） 1. 理想變壓器電路模型及特性 （a）理想變壓器電路模型 （b）受控源表示的電路模型 （c）受控源表示的電路 模型 2. 理想變壓器幾個(gè)參數(shù) i ） K=1 ii ） N1、N2為原邊、副邊的匝數(shù) iii ） n =N1「N2 （常量），理想變壓器的變比 3. 理想變壓器方程 按圖（a）中所示的同名端及電壓、電流參考方向原、畐

19、燦電壓和電流關(guān)系為 5 = nu2 _ 1. ” 11 = _一 12 n丿 4.變壓器的理想化條件： K=1 L1、L2和M均為無限大 W JL1/L2 = n 采用的措施： 「芯子用磁導(dǎo)率 卩很高的磁性材料 ? 保持匝數(shù)比N1「N2不變情況下，盡可能增加匝數(shù) 使K接近于1，即盡量緊密耦合 二.理想變壓器特性 （ideal tran sformer model ） 1. 理想變壓器：是無記憶性，無動(dòng)態(tài)過程，無損元件。理想變壓器是一個(gè)變換信號(hào)和傳 輸能量的元件。 因?yàn)?U1 i1 U2 i2 = 0 2. 理想變壓器的變阻抗： 原邊的入端阻抗為 Ui w

20、 Il nU 2 + 1 2 理想變壓器輸出端口接有阻抗 ZL ,則輸入端口的入端阻抗（折合到原邊）為 n2ZL。 例圖（a）理想變壓的匝數(shù)比為1： 10及Ri二⑴巴=5" ,Us "OsinlOtV，求氏。 解法一：用回路電流法，根據(jù)圖（ a）可得 理想變壓器的電壓、電流關(guān)系為 解得 U2 1OUs _ 3 =-33.3si n(10t)V 盡：】+旳=Uj. 解法二：用阻抗變換法，等效電路如圖（ b）所示。 兌廠/耳二血x刃=0.5Q U1 U2 R1 Req 1 U1 = n 1 Us〒s 1 3Us 氏二-33.3sin(10t)

21、V 4.4 串聯(lián)諧振 （series resonance ） 諧振：端口電流與外加電壓同相的現(xiàn)象。 諧振電路：發(fā)生諧振的電路。 諧振條件：使諧振發(fā)生的條件。 諧振的實(shí)際意義： ①在無線電工程中廣泛的應(yīng)用 ② 在電力系統(tǒng)中應(yīng)避免，諧振可能會(huì)破壞系統(tǒng)正常工作。 RLC串聯(lián)電路的諧振條件 RLC series circuit ) (con diti on of series res onance on 1. 串聯(lián)諧振：RLC串聯(lián)電路中發(fā)生的諧振。 2. 諧振的條件 如圖RLC串聯(lián)電路中，電路的阻抗為 1 Z =R+j（coL _—）= R +j（XL _Xc） = R +

22、 jX =|Z|N

23、:和品質(zhì)因數(shù)Q 5C p w° RC R 30LI u l -RI _Ur Ul U 品質(zhì)因數(shù)Q的定義：為了維持諧振電路中的電磁振蕩, 激勵(lì)源必須不斷供給能量以補(bǔ) 償電路中電阻損耗的能量。 與諧振電路所儲(chǔ)存電磁場總能量相比， 每振蕩一次電路消耗能量 愈減少，即維持一定能量的振蕩所需功率愈?。?Q愈大），則振蕩電路的“品質(zhì)”愈好。因 此Q的定義為 1LI 2 c c 諧振時(shí)電路中電磁場總 能量 c 2 0 2兀foL gL Q 二 2 2 _ _ 諧振時(shí)一周期內(nèi)電路中 損耗能量 丁疋1口|2 R R To匯一RI。 2 過電壓現(xiàn)象：Q>>1時(shí)，在電感和

24、電容兩端出現(xiàn)大大高于外施電壓 U的高電壓的現(xiàn)象。 實(shí)際電路的Q值可達(dá)20° ~ 50° ,甚至更高。 3. 串聯(lián)諧振電路中的磁場能量和電場能量 RLC串聯(lián)電路中儲(chǔ)存能量的總和為 設(shè)諧振時(shí)外加電壓為 u = 2U sin，'°tv , 精品文檔 則有 i = J2 Usin^ot = J2 I sin(o01A R Uc u 1 二 2 sin (，0t — 90) = Ro 0C to 0C 2 I co觀 01 = 2 QU cos豹 01V 又因?yàn)? 所以 1 — 2 1 — L( .2 I sin .0t)2 —C( - 2QU 2

25、 2 =li 2 =cq2u 2 =」cuCm =常量 2 磁場能量和電場能量的總和為一常數(shù)。 cos時(shí) 01)2 = LI 2 sin 2⑷ 01 + CQ 2U 2 cos2⑷ 01 結(jié)論： 磁場能量與電場能量的交換。 即：在電感和電容之間， 周期性地進(jìn)行著 例 串聯(lián)諧振電路如圖所示，已知 L =50°?舊,C = 2000 PF , Q = 50,電源電壓有 0，諧振時(shí)的電流I和電容上的電壓U c。 效值U = 100mV ,試求電路的諧振頻率 解： k = —?= = —] = 0. 159MHZ 2^LC 27c^500xi 0^3x2000x10

26、n 7 G = l^ 二 R=Q 諧振時(shí)的電流 丄 50V2000X 10-1- 500 X 1°_e =10Q Us lox 10^3 用=7? = 1必 諧振時(shí)電容上的電壓 Uc = QUS = 50X 10X IO-3 = 0.5 V 三?頻率特性和電流諧振曲線 (freque ncy characteristic and curre nt-res onant curve ) 頻率特性：電壓、電流、阻抗和幅角、電抗等與頻率的關(guān)系。 2. 諧振曲線：I、Ul、Uc與3的關(guān)系曲線。 1.電抗的頻率特性 X 二Xl-Xc = L- 1，c 電流諧振曲線 u

27、 R2 ■ ( ?L R2 R2( 3 30 L 30 1 )2 3 3qCR R 1 Q2( 3 - 30 )2 \ 30 3 R 3。 I 1 1 流; 精品文檔 3。：相對(duì)頻率，即電源頻率與諧振頻率之比。 圖示諧振曲線稱為通用諧振曲線。 可見：輸出具有選擇性。 ① =1(諧振點(diǎn))時(shí)，

28、曲線出現(xiàn)高峰，輸出為最大。 ② V 1和 > 1時(shí)，輸出逐漸下降，隨 T0和 而下降為零。 ③ 選擇性：對(duì)偏離諧振點(diǎn)的輸出有抑制能力， 在諧振頻率附近頻域內(nèi)有較大幅度的 輸出。 電路選擇性的優(yōu)劣取決于對(duì)非諧振頻率輸入信號(hào)的抑制能力。 ④ 濾波性質(zhì)：諧振電路的這種只允許一定范圍頻率的電流信號(hào)通過的性質(zhì)。 ⑤ 通頻帶：通頻寬度，又稱帶寬。它規(guī)定了諧振電路允許通過信號(hào)的頻率范圍。 一般規(guī)定，以通用曲線上 I 1 0.707 I。 v2 綜上分析，品質(zhì)因數(shù) Q值越大，電流比就下降得越多，電路的通頻帶越窄，表明電路 對(duì)不是諧振角頻率的電流具有較強(qiáng)的抑制能力，即選擇性較好；反之，品質(zhì)

29、因數(shù) Q值很小, 則在諧振點(diǎn)附近電流變化不大，選擇性很差。 Q值稱為品質(zhì)因數(shù)即來源與此。 4.5 并聯(lián)諧振(parallel resonance ) 串聯(lián)諧振電路適合于激勵(lì)源內(nèi)阻很小的情況， 如果激勵(lì)源的內(nèi)阻很大， 采用串聯(lián)諧振電 路將嚴(yán)重地降低回路的品質(zhì)因數(shù)，使電路的選擇性變壞。此時(shí)應(yīng)采用并聯(lián)諧振電路。 RLC parallel circuit ) 一.RLC并聯(lián)諧振的諧振條件 (con diti on of series res onance on 1. 并聯(lián)諧振：RLC并聯(lián)電路中發(fā)生的諧振。 2. 諧振的條件 如圖RLC并聯(lián)電路中，電路的導(dǎo)納為 1 Y 二G j

30、B 二G j( BC - BL ) = G j( ?C ) wL 發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)導(dǎo)納的虛部為零，即 Im Y1 = 0 或 丄-丄 蛍C -0 精品文檔 諧振角頻率和諧振頻率(固有頻率)分別為 「LC 結(jié)論：諧振頻率由電路結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。 無關(guān)。 RLC并聯(lián)電路的諧振頻率由L、C決定，與R ?并聯(lián)諧振電路的特點(diǎn) (characteristic of series res onance on RLC parallel circuit ) 1.諧振時(shí)電路的特點(diǎn) ①復(fù)導(dǎo)納最小，丫 = G，電路呈電阻性；回路電壓最大, U。=ls「G 。 W0CG =

31、 丄二 Qis co。LG 各元件上的電流為 - i s - =GU ° = G i s G Il =-j -^u。 30 L =j 30CU0 =-丨］ 2.品質(zhì)因數(shù)Q 并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)定義為諧振時(shí)感納（或容納）與輸入電導(dǎo)的比值，即 q= -^=^_=1JC G -0 LG G \ L 3.諧振時(shí)能量：電路的總無功功率為零。 電源的能量全部消耗在電阻上， 電容和電感之 間進(jìn)行磁場能量和電場能量的轉(zhuǎn)換，不與電源發(fā)生能量轉(zhuǎn)換。 若R=m，電路為由L和C組成的LC并聯(lián)電路，此電路發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)其阻抗為無 窮大。在實(shí)際應(yīng)用中常利用并聯(lián)諧振電路阻抗高的特點(diǎn)來選擇信號(hào)或消除某種信號(hào)的頻率。 例 圖示電路中，已知 L =100mH，輸入信號(hào)中含有 fo=100Hz , f1 =500Hz , f2=1kHz 的三種頻率信號(hào)，若要將 f0頻率的信號(hào)濾去，則應(yīng)選多大的電容? 解：當(dāng)LC并聯(lián)電路在f0頻率下發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)，可濾去此頻率信號(hào)的要求，因此, 由并聯(lián)諧振條件 0 可得 1 f0 = 2二、LC C （2 nf。）2 L = （2兀匯 100）2 漢 10010’ F=25.4 卩