北師大版七年級(jí)下冊(cè) 數(shù)學(xué)《平行間的折線與拐角

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1、 《平行線間折線拐角題》說(shuō) 題 稿 原題再現(xiàn)： 如圖，AB∥DE，測(cè)得∠B=60°.∠D＝40 o，求∠BCD的度數(shù) A B C D E 一、 說(shuō)背景： 1、說(shuō)知識(shí) 本題選自初一下冊(cè)第二單元測(cè)驗(yàn)卷第19題。意在考查學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)的綜合運(yùn)用，及學(xué)生讀圖、分析的能力。 二、 說(shuō)價(jià)值： 1、 說(shuō)知識(shí) 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線稱為平行線，平行線是初中平面幾何最基本的，也是非常重要的圖形，在解某些平面幾何問(wèn)題時(shí)，若能根據(jù)解題需要，巧加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€，則能使證明流暢，簡(jiǎn)潔。同時(shí)此題有多解，以創(chuàng)新方式來(lái)解決問(wèn)題，可培

2、養(yǎng)學(xué)生思維的開(kāi)闊性、發(fā)散性和靈活性。 2、 說(shuō)本題滲透數(shù)學(xué)思想方法 本題蘊(yùn)含解幾何的基本解題思想：建立分散的角與角之間的聯(lián)系，平行線是最好的橋梁之一。在有關(guān)圖形的計(jì)算和推理中，常見(jiàn)一類“折線”，“拐角”型問(wèn)題，要解決這類問(wèn)題，必然掌握與“剖分”思想及分類與轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過(guò)拐點(diǎn)，運(yùn)用平行線將一個(gè)角剖分成兩個(gè)角，從而化“未知”為“可知”，這樣的解題思想也為今后解決為一類型的題目，如何寫(xiě)好幾何證明題提供了思想方法。 三、說(shuō)題目： （一）、說(shuō)題目的主要特點(diǎn) 本題由圖形可以看出，兩條平行線AB，ED之間出現(xiàn)了一個(gè)折角∠BCD，這個(gè)折點(diǎn)就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，是這類型題目的主要特征。受這點(diǎn)啟

3、發(fā)，必然會(huì)想到在這里做文章。 （二）說(shuō)題目的已知條件 本題的已知條件是：AB∥DE，測(cè)得∠B=60°.∠D＝40 o。 （三）、要求證的結(jié)論是什么 求∠BCD的度數(shù)。 四、 說(shuō)解法： 主要教會(huì)學(xué)生如何觀察圖形，分析幾何題的具體思路。 （一） 首先從條件入手，條件能推出什么？ 我習(xí)慣于讓學(xué)生先說(shuō)有多少個(gè)條件，每個(gè)條件能夠推出什么？條件中AB∥DE，由平行的性質(zhì)，我們可以聯(lián)想到同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，但圖中并不存在由它們的同位角、內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角。那些，作為題目最為關(guān)鍵的一個(gè)條件，卻不能直接得到什么出來(lái)，是不是說(shuō)明這個(gè)條件沒(méi)有用呢？顯然不是的。而同時(shí)，思考題目給出的

4、∠B=60°，∠D＝40 o又將如何利用呢？與問(wèn)題∠BCD這三個(gè)者沒(méi)有直接聯(lián)系。此時(shí)遇到的一個(gè)關(guān)卡，恰可以從題目的特點(diǎn)出發(fā)，利用平行，從折角處找到突破口作平行線，將問(wèn)題∠BCD與條件∠B、∠D關(guān)聯(lián)起來(lái)，把“未知”轉(zhuǎn)化為“可知”。 M N A B C D E （二） 聯(lián)系條件和結(jié)論的橋梁是什么？ 由上題對(duì)條件的分析，接著讓學(xué)生思考如何將問(wèn)題求∠BCD 與條件①AB∥DE，②∠B=60°③∠D＝40 o關(guān)聯(lián)起來(lái)呢？ 學(xué)生自然會(huì)想到，利用平行，從折角處找到突破口， 在折角頂點(diǎn)C處過(guò)點(diǎn)C作直線MN//AB（如圖所示）,即可將問(wèn)題的 ∠

5、BCD拆分成兩個(gè)角，分別是∠BCN與∠DCN，也就是說(shuō)要求 ∠BCD，先求∠BCN與∠DCN。 （三） 解決此類型問(wèn)題的一般方法是什么？ 那么如何求∠BCN與∠DCN呢？這兩個(gè)角與條件AB∥DE及添加的輔助線MN//AB又有什么聯(lián)系呢？學(xué)生自然會(huì)想到求角的一般方法是利用平行線的性質(zhì)得到相應(yīng)的內(nèi)錯(cuò)角相等，即由MN//AB得∠BCN＝∠B，再由平行線的判定方法“平行于同一條現(xiàn)行的兩條直線平行”，即由MN//AB，AB∥DE得到MN//ED，從而∠DCN＝∠D，這樣就充分地完全的利用了所有的條件，從而問(wèn)題∠BCD＝∠DCN+∠BCN也得到了完美的解決。 （四） 能否用自己語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題的本質(zhì)

6、？ 得到以上的分析后，再交由學(xué)生親自將思路寫(xiě)下來(lái)，在不斷的修正中學(xué)習(xí)如何分析問(wèn)題，如何寫(xiě)好證明。 （五） 分析學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn) （1） 學(xué)生在表述添加輔助線時(shí)會(huì)直接說(shuō)MN//AB，MN//CD，于是很快得到∠BCN＝∠B，∠DCN＝∠D。這里就沒(méi)有把條件全部用上，忽略了題目條件AB//CD的作用，必須提醒學(xué)生過(guò)直線然一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線平行，而這條直線是否還和另外一條直線平行呢？不知道，需要證明。即過(guò)直線外一點(diǎn)作一條直線同時(shí)與兩條直線平行這是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。 （2） 學(xué)生會(huì)以為∠D與∠B是同旁內(nèi)角或內(nèi)錯(cuò)角，此時(shí)及時(shí)復(fù)習(xí)三線八角的八角都應(yīng)該有“公共邊”，即可排除此錯(cuò)誤。 （六） 有

7、沒(méi)有更好的解法？ 除了以上的解法外，還有以下幾種解法： 解法一：延長(zhǎng)BE到F，BF與CD相交于點(diǎn)F，構(gòu)造△EFD,利用三角形內(nèi)角和180°. 證明略 解法二：延長(zhǎng)BE到F，BF與CD相交于點(diǎn)F。構(gòu)造△EBF,利用三角形內(nèi)角和180°。 證明略 解法三：連接BD，構(gòu)造△BED,利用三角形內(nèi)角和180°。 證明略 所以輔助線的作法有時(shí)有多種，或作同一條線，有不同的幾何描述，不同作法和同一條線的不同幾何描述影響證題的基本思路和書(shū)寫(xiě)格式，這點(diǎn)我們要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，掌握其證法本質(zhì). 五、 說(shuō)推廣 （一） 同類拓展變題 增加拐點(diǎn)的數(shù)

8、量 1、 如圖,若AB∥CD,則∠B，∠E ,∠F, ∠G,∠D的關(guān)系又如何?請(qǐng)說(shuō)明理由. B A E F G D D （二）同類逆向變題 1、如圖，若∠B+∠D＝∠E，則AB//CD嗎？試作說(shuō)明 A B C D E （三）異型發(fā)散變題 改變拐點(diǎn)位置 1、如圖所未 AB//CD，∠B，∠D，∠E之間有何關(guān)系？ E E E E C D A B E 圖1 A C D B

9、 分析:本題是一道探究性問(wèn)題,問(wèn)題中的三個(gè)角與已知條件沒(méi)有直接聯(lián)系,根據(jù)以上的經(jīng)驗(yàn)，可通過(guò)作輔助線,構(gòu)造平行線,使它們之間建立聯(lián)系,使問(wèn)題得到解決. 如圖1,可過(guò)E作ME∥AB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),得∠B +∠BED=,又因?yàn)锳B∥CD, ME∥CD,根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，所以CD∥ME∥AB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),得∠D +∠CDE=,故∠B+∠D+∠BED=. 2、除了以上圖形變化外，還可以將圖形進(jìn)行怎樣的變化？你能否提出新的問(wèn)題？ A B O1 O2 O3 D C 如圖，已知AB//CD,探究∠B、∠O1、∠O2、∠

10、O3、∠D之間的關(guān)系 A B O1 O2 O3 D C （四）方法應(yīng)用反饋 1、如圖1, ∠CAB=,AC⊥CD, ∠CDE=，求證:AB∥ED. 分析:AB與ED是沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)的角,故需作輔助線進(jìn)行過(guò)渡,作CF平行于AB,再說(shuō)明CF∥DE,,然后得到AB∥ED. D E F C B A 130 40 圖1 D E F C B A 130 40 圖1 3、某自然保護(hù)區(qū)給一些小動(dòng)物搭建了小木屋，其側(cè)面如圖所示，小亮見(jiàn)了也想回家給自己的小狗做一個(gè)同樣的小木屋，他用量角器測(cè)出∠A=123°, ∠C=135°，由于小亮個(gè)子太矮，屋頂?shù)摹螧測(cè)不到，哥哥看到后說(shuō)，不用測(cè)量，我也能算出∠B，你知道哥哥是怎樣算出∠B的嗎？說(shuō)出你的方案 六、 總結(jié) 本題通過(guò)一道平行線中的“折線”“拐角”問(wèn)題，以及通過(guò)“順勢(shì)”的變式提出了多種拐點(diǎn)模型，讓學(xué)生掌握基本方法即過(guò)“折點(diǎn)”作輔助錢(qián)構(gòu)造平行線來(lái)順利解決問(wèn)題。以平行線的性質(zhì)與判定為知識(shí)線，以提出解題的方法為方法線，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)“剖分”與“轉(zhuǎn)化”的思想線。 教學(xué)課要注重知識(shí)教學(xué)與思維教學(xué)的統(tǒng)一，要重視課堂的效率，又要注意對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)，力求使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生罹難的邏輯性與知識(shí)性的統(tǒng)一，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三。