【名校資料】山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題10 全等三角形、相似三角形

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1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 全等三角形、相似三角形 【近3年臨沂市中考試題】 1.（2016?臨沂T25）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且CE=BF．連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C． （1）請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是　　　　　　，位置關(guān)系是　　　　　?。? （2）如圖2，若點E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明； （3）如圖3，若點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長線上的點，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

2、 2．（2015?臨沂T18） 如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點O，則_________ O B C D E A 3.（2015?臨沂T25）25（本小題滿分11分） 如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE. （1）請判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是　　　　　　　，位置關(guān)系是　　　　　　　； （2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚€等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明； （3）若

3、三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結(jié)論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷. 4.（2014臨沂T25） D A 問題情境：如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是 E BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分. 探究展示： （1）證明：； M C B （2）是否成立？ A B M 圖2 D E C （第25題圖） 圖1 若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由. 拓展延伸： （3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形， 其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（

4、2）中的結(jié) 論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明. 【知識點】 全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。全等三角形對應(yīng)邊上的高，中線相等，對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。 1. 一般三角形全等的判定 （1）邊邊 邊公理：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（“邊邊邊”或“SSS”）。 （2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”)。 （3）角邊角公理： 兩個角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“ASA

5、”)。 （4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角角邊”或“AAS”)。 2.直角三角形全等的判定 （1）利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等． （2）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或“HL”)． 相似三角形的性質(zhì) 1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方 相似三角形的判定方法有： 1.平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相

6、似。 2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似。 3.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似。 4.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似。 直角三角形相似判定定理 1．斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。 2．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。 【規(guī)律方法】 證明兩三角形全等或相似基本方法步驟： 1．.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；

7、2．證明三角形全等首先找邊，然后再看三角形滿足怎樣的條件，還需要證明什么條件； 3．從題目中分析每個條件能導(dǎo)出什么新的條件，或者能組合成什么有幫助的條件。 4．從問題倒著思考，考慮回答這個問題需要什么條件，而這個條件是否在題目中出現(xiàn)，或者是否可以重新推理出來、或者是否運用到什么定理、推論、公理、規(guī)律等。 5.當(dāng)求兩線段之比時，通常構(gòu)造相似三角形得出對應(yīng)邊之比； 6.當(dāng)出現(xiàn)如右圖形時，要考慮三角形相似和三角形全等； 7．當(dāng)出現(xiàn)“中點+中點”時，要聯(lián)想到三角形中位線. 【中考集錦】 一、選擇題 1.（2013貴州安順，5,3分）如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添

8、加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是：（ ） B D E C A 第3題 A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 2. （2013河北，11，,3分）如圖4，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，則AN = A．3　　　　　B．4　　　 C．5 　　　 D．6 3. （2013湖南湘潭，8，3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上，連結(jié)AD、 AE.如果只添加一個條件使∠DAB=∠EAC，則添加的條件不能為

9、 A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 4.（2013山東東營，10，3分）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值（ ） 5.（2013西寧市，6，3分）使兩個直角三角形全等的條件是（ ） A．一銳角對應(yīng)相等 B．兩銳角對應(yīng)相等 A B C M C．一條邊對應(yīng)相等 D．兩條邊對應(yīng)相等 6.（2013貴州貴陽，8，3分）如右圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異 于B、C的一定點，過點M作直線截△ABC，使截得的三角形

10、與△ABC相似， 這樣的直線共有（ ） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 7.（2013浙江臺州,10,3分）已知△A1B1C1與△A2B2C2的周長相等,現(xiàn)有兩個判斷： ①若A1B1= A2B2，A1C1=A2C2 則△A1B1C1≌△A2B2C2 ②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2 對于上述的連個判斷,下列說法正確的是（ ） A.①正確②錯誤 B. .①錯誤②正確 C. .①,②都錯誤 D. .①,②都正確 8.（2013重慶A卷，9，3分）如圖，在平行四邊形ABC

11、D中，點E在AD上， 連接CE并延長與BA的延長線交于點F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長 為（ ） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 9. （2013哈爾濱，9，3分）如圖，在△ABC中，M、N分別是邊AB、AC的中點，則△AMN的面積與四邊形MBCN的面積比為(　　)． B A C D P E A．　　B．　　C．　　D． 10．（2013廣西桂林，12，3分）如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，P是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結(jié)A

12、P，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分線于E，設(shè)BP=x，△PCE面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（ ） A．y=2x+1 B．y=x－2x2 C．y=2x－x2 D．y=2 x 二、填空題 1. （2013湖南婁底，12，3分）如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是 ______________.（添加一個條件即可） 第1題 第2題 2. （2013天津，14，3分）如圖，已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC與BD相交于點O，請寫出圖中一組相等的線段

13、 . 3. （2013黑龍江綏化，3，3分）如圖，A、B、C三點在同一條直線上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件 ，使得△EAB≌△BCD。 4 . （2013黑龍江農(nóng)墾牡丹江，13，3分）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件 使△ABC∽△ACD.（只填一個即可） A B C E D 5. （2013浙江臺州,8,4分）如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,且,則的值為（ ） A.1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4

14、 第4題 第5題 6. （2013寧夏回族自治區(qū)寧，14，3分）△ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點，BC＝4，下面四個結(jié)論：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為 1∶4；④△ADE的周長與△ABC的周長之比為 1∶4；其中正確的有＿＿＿.（只填序號） 7．（2013浙江寧波，18，3分）如圖，等腰直角三角形ABC頂點A，C在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=，反比例函數(shù)的圖象分別與AB，BC交于點D,E.當(dāng)∽時，

15、點E的坐標(biāo)為 8. （2011山西，11，2分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，點G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形．若DE＝2㎝，則AC的長為（ ） 9.（2011貴州遵義，10，3分）如圖，在直角三角形ABC中（∠C＝900）,放置邊長分別3,4,的三個正方形，則x的值為（） 10.(2013山東菏澤，14，3分)如圖所示，在?ABC中，BC＝6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ＝CE時，EP＋

16、BP＝______． 三、解答題 E C A B D 1. （2013吉林，20，7分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°.延長AB至點D，使DB=AB，連接CD，以CD為直角作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，連接BE. （1）求證：△ACD≌△BCE； （2）若AC=3cm,則BE= cm.. 2. 如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長． 3．（2011陜西，18，6分）如圖，在正方形ABCD中，點G為BC

17、上任意一點，連接AG，過B、D兩點分別作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分別為E、F兩點．求證：△ADF≌△BAE． 4．（2011山東煙臺，24，10分） 已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求證：AB＝BC；A B C D E （2）當(dāng)BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE＋CD． 5. （2013貴州銅仁，24，12分）如圖，AC是⊙O的直徑，P是⊙O外一點，連結(jié)PC交⊙O于B，連結(jié)PA、AB，且滿足PC=50，PA=30，PB=18. （1）求證：△PAB∽△P

18、CA； （2）求證：AP是⊙O的切線. 【特別提醒】 （1）根據(jù)相似三角形找對應(yīng)邊時，出現(xiàn)失誤找錯對應(yīng)邊，因此在寫比例式時出錯，導(dǎo)致解題錯誤信息； （2）在定理的實際應(yīng)用中，常常忽視“夾角相等”這個重條件，錯誤認為有兩邊對應(yīng)比相等，再有一組角相等，就能得到兩個三角形相似。 （3） 兩邊一對角(SSA)和三角(AAA)對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。

19、 答案： 1、【答案】 B 【考點解剖】本題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形常見判定方法是解題的關(guān)鍵。 【解題思路】已知AE=CF，可知AF=CE；又∠AFD=∠CEB，即知道一組對應(yīng)邊相等，一組對應(yīng)角相等，因此添加的條件可以是任意一組對應(yīng)角，或是加一組對應(yīng)邊且保證已知的對應(yīng)角是夾角。 2、【答案】B. 【考點解剖】本題考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，找出與所求線段有關(guān)的相似三角形是解答本題的關(guān)鍵． 【解題思路】由菱形對角線平分一組對角可得到∠FAN=∠

20、EAM，由“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”可得Rt△FAN∽Rt△EAM，由“相似三角形對應(yīng)邊成比例”列出含有AN的比例式，解之即可. 3、【答案】C 【考點解剖】本題考查全等三角形的判定.，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵. 【解題思路】本題主要是轉(zhuǎn)化為證明△ABD≌△ACE，因為AB=AC，所以∠B＝∠C，此時對四個選項逐一判斷，能否證明得到△ABD≌△ACE即可. 4、【答案】B． 【考點解剖】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、正確運用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例式是解題的關(guān)鍵． 5、【答案】D 【考點解剖】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是

21、解答本題的關(guān)鍵． 6、【答案】C 【考點解剖】本題考查相似三角形判斷，熟練運用兩對角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判斷方法是解答此題的關(guān)鍵． 【解題思路】分兩種可能，（1）過點M作直線截AC，以M為頂點的角等于∠A=90°或等于∠B，（2）過點M作直線截AB，以M為頂點的角等于∠A=90°或等于∠C，因為過一點只有一條直線垂直于已知直線，所以以M為頂點的角等于∠A=90°時的兩直線重合． 【解答過程】如圖，分別過點M作△ABC三邊的垂線l1、l2、l3，易證此時分別形成的三角形均與原三角形相似，所以共3條． 7、【答案】D 【考點解剖】考察全等三角形的判定，相似三角形的判定及

22、性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等量減等量差相等，證邊相等，及相似比等于周長比靈活應(yīng)用. 【解題思路】由周長相等，A1B1= A2B2,A1C1=A2C2，得出第三邊也相等，從而得出三角形全等。由兩角對應(yīng)相等，證明三角形相似，由三角形的相似比等于周長比，得出相似比為1:1，證出三角形全等. 【解答過程】①∵A1B1= A2B2,A1C1=A2C2，A1B1+,A1C1+B1C1=A2C2+A2B2+ B2C2; ∴B1C1= B2C2 ∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）; ② ∵∠A1=∠A2,∠B1=∠B2, △A1B1C1∽△A2B2C2 ， 由周長相等，得相似比為1，故△A1B1C1≌

23、△A2B2C2. 8、【答案】 B. 【考點解剖】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到與已知線段和所求線段有關(guān)的相似三角形． 【解題思路】由平行四邊形的性質(zhì)可知AB∥CD，由此可證得△AFE∽△DCE，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解. 9、【答案】 B． 【考點解剖】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，充分利用中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【解題思路】先由M、N分別是邊AB、AC的中點，確定出MN是△ABC的中位線，從而得到MN∥AB，因此△AMN∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，從而求出△AMNC與△ABC的

24、面積比，再根據(jù)比例性質(zhì)可求得△AMN的面積與四邊形MBCN的面積比.. 10、 【答案】C 【考點解剖】本題是一道立足正方形的動點問題，綜合考查了相似三角形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是“動中取靜”、抓住相似三角形的不變性建立△PCE 的面積為y與BP長度的函數(shù)關(guān)系式． 【解題思路】過點E作EF⊥BC，垂足為F，結(jié)合正方形的性質(zhì)可證∠BAP+∠APB=90°，∠FPE+∠APB=90°，得∠BAP=∠FPE，又∠B=∠PFE，可證△ABP∽△PFE，得關(guān)系式，由于CE為∠BCD的外角平分線，且EF⊥BC，得△ECF為等腰直角三角形，CF=EF，PF=PC+C

25、F=PC+EF=4－ x +EF，所以，得EF= x，從而得△PCE面積為y==2x－x2． 二、填空題 1、【答案】答案不唯一，如：∠C=∠B∠C=∠B或∠AEB=∠ADC∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC∠CEB=∠BDC或AE=ADAC=AB或CE=BE.【考點解剖】本題考查了一般三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA. 【解題思路】根據(jù)已知可知兩個三角形已經(jīng)具備S、A對應(yīng)相等，所以根據(jù)全等三角形的判定方法，可以添加一邊或一角都可以全等. 2、【答案】AC=BD或BC=AD或OD=OC或OA=OB. 【考點解剖】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，掌

26、握全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 【解題思路】先推△ADB≌△BCA，根據(jù)全等的性質(zhì)得AC=BD、BC=AD的關(guān)系，再推OA=OB，OC=OD. 3、【答案】AE＝CB（或EB＝BD或∠EBD＝90°或∠E＝∠DBC等）． 【考點解剖】本題是一個條件開放性的問題，考查的是全等三角形的判定和分類的數(shù)學(xué)思想．掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵． 【解題思路】按SAS、ASA、AAS、HL判定，添加缺少的邊和角即可． 4、【答案】本題答案不唯一，如∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB或． 【考點解剖】本題主要考查相似三角形的判定方法，兩個相似三角形的判定方法有：（1）有個角相等的三角形

27、；（2）兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等；（3）三邊對應(yīng)成比例． 【解題思路】從圖形可知，△ABC和△ACD有公共角∠A，因此運用判定方法（1）（2），即只要在添加一對角相等或者添加兩夾邊對應(yīng)成比例即可． 5、【答案】1∶3 【考點解剖】本題考查了相似三角形的判斷定理及相似三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證相似以及相似比與面積比的關(guān)系。 【解題思路】根據(jù)比例式判定三角形哪兩組邊對應(yīng)成比例，觀察夾角是否相等？證出兩三角形相似，再由相似三角形面積比等于相似比的平方算出兩三角形的面積比，繼而推出三角形和四邊形的比. 6、【答案】①②③. 【考點解剖】本題既考查了三角形的中位線，又考查了相似三角形，

28、關(guān)鍵是要從三角形的中位線入手. 【解題思路】由D、E分別是邊AB與AC的中點，知道DE∥BC，且DE＝BC，從而有△ADE∽△ABC. 7、【答案】（，）． 【考點解剖】本題將一次函數(shù)與反比例函數(shù)和相似結(jié)合在一起考查，屬于綜合題，難度適中． 【解題思路】由相似三角形的對應(yīng)角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可設(shè)E（a，），D（b，），由雙曲線的對稱性可以求得ab=3；最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值． 【解答過程】解：如圖，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E， ∴∠BAC=∠AB

29、C=45°，且可設(shè)E（a，），D（b，）， ∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0）， ∴易求直線AB的解析式是：y=x+2﹣a． 又∵△BDE∽△BCA， ∴∠BDE=∠BCA=90°， ∴直線y=x與直線DE垂直， ∴點D、E關(guān)于直線y=x對稱，則=，即ab=3． 又∵點D在直線AB上， ∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0， 解得，a=， ∴點E的坐標(biāo)是（，）． 8、 分析：由題意知DE是等腰△ABC的中位線，所以DE∥BC，DE＝BC， 因為DE＝2㎝，所以BC＝4㎝．又DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC，且相似比為．過點A作AM⊥BC于點M．則MC＝

30、2㎝， 由點E是邊AC的中點，EF∥AM，所以FC＝1㎝．在△EFC中， 因為正方形DEFG的邊長是2㎝，所以根據(jù)勾股定理得EC＝，所以AC＝ 9、x=7解：∵在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個正方形， ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， ∴OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）（x-4）=12， ∴x=0（不符合題意，舍去），x=7． 10、【答案】12． 【解答過程】如圖，當(dāng)CQ＝CE時，延長BQ交射線EF于點G． ∵BQ平分∠CBP，∴∠CBQ＝∠QBP，∵E、F是AB、A

31、C的中點，∴EF∥BC，∴∠CBQ＝∠QGP，∴∠QBP＝∠QGP，∴PB＝PG．∴EP＋BP＝EP＋PG＝EG．∵EF∥BC，∴△BCQ∽△GEQ，∴，∵CQ＝CE，∴，∴EG＝2BC，∵BC＝6，∴EG＝2×6＝12． 三、解答題 1、【考點解剖】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等的判定方法是解題的關(guān)鍵 【解題思路】（1）由已知條件可得兩三角形有兩邊對應(yīng)相等，所以考慮說明其夾角相等，利用SAS證全等；（2）利用全等的結(jié)論，可得BE=AD=2AB，從而轉(zhuǎn)化到△ABC中求線段的長 【解答過程】（1）∵等腰三角形CDE中，∠DCE=90°, ∴CD=CE. ∵∠ACB=90°，

32、 ∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD. 即∠BCE=∠ACD. 又AC=BC， ∴△ACD≌△BCE. (2)6 2、解：連接BD， ∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點， ∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， 又DE丄DF， ∴∠FDC=∠EDB， ∴△EDB≌△FDC， ∴BE=FC=3， ∴AB=7，則BC=7， ∴BF=4， 在直角三角形EBF中， EF2=BE2+BF2=32+42， ∴EF=5． 3、答：EF的長為5．解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴DA=AB，∠1+∠2=90°

33、 　　　又∵BE⊥AG，DF⊥AG ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° ∴∠2=∠3，∠1=∠4 ∴△ADF≌△BAE 4、解答：（1）證明：連接AC． ∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2． ∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2． ∵AD2+CD2=2AB2， ∴AB2+BC2=2AB2， ∴AB=BC． （2）證明：過C作CF⊥BE于F． ∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD=EF． ∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△BAE≌△CBF．∴AE=BF． ∴BE=BF+EF=AE+CD． 5、【解答過程】解：（1）證明：∵PC=50，PA=30，PB=18 ∴ ，又∵∠APC=∠BPA， ∴△PAB∽△PCA. （2）證明：∵AC是⊙O的直徑 ∴∠ABC=90， ∴∠ABP=90°， 又∵△PAB∽△PCA ∴∠PAC=∠ABP， ∴∠PAC=90°， ∴PA是⊙O的切線.