（通用版）2019高考數學二輪復習 第二篇 第19練 直線與圓精準提分練習 文.docx
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第19練 直線與圓 [明晰考情] 1.命題角度：求直線(圓)的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關系判斷、簡單的弦長與切線問題.2.題目難度：中低檔難度. 考點一 直線的方程 方法技巧 (1)解決直線方程問題，要充分利用數形結合思想，養(yǎng)成邊讀題邊畫圖分析的習慣. (2)求直線方程時應根據條件選擇合適的方程形式利用待定系數法求解，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意. (3)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性. 1.設a∈R，則“a＝－2”是直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 當a＝－2時，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x－y＋4＝0，顯然l1∥l2. 當l1∥l2時，由a(a＋1)＝2且a＋1≠－8， 得a＝1或a＝－2， 所以a＝－2是l1∥l2的充分不必要條件. 2.已知兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為( ) A.0或－ B.或－6 C.－或 D.0或 答案 B 解析 依題意，得＝. 所以|3m＋5|＝|m－7|， 所以(3m＋5)2＝(m－7)2， 所以8m2＋44m－24＝0， 所以2m2＋11m－6＝0， 所以m＝或m＝－6. 3.過點P(2,3)的直線l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則S△OAB的最小值為________. 答案 12 解析 依題意，設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0). ∵點P(2,3)在直線l上， ∴＋＝1，則ab＝3a＋2b≥2， 故ab≥24，當且僅當3a＝2b(即a＝4，b＝6)時取等號. 因此S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值為12. 4.已知l1，l2是分別經過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是________. 答案 x＋2y－3＝0 解析 當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大. ∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2， ∴兩平行直線的斜率k＝－. ∴直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 考點二 圓的方程 方法技巧 (1)直接法求圓的方程：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. (2)待定系數法求圓的方程：設圓的標準方程或圓的一般方程，依據已知條件列出方程組，確定系數后得到圓的方程. 5.已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為( ) A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 答案 B 解析 設圓心坐標為(a，－a)， 則＝，即|a|＝|a－2|， 解得a＝1， 故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝＝，故圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 6.圓心在曲線y＝(x＞0)上，且與直線2x＋y＋1＝0相切的面積最小的圓的方程為( ) A.(x－1)2＋(y－2)2＝5 B.(x－2)2＋(y－1)2＝5 C.(x－1)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y－1)2＝25 答案 A 解析 y＝的導數y′＝－，令－＝－2， 得x＝1(舍負)， 平行于直線2x＋y＋1＝0的曲線y＝(x＞0)的切線的切點的橫坐標為1，代入曲線方程，得切點坐標為(1,2)，以該點為圓心且與直線2x＋y＋1＝0相切的圓的面積最小，此時圓的半徑為＝. 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5. 7.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________________. 答案 (x－2)2＋y2＝9 解析 ∵圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a,0)，且a>0. 則圓心C到直線2x－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2. ∴圓C的半徑r＝|CM|＝＝3，因此圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 8.圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為2，則圓C的標準方程為________. 答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4 解析 設圓心(a>0)，半徑為a. 由勾股定理得()2＋2＝a2，解得a＝2. 所以圓心為(2,1)，半徑為2， 所以圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 考點三 點、直線、圓的位置關系 方法技巧 (1)研究點、直線、圓的位置關系最常用的解題方法為幾何法，將代數問題幾何化，利用數形結合思想解題. (2)與弦長l有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理. 9.過點P(－3,1)，Q(a,0)的光線經x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為( ) A.－ B. C. D.－ 答案 A 解析 點P(－3,1)關于x軸的對稱點為P′(－3，－1)，由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切，因為P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，所以由＝1，得a＝－. 10.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋2＝1的位置關系是( ) A.內切 B.相交 C.外切 D.外離 答案 B 解析 化簡得圓M：x2＋(y－a)2＝a2，即圓心M(0，a)，r1＝a，所以M到直線x＋y＝0的距離d＝，所以2＋2＝a2，解得a＝2(舍負)，所以M(0,2)，r1＝2，又N(1,1)，r2＝1，所以|MN|＝，所以|r1－r2|＜|MN|＜|r1＋r2|，故兩圓相交. 11.已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為________. 答案 5－4 解析 兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由點C1關于x軸的對稱點C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4. 12.在平面直角坐標系xOy中，以點A(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________. 答案 (x－1)2＋y2＝2 解析 直線mx－y－2m－1＝0恒過定點P(2，－1)， 當AP與直線mx－y－2m－1＝0垂直， 即點P(2，－1)為切點時，圓的半徑最大， 所以半徑最大的圓的半徑r＝＝. 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2. 1.直線xcosθ＋y＋2＝0的傾斜角α的取值范圍是________. 答案 ∪ 解析 設直線的斜率為k，則k＝tanα＝－cosθ. 因為－1≤cosθ≤1，所以－≤－cosθ≤. 所以－≤tanα≤. ①當0≤tanα≤時，0≤α≤； ②當－≤tanα＜0時，≤α＜π. 故此直線的傾斜角α的取值范圍是∪. 2.已知過點(2,4)的直線l被圓C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦長為6，則直線l的方程為________________. 答案 x－2＝0或3x－4y＋10＝0 解析 當l斜率不存在時，符合題意； 當l斜率存在時，設l：y＝k(x－2)＋4， C：(x－1)2＋(y－2)2＝10. 由題意可得2＋2＝10， 解得k＝，此時l：3x－4y＋10＝0. 綜上，直線l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0. 3.由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________. 答案 解析 如圖所示，設直線上一點P，切點為Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長，MQ為圓M的半徑，長度為1，|PQ|＝＝， 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離，設圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2. 所以|PM|的最小值為2. 所以|PQ|＝≥＝. 解題秘籍 (1)直線傾斜角的范圍是[0，π)，要根據圖形結合直線和傾斜角的關系確定傾斜角或斜率范圍. (2)求直線的方程時，不要忽視直線平行于坐標軸和直線過原點的情形. (3)和圓有關的最值問題，要根據圖形分析，考慮和圓心的關系. 1.已知命題p：“m＝－1”，命題q：“直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直”，則命題p是命題q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 “直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直”的充要條件是11＋(－1)m2＝0?m＝1. ∴命題p是命題q的充分不必要條件. 2.兩條平行線l1，l2分別過點P(－1,2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是( ) A.(5，＋∞) B.(0,5] C.(，＋∞) D.(0，] 答案 D 解析 當PQ與平行線l1，l2垂直時，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為＝， ∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0，].故選D. 3.過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( ) A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0 答案 B 解析 依題意知，點(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點. ∵圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為，∴切線的斜率k＝－2. 故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. 4.若直線x－y＋m＝0被圓(x－1)2＋y2＝5截得的弦長為2，則m的值為( ) A.1 B.－3 C.1或－3 D.2 答案 C 解析 ∵圓(x－1)2＋y2＝5的圓心C(1,0)，半徑r＝， 又直線x－y＋m＝0被圓截得的弦長為2. ∴圓心C到直線的距離d＝＝， ∴＝，∴m＝1或m＝－3. 5.已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴ ∴ ∴△ABC外接圓的圓心為， ∴圓心到原點的距離d＝＝. 6.已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過點P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是( ) A.10 B.9 C.10 D.9 答案 C 解析 易知最長弦為圓的直徑10， 又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|＝， ∴最短弦的長為2＝2＝2， 故所求四邊形的面積S＝102＝10. 7.已知圓的方程為x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直線l：x＋y－t＝0，若圓上有且只有兩個不同的點到直線l的距離等于，則參數t的取值范圍為( ) A.(2,4)∪(6,8) B.(2.4]∪[6,8) C.(2,4) D.(6,8) 答案 A 解析 把x2＋y2－4x－6y＋11＝0變形為(x－2)2＋(y－3)2＝2，所以圓心坐標為(2,3)，半徑為， 則<<＋，解得2
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