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第3練 不等式與線性規(guī)劃
[明晰考情] 1.命題角度：不等式的性質(zhì)和線性規(guī)劃在高考中一直是命題的熱點.2.題目難度：中低檔難度.
考點一 不等關系與不等式的性質(zhì)
要點重組 不等式的常用性質(zhì)
(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(2)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥1).
(3)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2).
1.若a>b>0，c
B.<
C.> D.<
答案 D
解析 由c－>0，
又a>b>0，
∴－>－，∴<.
2.(2018全國Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則( )
A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0
C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b
答案 B
解析 ∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，
b＝log20.3＜log21＝0，
∴ab＜0.
∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，
∴ab＜a＋b＜0.
3.已知x，y∈R，且x＞y＞0，則( )
A.－＞0 B.sinx－siny＞0
C.x－y＜0 D.lnx＋lny＞0
答案 C
解析 函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以＜，即－＜0，A錯；函數(shù)y＝sinx在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，B錯；函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以x＜y，即x－y＜0，C正確；lnx＋lny＝lnxy，當x＞y＞0時，xy不一定大于1，即不一定有l(wèi)nxy＞0，D錯.
4.若x＞y，a＞b，則在：①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④＞這四個式子中，恒成立的所有不等式的序號是____________.
答案 ②
考點二 不等式的解法
方法技巧 (1)解一元二次不等式的步驟
一化(二次項系數(shù)化為正)，二判(看判別式Δ)，三解(解對應的一元二次方程)，四寫(根據(jù)“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式解集).
(2)可化為＜0(或＞0)型的分式不等式，轉化為一元二次不等式求解.
(3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式可利用函數(shù)單調(diào)性求解.
5.用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值，若函數(shù)f(x)＝min{x＋3，－x2＋3x＋6}，則不等式f(x－1)<2的解集為( )
A.{x|x<－1} B.{x|x>4}
C.{x|x<－1或x>4} D.{x|x<0或x>5}
答案 D
解析 畫出y＝x＋3與y＝－x2＋3x＋6的圖象如圖所示，
由圖易得f(x)＝
故f(x)的圖象如圖中的粗線部分所示，由f(x)<2，作出直線y＝2，數(shù)形結合得x<－1或x>4，
則由不等式f(x－1)<2，可得x－1<－1或x－1>4，得x<0或x>5，故選D.
6.已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)4x>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.(－∞，6]
答案 C
解析 令2x＝t (00?a－a2>－，故只要求解h(t)＝－ (0－，所以4a2－4a－3<0，
解得實數(shù)a的取值范圍為，
故選C.
7.關于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由條件知，x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝，故選A.
8.已知函數(shù)f(x)＝若對任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為____________.
答案 ∪[1，＋∞)
解析 由題意知，m2－m≥f(x)max.
當x＞1時，f(x)＝是減函數(shù)，∴f(x)＜f(1)＝0；
當x≤1時，f(x)＝－x2＋x，其圖象的對稱軸方程是x＝，且開口向下，
∴f(x)max＝－＋＝.
∴f(x)在R上的最大值為f＝.
∴m2－m≥，
即4m2－3m－1≥0，
∴m≤－或m≥1.
考點三 基本不等式
要點重組 基本不等式：≥，a>0，b>0
(1)利用基本不等式求最值的條件：一正二定三相等.
(2)求最值時若連續(xù)利用兩次基本不等式，必須保證兩次等號成立的條件一致.
9.(2018大慶模擬)設a，b∈R，a2＋2b2＝6，則a＋b的最小值為( )
A.－2 B.－
C.－3 D.－
答案 A
解析 因為由基本不等式a2＋2b2≥2ab，
所以2(a2＋2b2)≥a2＋2b2＋2ab＝(a＋b)2.
又因為a2＋2b2＝6，
則有26≥(a＋b)2，
即－2≤a＋b≤2.
10.若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由x2＋6xy－1＝0，可得x2＋6xy＝1，
即x(x＋6y)＝1.
因為x，y都是正數(shù)，
所以x＋6y＞0.
故2x＋(x＋6y)≥2＝2，
即3x＋6y≥2，
故x＋2y≥(當且僅當2x＝x＋6y，即x＝6y>0時等號成立).故選A.
11.如圖，在Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點，且滿足＝，點M，N在過點P的直線上，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為( )
A.2 B.
C.3 D.
答案 B
解析?。剑剑剑?－)＝＋＝＋，
因為M，N，P三點共線，
所以＋＝1.
因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)
＝＋＋≥＋2＝，
當且僅當λ＝，μ＝時“＝”成立，
故選B.
12.(2017天津)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________.
答案 4
解析 ∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
當且僅當
即且a，b同號時取得等號.
故的最小值為4.
考點四 簡單的線性規(guī)劃問題
方法技巧 (1)求目標函數(shù)最值的一般步驟：一畫二移三求.
(2)常見的目標函數(shù)
①截距型：z＝ax＋by；
②距離型：z＝(x－a)2＋(y－b)2；
③斜率型：z＝.
13.(2018天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為( )
A.6 B.19
C.21 D.45
答案 C
解析 畫出可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋.
設直線l0為y＝－x，平移直線l0，當直線y＝－x＋過點P(2,3)時，z取得最大值，zmax＝32＋53＝21.
故選C.
14.(2018安徽省“皖南八?！甭?lián)考)設x，y滿足約束條件則z＝|x＋3y|的最大值為( )
A.15B.13C.3D.2
答案 A
解析 畫出約束條件所表示的可行域，如圖(陰影部分含邊界)所示，
設z1＝x＋3y，可化為y＝－x＋，
當直線y＝－x＋經(jīng)過點A時，
直線在y軸上的截距最大，
此時z1取得最大值，
當直線y＝－x＋經(jīng)過點B時，
直線在y軸上的截距最小，
此時z1取得最小值，
由解得A(3,4)，
此時最大值為z1＝3＋34＝15；
由解得B(2,0)，
此時最小值為z1＝2＋30＝2，
所以目標函數(shù)z＝|x＋3y|的最大值為15.
15.(2016山東)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是( )
A.4B.9C.10D.12
答案 C
解析 滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)，
x2＋y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x＝3，y＝－1時，x2＋y2取最大值，最大值為10.故選C.
16.(2018永州模擬)設實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的最大值是________.
答案 1
解析 滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.
z＝表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(0,0)連線的斜率，
由圖可知，最大值為kOA＝＝1.
1.若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n＜0對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 當n為奇數(shù)時，要滿足2n(1－a)＜3n－1恒成立，
即1－a＜n恒成立，
只需1－a＜1，
解得a＞；
當n為偶數(shù)時，要滿足2n(a－1)＜3n－1恒成立，
即a－1＜n恒成立，
只需a－1＜2，解得a＜.
綜上，＜a＜，故選D.
2.已知實數(shù)x，y滿足不等式組則(x－3)2＋(y＋2)2的最小值為________.
答案 13
解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(3，－2)兩點間距離的平方，通過數(shù)形結合可知，當(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(1,1)時，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，為13.
3.設實數(shù)x，y滿足條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為____________.
答案 4
解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，當直線z＝ax＋by(a＞0，b＞0)過直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點(4,6)時，目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即2a＋3b＝6，則＋＝＋＝2＋＋≥4，當且僅當＝，即時取等號.
解題秘籍 (1)不等式恒成立或有解問題能分離參數(shù)的，可先分離參數(shù)，然后通過求最值解決.
(2)利用基本不等式求最值時要靈活運用兩個公式：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號；
②a＋b≥2 (a>0，b>0)，當且僅當a＝b時取等號.注意公式的變形使用和等號成立的條件.
(3)理解線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)的實際意義.
1.若x＞y＞0，m＞n，則下列不等式正確的是( )
A.xm＞ym B.x－m≥y－n
C.＞ D.x＞
答案 D
2.已知a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，則( )
A.(a－1)(b－1)＜0 B.(a－1)(a－b)＞0
C.(b－1)(b－a)＜0 D.(b－1)(b－a)＞0
答案 D
解析 取a＝2，b＝4，則(a－1)(b－1)＝3＞0，排除A；則(a－1)(a－b)＝－2＜0，排除B；(b－1)(b－a)＝6＞0，排除C，故選D.
3.設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(－3,1)∪(3，＋∞) B.(－3,1)∪(2，＋∞)
C.(－1,1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1,3)
答案 A
解析 f(1)＝3.由題意得或
解得－33.
4.下列函數(shù)中，y的最小值為4的是( )
A.y＝x＋
B.y＝log3x＋4logx3
C.y＝sinx＋(0＜x＜π)
D.y＝ex＋4e－x
答案 D
5.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為( )
A.米 B.2米
C.(1＋)米 D.(2＋)米
答案 D
解析 由題意設BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，依題意知AB＝AC－0.5＝t－0.5(米)，在ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos60，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化簡并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，又x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，此時t取最小值2＋，故選D.
6.已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為( )
A.5B.29C.37D.49
答案 C
解析 如圖，由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內(nèi)部及邊界.
∵圓C與x軸相切，∴b＝1.
顯然當圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點(6,1)處時，|a|max＝6.
∴a2＋b2的最大值為62＋12＝37.故選C.
7.實數(shù)x，y滿足且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，則a的值是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 在平面直角坐標系中作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，
當目標函數(shù)z＝2x＋y經(jīng)過可行域中的點B(1,1)時有最大值3，當目標函數(shù)z＝2x＋y經(jīng)過可行域中的點A(a，a)時有最小值3a，由3＝43a，得a＝.
8.若對任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(－∞，1] B.[1，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
答案 B
解析 不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)對任意的x，y∈R恒成立等價于不等式x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0對任意的x，y∈R恒成立，所以Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a＝－3(y－1)2＋12(1－a)≤0對任意的y∈R恒成立，所以1－a≤0，即a≥1，故選B.
9.設函數(shù)f(x)＝，則不等式f()＞－f的解集是________.
答案
解析 函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)且在(－1,1)上單調(diào)遞增，f(－x)＝－f(x)，所以f()＞－f?f()＞f?－＜＜1，解得x∈.
10.(2018天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________.
答案
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝22－3＝，當且僅當即時取到等號，則最小值為.
11.若變量x，y滿足條件則(x－2)2＋y2的最小值為________.
答案 5
解析 如圖所示，作出不等式組所表示的可行域(陰影部分).
設z＝(x－2)2＋y2，則z的幾何意義為可行域內(nèi)的點到定點D(2,0)的距離的平方，
由圖象可知，C，D兩點間的距離最小，此時z最小，
由可得即C(0,1).
所以zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.
12.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為S，則當不等式≥a恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是______________.
答案 (－∞，6]
解析 畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，
如圖所示(陰影部分含邊界)，則S＝m|AB|＝m2，
所以＝＝
＝m＋1＋＝m－1＋＋2
≥2＋2＝6(當且僅當m＝3時等號成立)，
則由題意知實數(shù)a的取值范圍是a≤6.
（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 第3練 不等式與線性規(guī)劃精準提分練習 文.docx
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