新編高三文科數(shù)學(xué)通用版二輪復(fù)習(xí):第1部分 專題4 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含解析

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1、 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 提煉1 異面直線的性質(zhì) (1)異面直線不具有傳遞性.注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線. (2)異面直線所成角的范圍是,所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直. (3)求異面直線所成角的一般步驟為:①找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法;②求——轉(zhuǎn)化為在三角形中求解;③結(jié)論——由②所求得的角或其補(bǔ)角即為所求. 提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì) (1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等. (2)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行. (3)如果兩

2、個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行. (4)兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面. 提煉3 證明線面位置關(guān)系的方法 (1)證明線線平行的方法:①三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì);②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理;④線面垂直的性質(zhì)定理. (2)證明線面平行的方法:①尋找線線平行,利用線面平行的判定定理;②尋找面面平行,利用面面平行的性質(zhì). (3)證明線面垂直的方法:①線面垂直的定義,需要說(shuō)明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直;②線面垂直的判定定理;③面面垂直的性質(zhì)定理. (4)證明面面垂直的方法:①定義法,即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角

3、;②面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線. 回訪1 異面直線的性質(zhì) 1.(20xx·全國(guó)乙卷)平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(  ) A.         B. C. D. A 設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面C

4、B1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直線B1D1與CD1所成角為60°,其正弦值為.] 2.(20xx·廣東高考)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是(  ) A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,l2都相交 C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交 D 由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l

5、相交.] 回訪2 面面平行的性質(zhì)與線面位置關(guān)系的判斷 3.(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則(  ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l D 根據(jù)所給的已知條件作圖,如圖所示. 由圖可知α與β相交,且交線平行于l,故選D.] 4.(20xx·全國(guó)甲卷)α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m?α,那么m∥β. ④

6、如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)) ②③④ 對(duì)于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故錯(cuò)誤. 對(duì)于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確. 對(duì)于③,因?yàn)棣痢桅?,所以α,β沒(méi)有公共點(diǎn).又m?α,所以m,β沒(méi)有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m∥β,故正確. 對(duì)于④,因?yàn)閙∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因?yàn)棣痢桅拢詎與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.] 熱點(diǎn)題型1 空間位置關(guān)系

7、的判斷與證明 題型分析:空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式,此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查,同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.  (1)(20xx·蘭州三模)α,β是兩平面,AB,CD是兩條線段,已知α∩β=EF,AB⊥α于點(diǎn)B,CD⊥α于點(diǎn)D,若增加一個(gè)條件,就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件: ①AC⊥β;②AC與α,β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF. 其中能成為增加條件的序號(hào)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952040】 ①③ 若AC⊥β,且EF?β,則AC⊥EF,又AB⊥α,且EF?α,

8、則AB⊥EF,AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線,則EF⊥平面ACDB,則EF⊥BD,①可以成為增加的條件;AC與α,β所成的角相等,AC和EF不一定垂直,可以相交、平行,所以EF與平面ACDB不一定垂直,所以推不出EF與BD垂直,②不能成為增加的條件;由CD⊥α,EF?α,得EF⊥CD,所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直,又AC與CD在β內(nèi)的射影在同一直線上,所以EF⊥AC,CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線,則EF⊥平面ACDB,則EF⊥BD,③可以成為增加的條件;若AC∥EF,則AC∥α,則BD∥AC,所以BD∥EF,④不能成為增加的條件,故能成為增加條件的序號(hào)是①③.] (2

9、)(20xx·全國(guó)乙卷)如圖11-1,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. 圖11-1 ①證明:G是AB的中點(diǎn); ②在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積. 解題指導(dǎo)] (2)①正投影D,E→AB⊥PD,AB⊥DE→AB⊥平面PED→AB⊥PG ②PA⊥PB PB⊥PC→過(guò)點(diǎn)E作EF∥PB 交PA于點(diǎn)F→證明EF⊥平面PAC→點(diǎn)D在CG上→PE=PG,DE=PC→DE=2,PE=2→EF=PF=2→求四面體的體積 解] 

10、①證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D, 所以AB⊥PD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE.1分 因?yàn)镻D∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.2分 又由已知可得,PA=PB,所以G是AB的中點(diǎn).3分 ②在平面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分 理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥P C.又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.由①知,G是AB的中

11、點(diǎn),所以D在CG上,故CD=CG.8分 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.10分 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,11分 所以四面體PDEF的體積V=××2×2×2=.12分 在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),我們可以從線、面的概念、定理出發(fā),學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型.判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn),我們可以依據(jù)定義來(lái)判定,也可以依據(jù)定理(過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線)判定.而反證法是證明

12、兩直線異面的有效方法. 提醒:判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi),而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行.此類問(wèn)題可以結(jié)合長(zhǎng)方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例. 變式訓(xùn)練1] (1)(20xx·石家莊二模)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題: ①若m?α,n∥α,則m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ;③若α∩β=n,m∥n,則m∥α,m∥β;④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(  ) A.0   B.1 C.2   D.3 B 若m?α,n∥α,則m,n可能平行或異面,①錯(cuò)誤;若α∥β,β∥γ,則α∥γ,又m

13、⊥α,則m⊥γ,②正確;若α∩β=n,m∥n,則m∥α或m∥β或m?α或m?β,③錯(cuò)誤;若α⊥γ,β⊥γ,則α,β可能平行或相交,④錯(cuò)誤,則真命題個(gè)數(shù)為1,故選B.] (2)(20xx·全國(guó)丙卷)如圖11-2,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn). 圖11-2 ①證明MN∥平面PAB; ②求四面體N-BCM的體積. 解] ①證明:由已知得 AM=AD=2. 如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC, TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN綊A

14、M,2分 所以四邊形AMNT為平行四邊形, 于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN∥平面PAB.4分 ②因?yàn)镻A⊥平面ABCD,N為PC的中點(diǎn), 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE. 由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.6分 由AM∥BC得M到BC的距離為, 故S△BCM=×4×=2.8分 所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=×S△BCM×=.12分 熱點(diǎn)題型2 平面圖形的翻折問(wèn)題 題型分析:(1)解決翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況. (2)找出其中變化的量和沒(méi)

15、有變化的量,一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.  (20xx·全國(guó)甲卷)如圖11-3,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. 圖11-3 (1)證明:AC⊥HD′; (2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱錐D′-ABCFE的體積. 解] (1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.1分 又由AE=CF得=,故AC∥EF.2分 由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.3分 (2)由EF∥AC得==.4分 由

16、AB=5,AC=6得DO=BO==4. 所以O(shè)H=1,D′H=DH=3.5分 于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2, 故OD′⊥OH.6分 由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.8分 又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由=得EF=.10分 五邊形ABCFE的面積S=×6×8-××3=.11分 所以五棱錐D′-ABCFE的體積V=××2=.12分 翻折問(wèn)題的注意事項(xiàng) 1.畫(huà)好兩圖:翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖. 2.把握關(guān)系:即比較翻折前后的圖形

17、,準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系,哪些平行與垂直的關(guān)系不變,哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化,這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ). 3.準(zhǔn)確定量:即根據(jù)平面圖形翻折的要求,把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征,這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ). 變式訓(xùn)練2] (20xx·海淀二模)已知長(zhǎng)方形ABCD中,AD=,AB=2,E為AB的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起到△PDE,得到四棱錐P-BCDE,如圖11-4所示. 圖11-4 (1)若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),求證:BM∥平面PDE; (2)當(dāng)平面PDE⊥平面BCDE時(shí),求四棱錐P-BCDE的體積; (3)求證:D

18、E⊥PC. 解] (1)證明:取DP中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)M. 因?yàn)樵凇鱌DC中,點(diǎn)F,M分別是所在邊的中點(diǎn), 所以FM綊DC.1分 又EB綊DC,所以FM綊EB,2分 所以四邊形FEBM是平行四邊形,所以BM∥EF.3分 又EF?平面PDE,BM?平面PDE. 所以BM∥平面PDE.4分 (2)因?yàn)槠矫鍼DE⊥平面BCDE, 在△PDE中,作PO⊥DE于點(diǎn)O, 因?yàn)槠矫鍼DE∩平面BCDE=DE,所以PO⊥平面BCDE.6分 在△PDE中,計(jì)算可得PO=,7分 所以V四棱錐P-BCDE=Sh=×(1+2)××=.8分 (3)證明:在矩形ABCD中,連接AC交DE于點(diǎn)I, 因?yàn)閠an∠DEA=, tan∠CAB=, 所以∠DEA+∠CAB=,所以DE⊥AC,9分 所以在四棱錐P-BCDE中,PI⊥DE,CI⊥DE,10分 又PI∩CI=I,所以DE⊥平面PIC.11分 因?yàn)镻C?平面PIC,所以DE⊥PC.12分

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