2018-2019學年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程章末綜合檢測 蘇教版選修1 -1.doc

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第二章 圓錐曲線與方程 (時間：120分鐘；滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在題中橫線上) 1．橢圓＋＝1的焦距為6，則k的值為________． 解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29. 答案：11或29 2．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝________. 解析：由題意知，m<0，雙曲線mx2＋y2＝1化為標準形式y(tǒng)2－＝1，故a2＝1，b2＝－，所以a＝1，b＝，則由2＝22，解得m＝－. 答案：－ 3．在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為________． 解析：不妨設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則有，即 ①②得e＝. 答案： 4．與x2－4y2＝1有相同的漸近線，且過M(4，)的雙曲線方程為________． 解析：設方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，將M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 5．已知雙曲線3x2－y2＝9，則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于________． 解析：即求離心率，雙曲線化為標準方程－＝1， 可知a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2. 答案：2 6．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為________． 解析：橢圓＋＝1的右焦點為(2,0)，而拋物線y2＝2px的焦點為(，0)，則＝2，故p＝4. 答案：4 7．設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若＝－4，則點A的坐標是________． 解析：由題意得F(1,0)，設A(，y0)，則＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由＝－4，解得y0＝2，此時點A的橫坐標為＝1，故點A的坐標是(1，2)． 答案：(1，2) 8．設P是橢圓＋＝1上的任意一點，又點Q的坐標為(0，－4)，則PQ的最大值為________． 解析：設P的坐標(x，y)，則PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－)＋(y＋4)2＝－(y－)2＋(－4≤y≤4)， 當y＝4時，PQ2最大， 此時PQ最大，且PQ的最大值為 ＝8. 答案：8 9．以雙曲線－＝1的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是________． 解析：由題意知圓心坐標應為(5,0)．又因為點(5,0)到漸近線y＝x的距離為4， 所以圓的方程為x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0 10．橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為，則這個橢圓方程為________． 解析：由題意知，解得， 橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 11．已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內的動點，滿足||||＋＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為________． 解析：設P(x，y)，M(－2,0)，N(2,0)，則＝(4,0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)； 由||||＋＝0， 得4＋4(x－2)＝0， 化簡整理得y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 12．設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若＝2且＝1，則點P的軌跡方程是________． 解析：設P(x，y)，則Q(－x，y)，又設A(a,0)，B(0，b)，則a>0，b>0. 于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0. 又＝(－a，b)＝(－x,3y)， 由＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 13．拋物線y2＝x上存在兩點關于直線y＝m(x－3)對稱，則m的取值范圍是____________． 解析：法一：設兩對稱點的坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2) 且AB所在直線的方程可設為：y＝－x＋b， 代入y2＝x，得y2＋my－mb＝0， ∴y1＋y2＝－m， 且Δ＝m2＋4mb＞0.① 設A、B的中點為(x0，y0)，則y0＝＝－， 又A、B的中點在直線y＝m(x－3)上，所以x0＝， 又(x0，y0)在直線y＝－x＋b上． ∴b＝y(tǒng)0＋x0＝－＋， 代入①并整理得：m2＜10， ∴－＜m＜， ∴m的取值范圍是(－，)． 法二：設兩對稱點的坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中點為(x0，y0)，依題意，則有： ①－②得：(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2， 將③④代入上式得：y0＝－，⑧ 將⑧代入⑥得：x0＝，⑨ 將⑧⑨代入⑦得2＜， ∴m2＜10，∴－＜m＜. ∴m的范圍是(－，)． 答案：(－，) 14．已知F1，F2為雙曲線－＝1(a>0，b>0且a≠b)的兩個焦點，P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，O為坐標原點．下面四個命題： ①△PF1F2的內切圓的圓心必在直線x＝a上； ②△PF1F2的內切圓的圓心必在直線x＝b上； ③△PF1F2的內切圓的圓心必在直線OP上； ④△PF1F2的內切圓必通過點(a,0)． 其中真命題有________(寫出所有真命題的代號)． 解析：設△PF1F2的內切圓分別與PF1，PF2切于點A、B，與F1F2切于點M，則PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又點P在雙曲線右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，設M點坐標為(x,0)，則由F1M－F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，故①④正確． 答案：①④ 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)如圖，一個拋物線形拱橋，當水面離拱頂4 m 時，水面寬8 m. (1)試建立坐標系，求拋物線的標準方程； (2)若水面上升1 m，求水面寬度． 解：(1)如圖，以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系， 設拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)． 由已知條件可知，點B的坐標是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p(－4)，即p＝2. 所以，所求拋物線標準方程是x2＝－4y. (2)若水面上升1 m，則y＝－3，代入x2＝－4y， 得x2＝－4(－3)＝12，x＝2，所以這時水面寬為4 m. 16．(本小題滿分14分)已知雙曲線過點(3，－2)，且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點． (1)求雙曲線的標準方程； (2)求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程． 解：(1)把橢圓方程化為標準形式為＋＝1，焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)． 故設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，則，解得， 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. (2)由(1)知雙曲線的右準線方程為x＝，即為拋物線的準線方程．故設拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，則有＝，故p＝. 所以拋物線的標準方程為y2＝－x. 17．(本小題滿分14分)已知雙曲線－＝1與點M(5,3)，F為右焦點，試在雙曲線上求一點P，使PM＋PF最小，并求出這個最小值． 解：雙曲線的右焦點F(6,0)，離心率e＝2，右準線為l：x＝.作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，則PF＝ePN＝2PN?PN＝PF.此時PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝為最小值． 在－＝1中，令y＝3，x2＝12?x＝2； 又∵x>0，∴取x＝2. 即當所求P點的坐標為(2，3)時，PM＋PF取最小值. 18．(本小題滿分16分)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點N(－，1)在橢圓上，線段NF2與y軸的交點M滿足＋＝0. (1)求橢圓C的方程； (2)設P為橢圓C上一點，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積． 解：(1)由已知，點N(－，1)在橢圓上， ∴有＋＝1，① 又∵＋＝0，M在y軸上，∴M為NF2的中點， ∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，② 由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設PF1＝m，PF2＝n， 則S△F1PF2＝mnsin＝ mn. 由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.① 又由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.② 由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝. 19．(本小題滿分16分)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標； (3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K(m,0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系． 解：(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－， 于是4＋＝5，∴p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x. (2)∵點A的坐標是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)， 又∵F(1,0)，∴kFA＝；MN⊥FA，∴kMN＝－， 則FA的方程為y＝(x－1)， MN的方程為y－2＝－x. 解方程組，得， ∴點N的坐標為(，)． (3)由題意得，圓M的圓心是點(0,2)，半徑為2. 當m＝4時，直線AK的方程為x＝4，此時，直線AK與圓M相離， 當m≠4時，直線AK的方程為y＝(x－m)， 即為4x－(4－m)y－4m＝0， 圓心M(0,2)到直線AK的距離d＝， 令d>2，解得m>1. ∴當m>1時，直線AK與圓M相離； 當m＝1時，直線AK與圓M相切； 當m<1時，直線AK與圓M相交． 20. (本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0. (1)設動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡； (2)設x1＝2，x2＝，求點T的坐標； (3)設t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)． 解：由題設得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)． (1)如圖，設點P(x，y)，則PF2＝(x－2)2＋y2， PB2＝(x－3)2＋y2. 由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4， 化簡得x＝. 故所求點P的軌跡為直線x＝. (2)如圖，由x1＝2，＋＝1及y1＞0，得y1＝，則點M，從而直線AM的方程為y＝x＋1； 由x2＝，＋＝1及y2＜0，得y2＝－， 則點N， 從而直線BN的方程為y＝x－. 由解得 所以點T的坐標為. (3)證明：如圖，由題設知，直線AT的方程為y＝(x＋3)，直線BT的方程為y＝(x－3)． 點M(x1，y1)滿足得 ＝－. 因為x1≠－3，則 ＝－，解得x1＝， 從而得y1＝. 點N(x2，y2)滿足 解得x2＝，y2＝. 若x1＝x2，則由＝及m＞0，得m＝2，此時直線MN的方程為x＝1，過點D(1,0)． 若x1≠x2，則m≠2，直線MD的斜率 kMD＝＝， 直線ND的斜率kND＝＝， 得kMD＝kND，所以直線MN過定點D. 因此直線MN必過x軸上的定點(1,0)．