2018-2019年九年級數學下冊 第27章 相似單元測試卷（含解析）（新版）新人教版.doc

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《第27章 相似》單元測試卷 一．選擇題（共10小題） 1．已知2x＝3y，則下列比例式成立的是（　?。? A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2．已知線段a、b、c、d滿足ab＝cd，把它改寫成比例式，錯誤的是（　?。? A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．d：a＝b：c D．a：c＝d：b 3．已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則下列等式中成立的是（　?。? A．AB2＝AC?CB B．CB2＝AC?AB C．AC2＝BC?AB D．AC2＝2BC?AB 4．AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：ED＝1：3，BE的延長線交AC于F，AF：FC＝（　?。? A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 5．通過一個3倍的放大鏡看一個△ABC，下面說法正確的是（　　） A．△ABC放大后，∠A是原來的3倍 B．△ABC放大后周長是原來的3倍 C．△ABC放大后，面積是原來的3倍 D．以上都不對 6．如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB＝a，寬BC＝b．將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：b＝（　?。? A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2 7．如圖所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30，則∠ACA′的度數為（　?。? A．20 B．30 C．35 D．40 8．如圖，已知在△ABC中，P為AB上一點，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　?。? A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 9．如圖，點F是?ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線于點E，則下列結論錯誤的是（　?。? A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 10．如圖，身高1.6m的某學生想測量一棵大樹的高度，她沿著樹影BA由B向A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC＝3.2m，CA＝0.8m，則樹的高度為（　?。? A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m 二．填空題（共5小題） 11．已知3x＝5y，則＝　 　． 12．在比例尺為1：2000的地圖上，測得A、B兩地間的圖上距離為4.5厘米，則其實際距離為　 　米． 13．點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），AB＝2，則AC＝　 　．（用根號表示） 14．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，則的值為　 ?。? 15．若一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，則此三角形的周長擴大為原來的　 　倍． 三．解答題（共5小題） 16．已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x． 17．如圖，A、B兩地隔著湖水，從C地測得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）畫出如圖的圖形．量出AB的長（精確到1毫米），再換算出A、B間的實際距離． 18．定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2＝BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點． 如圖2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36，BD平分∠ABC交AC于點D． （1）求證：點D是線段AC的黃金分割點； （2）求出線段AD的長． 19．如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的長； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的長． 20．如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”．在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等． （1）設菱形相鄰兩個內角的度數分別為m和n，將菱形的“接近度”定義為|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一個內角為70，則該菱形的“接近度”等于　 ??； ②當菱形的“接近度”等于　 　時，菱形是正方形． （2）設矩形相鄰兩條邊長分別是a和b（a≤b），將矩形的“接近度”定義為|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 你認為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個合理定義．  2019年人教版九下數學《第27章 相似》單元測試卷 參考答案與試題解析 一．選擇題（共10小題） 1．【分析】把各個選項依據比例的基本性質，兩內項之積等于兩外項之積，已知的比例式可以轉化為等積式2x＝3y，即可判斷． 【解答】解：A、變成等積式是：xy＝6，故錯誤； B、變成等積式是：3x＝2y，故錯誤； C、變成等積式是：2x＝3y，故正確； D、變成等積式是：3x＝2y，故錯誤． 故選：C． 【點評】本題主要考查了判斷兩個比例式是否能夠互化的方法，即轉化為等積式，判斷是否相同即可． 2．【分析】根據比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積．對選項一一分析，選出正確答案． 【解答】解：A、a：d＝c：b?ab＝cd，故正確； B、a：b＝c：d?ad＝bc，故錯誤； C、d：a＝b：c?dc＝ab，故正確； D、a：c＝d：b?ab＝cd，故正確． 故選：B． 【點評】掌握比例的基本性質，根據比例的基本性質實現比例式和等積式的互相轉換． 3．【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比． 【解答】解：根據線段黃金分割的定義得：AC2＝BC?AB． 故選：C． 【點評】本題主要考查了黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵，難度適中． 4．【分析】作DH∥BF交AC于H，根據三角形中位線定理得到FH＝HC，根據平行線分線段成比例定理得到＝＝，計算得到答案． 【解答】解：作DH∥BF交AC于H， ∵AD是△ABC的中線， ∴FH＝HC， ∵DH∥BF， ∴＝＝， ∴AF：FC＝1：6， 故選：D． 【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵． 5．【分析】根據相似三角形的性質，相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方來判斷． 【解答】解：用一個能放大3倍的放大鏡看△ABC，則看到的三角形與△ABC相似，相似比是3：1， A、兩個相似三角形的對應角相等，故A錯； B、周長的比等于相似比，即△ABC放大后，周長是原來的3倍，故B正確； C、面積的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面積是原來的9倍，故C錯； D、A選項錯誤，故D錯． 故選：B． 【點評】本題考查對相似三角形性質的理解．（1）相似三角形周長的比等于相似比．（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．（3）相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比． 6．【分析】根據折疊性質得到AF＝AB＝a，再根據相似多邊形的性質得到＝，即＝，然后利用比例的性質計算即可． 【解答】解：∵矩形紙片對折，折痕為EF， ∴AF＝AB＝a， ∵矩形AFED與矩形ABCD相似， ∴＝，即＝， ∴（）2＝2， ∴＝． 故選：B． 【點評】本題考查了相似多邊形的性質：相似多邊形對應邊的比叫做相似比．相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等． 7．【分析】根據相似三角形性質求出∠ACB＝∠A′CB′，都減去∠A′CB即可． 【解答】解：∵△ACB∽△A′CB′， ∴∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB， ∴∠ACA′＝∠BCB′， ∵∠BCB′＝30， ∴∠ACA′＝30， 故選：B． 【點評】本題考查了相似三角形性質的應用，注意：相似三角形的對應角相等． 8．【分析】A、加一公共角，根據兩角對應相等的兩個三角形相似可以得結論； B、加一公共角，根據兩角對應相等的兩個三角形相似可以得結論； C、其夾角不相等，所以不能判定相似； D、其夾角是公共角，根據兩邊的比相等，且夾角相等，兩三角形相似． 【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC， 所以此選項的條件可以判定△ACP∽△ABC； B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB， ∴△ACP∽△ABC， 所以此選項的條件可以判定△ACP∽△ABC； C、∵， 當∠ACP＝∠B時，△ACP∽△ABC， 所以此選項的條件不能判定△ACP∽△ABC； D、∵， 又∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， 所以此選項的條件可以判定△ACP∽△ABC， 本題選擇不能判定△ACP∽△ABC的條件， 故選：C． 【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是關鍵． 9．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC， ∴＝，故A正確，選項不符合題意； ∴＝正確，B選項不符合題意； ＝，正確，故C不符合題意； ∴＝，錯誤，D符合題意． 故選：D． 【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，找準對應關系，避免錯選其他答案． 10．【分析】可由平行線分線段成比例求解線段的長度． 【解答】解：由題意可得，＝， 即樹高＝＝8m， 故選：C． 【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握平行線分線段成比例的性質是解題的關鍵． 二．填空題（共5小題） 11．【分析】根據兩外項的積等于兩內項的積，可得答案． 【解答】解：∵3x＝5y， ∴＝， 故答案為：． 【點評】本題考查了比例的性質，利用了比例的性質：外項的積等于內項的積． 12．【分析】根據比例尺＝圖上距離：實際距離，依題意列出比例式，即可求得實際距離． 【解答】解：設A，B兩地的實際距離為xcm，則： 1：2000＝4.5：x， 解得x＝9000． 9000cm＝90m． 故答案為：90． 【點評】本題考查了比例尺的定義．要求能夠根據比例尺由圖上距離正確計算實際距離，注意單位的換算． 13．【分析】用AC表示出BC，然后根據黃金分割點的定義列方程求解即可． 【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2， ∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC， ∵點C是線段AB的黃金分割點， ∴AC2＝AB?BC， ∴AC2＝2（2﹣AC）， 整理得，AC2+2AC﹣4＝0， 解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）． 故答案為：﹣1+． 【點評】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割點的定義并列出關于AC的方程是解題的關鍵． 14．【分析】根據平行線分線段成比例定理推出＝，代入求出即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝1，BD＝2， ∴AB＝3， ∴＝， 故答案為：． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：一組平行線被兩條直線所截的對應線段成比例中的對應．題目較好，但是一道比較容易出錯的題目． 15．【分析】由題意一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，根據相似三角形的性質及對應邊長成比例來求解． 【解答】解：∵一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍， ∴擴大后的三角形與原三角形相似， ∵相似三角形的周長的比等于相似比， ∴這個三角形的周長擴大為原來的5倍， 故答案為：5． 【點評】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的周長的比等于相似比． 三．解答題（共5小題） 16．【分析】（1）設比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可； （2）根據比例中項的定義列式求解即可． 【解答】解：（1）設＝＝＝k， 則a＝3k，b＝2k，c＝6k， 所以，3k+22k+6k＝26， 解得k＝2， 所以，a＝32＝6， b＝22＝4， c＝62＝12； （2）∵線段x是線段a、b的比例中項， ∴x2＝ab＝64＝24， ∴線段x＝2． 【點評】本題考查了比例的性質，比例線段，利用“設k法”用k表示出a、b、c可以使計算更加簡便． 17．【分析】根據比例尺的定義，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，轉化為CA＝5cm，CB＝6cm，結合題意畫圖，再測量AB的長，最后換算出A、B間的實際距離． 【解答】解：如圖，測得AB長約10.5cm，換算成實際距離約為10.51000＝10500cm＝105m． 即A、B間的實際距離是105m． 【點評】本題考查了比例問題以及兩點之間的距離是連接兩點的線段的長度． 18．【分析】（1）判斷△ABC∽△BDC，根據對應邊成比例可得出答案． （2）根據黃金比值即可求出AD的長度． 【解答】解：（1）∵∠A＝36，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝72， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝36，∠BDC＝72， ∴AD＝BD，BC＝BD， ∴△ABC∽△BDC， ∴＝，即＝， ∴AD2＝AC?CD． ∴點D是線段AC的黃金分割點． （2）∵點D是線段AC的黃金分割點， ∴AD＝AC， ∵AC＝2， ∴AD＝﹣1． 【點評】本題考查了黃金分割的知識，解答本題的關鍵是仔細審題，理解黃金分割的定義，注意掌握黃金比值． 19．【分析】（1）根據三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的長． （2）過點D作DG∥AC，交BE于點H，交CF于點G，運用比例關系求出HE及HB的長，然后即可得出BE的長． 【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵AB＝6，BC＝8，DF＝21， ∴， ∴DE＝9． （2）過點D作DG∥AC，交BE于點H，交CF于點G， 則CG＝BH＝AD＝9， ∴GF＝14﹣9＝5， ∵HE∥GF， ∴， ∵DE：DF＝2：5，GF＝5， ∴， ∴HE＝2， ∴BE＝9+2＝11． 【點評】本題考查平行線分線段成比例的知識，綜合性較強，關鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例． 20．【分析】（1）根據相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，相似圖形的“接近度”相等．所以若菱形的一個內角為70，則該菱形的“接近度”等于|m﹣n|；當菱形的“接近度”等于0時，菱形是正方形； （2）不合理，舉例進行說明． 【解答】解：（1）①∵內角為70， ∴與它相鄰內角的度數為110． ∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40． ②當菱形的“接近度”等于0時，菱形是正方形． （2）不合理． 例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|卻不相等． 合理定義方法不唯一． 如定義為， 越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形與正方形的形狀差異越大； 當時，矩形就變成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形． 【點評】正確理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．這是解決問題的關鍵．