六年級奧數(shù)培訓(xùn)教材[共54頁]

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1、六年級拔尖數(shù)學(xué) 目 錄 第1講 定義新運算 第2講 簡單的二元一次不定方程 第3講 分數(shù)乘除法計算 第4講 分數(shù)四則混合運算 第5講 估算 第6講 分數(shù)乘除法的計算技巧 第7講 簡單的分數(shù)應(yīng)用題（1） 第8講 較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題（2） 第9講 階段復(fù)習與測試（略） 第10講 簡單的工程問題 第11講 圓和扇形 第12講 簡單的百分數(shù)應(yīng)用題 第13講 分數(shù)應(yīng)用題復(fù)習 第14講 綜合復(fù)習（略） 第15講 測試（略） 第16講 復(fù)雜的利潤問題（2） 第一講 定義新運算 在加.減.乘.除四則運算之外，還有

2、其它許多種法則的運算。在這一講里，我們學(xué)習的新運算就是用“ #”“*”“Δ”等多種符號按照一定的關(guān)系“臨時”規(guī)定的一種運算法則進行的運算。 例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？ 例2：如果A#B表示 照這樣的規(guī)定，6#（8#5）的結(jié)果是多少？ 例3：規(guī)定 求2Δ10Δ10的值。 例4：設(shè)M*N表示M的3倍減去N的2倍，即M*N=3M-2N （1） 計算（14 *10）*6 （2） 計算 （*） *（1 *） 例5：如果任何數(shù)A和B有A¤B=A×

3、B-（A+B） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假設(shè)2¤X=1求X 例6：設(shè)P∞Q=5P+4Q，當X∞9=91時，1/5∞（X∞ 1/4）的值是多少？ 例7：規(guī)定X*Y=，且5*6=6*5則（3*2）*（1*10）的值是多少？ 例8：▽表示一種運算符號，它的意義是 已知 那么20088▽2009=？ 鞏固練習 1、已知

4、2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此規(guī)則類推 （1） 3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X的值 2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7 計算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4） 3、如果A*B=3A+2B，那么 （1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4） 4、如果A>B，那么｛A

5、，B｝=A；如果A

6、賽試題） 7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意義是通常情況，而式子中的“5”卻相當于“4”。 下面四個算式（1）8×7=8 （2）7×7×7=6 （3）（7+8+3）×9=39 （4）3×3=3 那么應(yīng)該是我們通常的哪四個算式？ 8、如果2*4=2×3×4×5 5*3=5×6×7，請按此規(guī)定計算 （1）（3*4）-（5*3） （2）（4*4）÷（3*3） 9、規(guī)定（25）=2+5=7 （123）=1

7、+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2 則計算（1）（56489） （2）（92045）+（90÷5）÷（12） 10、規(guī)定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6； 243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；試求下面各題的值 （1） F（128）= ( ) （2） F（16）= G（ ） （3） F（ ）+ G( 27 )=6 11、如果1=1！ 1×2=2！ 1×2×3=3！ ……

8、 試計算（1）5！ （2）X！=5040，求X 12、有一種運算符號“＆”使下列算式成立 2＆3=7 5＆3=13 4＆5=13 9＆7=25 求995 ＆ 9=？ 13、A*B= 在X*（5*1）=6中，X的值是多少？ 14、對于任意的整數(shù)X、Y定義新運算“￥”X￥Y=（其中M是一個固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？ 第二講 二元一次不定方程 一、學(xué)習目標：掌握用奇偶性、最值和尾數(shù)特點來解答不定

9、方程。 二、基礎(chǔ)知識：我們知道，一般的一個方程只能解答一個未知數(shù)，而有的題目卻必須設(shè)兩個未知數(shù)，且列不出兩個方程，類似這樣的方程我們稱之為二元一次不定方程。 在我們研究不定方程的解時，常常會附有其他一些限制條件，有的條件是明顯的，也有隱蔽的，但它們對解題至關(guān)重要，這就需要我們在解題過程中酌情進行討論。 三、例題解析： （一）基本方法 例1、小明要買一只4元9角的鋼筆，他手上有貳角和伍角的硬幣各10枚，請問他可以怎樣付錢？ 分析：本題可以用多種方法解答，這里用不定方程來解。 設(shè)小明付了X枚貳角和Y枚伍角 列方程，得2X+5Y=49 方法一 1、利用奇偶性。49是奇數(shù)，2X是偶

10、數(shù)，那么5Y必定是奇數(shù)。這樣，Y只能取1，3，5，7，9這五個數(shù)。 2、利用最值：所付錢中貳角和伍角的都有，而X至多為10，那么5Y不小于49—2×19=29，這樣，可得Y大于6。 方法二 觀察系數(shù)的特點，利用尾數(shù)（個位數(shù)）解答。 由例1可以看出，對于二元一次不定方程，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，再求解。 不定方程常常利用奇偶性，最值和尾數(shù)來幫助解決 例2、大汽車能容納54人，小汽車能容納36人，現(xiàn)有378人要乘車，問要大、小汽車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿。為了便于管理，要求車輛數(shù)最少，應(yīng)該選擇哪個方案？ 分析：解答不定方程

11、時，能夠把方程化簡就盡量化簡。注意加了限制條件以后，答案的變化。 試一試：一個同學(xué)把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起來的和是170，你知道他出生于幾月幾日？ 例3、現(xiàn)有鐵礦石73噸，計劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次運走，且每輛車都要裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺車運費65元，載重量5噸的卡車每臺車運費50元，問需用兩種卡車各多少臺運費最?。? 分析：根據(jù)條件用不定方程可以求出卡車的臺數(shù)，但是要注意問題求運費最省。 例4 、一個同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己1991年的年齡正好等于他出生那一年的年份的各位數(shù)字之和，請問這個學(xué)生1991年時

12、多少歲？ 分析與解：設(shè)他出生于19XY年，那么 1991—19XY=1+9+X+Y 1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y 91—10X—Y=10+X+Y （二）能力拓展 例5、一輛勻速行駛的汽車，起初看路標上的數(shù)字是一個兩位數(shù)xy,過了一小時路標上的數(shù)字變?yōu)閥x，又行駛了一小時路標上的數(shù)字是一個三位數(shù)x0y,求每次看到的數(shù)字和汽車的速度。 分析：路標上的數(shù)字是累計數(shù)。由于汽車是勻速行駛，因此汽車在單位時間里行駛的路程是相等的，根據(jù)這個關(guān)系可以列出方程。 試一試：一個兩位數(shù)，如果把數(shù)字1放在它前面可得一個三位數(shù)，放在它后面也可得一個三位數(shù)。已知這兩個三

13、位數(shù)之差為414，求原來的兩位數(shù)。 例6、如下圖，一個長方體的長、寬、高的長度都是質(zhì)數(shù)，且長＞寬＞高，將這個長方體橫切兩刀，豎切兩刀，得到9個長方體，這9個長方體表面積之和比原來長方體表面積之和多624平方厘米，求原來長方體的體積。 分析與解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，分析可得，橫切兩刀，增加了4ab的面積，豎切兩刀增加了4ac的面積，所以可列方程：4ab+4ac=624。 三個未知數(shù)的不定方程一般采用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答。 練習 一、基本題 1、求方程6x+9y=87的自然數(shù)解。 2、求方程2x+5y=24的自然數(shù)解

14、 3、大客車有48個座位，小客車有30個座位?，F(xiàn)在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位來，需要大、小客車各幾輛？ 4、裝餅干的盒子有大、小兩種，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，媽媽用了89元，問大小盒子各買了多少個？ 5、一個兩位數(shù)，交換個位和十位上的數(shù)字，就得到一個新的兩位數(shù)，已知新兩位數(shù)比原兩位數(shù)多54，求原來的兩位數(shù)。 6、一個兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的6倍比原數(shù)大3，求這個兩位數(shù)。 7、一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于10，問兩種盒子各有

15、多少個？ 二、綜合題 8、在一個兩位質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)字之間，添上數(shù)字6以后，所得的三位數(shù)比原數(shù)大870，那么原數(shù)是多少？ 9、會場里有兩座和四座的兩種長椅若干把?，F(xiàn)有一個班的學(xué)生（不足70人）來開會。一部分學(xué)生一人坐一把兩座的長椅，其余的同學(xué)每三人坐一把四座的長椅。結(jié)果平均每個學(xué)生坐1.35個座位。求有多少個學(xué)生？ 思考題 10、有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？ 第三講 分數(shù)乘除法計算 分數(shù)乘除法的計算方法用字

16、母表示為： （a，c都不等于0）； （a，c都不等于0）。 一、課前準備： 1、 計算下列各題： （1）÷10÷ （2）＋÷ （3）÷× （3）÷9÷ （4）÷× （6）÷（+） 2、在□或〇里填上合適的數(shù)字或符號，并說明使用了什么運算定律？ （1） 25××= ×( × ) （2） ××=( × )× （3） ×(15×)= ×( × ) （4） 25×4= × + × （5） 7×= × 〇

17、 × （6） 1×25= × 〇 × （7） 54×(- )= × 〇 × 二、例題講解 例1：計算：⑴； ⑵。 【分析】認真觀察這兩道題的數(shù)學(xué)特點：第(1)題中的與1只相差，如果把寫成的差與37相乘，再運用乘法分配律就能簡化運算了。同樣，第（2）題中的27可以寫成（26+1）。 練習：“挑戰(zhàn)自己！”比一比，看一看，誰的方法最巧妙？ 26× 32× 例2：計算： 分析仔細觀察因數(shù)的特點可知，可轉(zhuǎn)化為，這樣就

18、可以利用乘法的分配律進行簡算了。 練習：計算： 例3：計算： 【分析】把幾個分數(shù)的和作為一個整體去處理，往往會使計算簡便得多。在本題中，把與的和作為一個數(shù)來參與運算，使計算中只含有乘除法。再利用乘法的交換律、結(jié)合律就可以很快算出結(jié)果。 例4：計算：⑴；⑵。 【分析】同學(xué)們都會計算帶分數(shù)除法。不過，看了這兩題，你一定感到把帶分數(shù)化成假分數(shù)太繁了。如果我們動一下腦筋，就會發(fā)現(xiàn)：可以把題(1)中的分成一個41的倍數(shù)與另一個較小的數(shù)相加，再利用除法性質(zhì)就可以使運算簡便。把題（2)中的化為假分數(shù)時，把分子用兩個數(shù)相乘的形式表示，便于約分和計算。 例5：

19、計算： 例6：計算： 一、基本練習 1、下面各題，怎樣簡便就怎樣算。 　　　 　　　 　 　　　　 2. “考考你”下面各題怎么算簡便就怎么算？ ×101- ×÷× × 99 + 3×25 36× ( - )× ( + )× ×+ ×- 4. 分數(shù)四則混合計算： （1）（—）×1000 （2）×[（—）÷]

20、 （3）×—÷ （4）（0.19×+0.19×）÷0.05 二．能力提高 （4） （5） 第四講 分數(shù)四則混合運算 一、課前準備： ÷9 （＋）× ÷＋× （＋－）×24 二、例題講解 例1：計算： 練習：

21、 例2：計算：（598.1×37＋5981×6.26）÷1＋190× 例3、 例4；計算； 練習： 1. 下面各題怎樣算簡便就怎樣算。 （＋－）×27 （＋）÷ ×4 ÷5 ×＋×＋ 2. 用簡便方法計算。 1÷13×100－－91× 1.1×4＋40.9÷5－4.09× 3、計算下面各題

22、。 第五講 估 算 取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，還有去尾法和收尾法（進一法）。其方法一般是計算出準確值再按要求取近似值。還有兩種：（1）省略尾數(shù)取近似值，即觀其“大概”； （2）用放大或縮小的方法來確定某個數(shù)

23、或整個算式的取值范圍，即估計范圍。這就是估計與估算，估計與估算，是一種十分重要的算法，在生活實踐和數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。 一、去尾法和收尾法（進一法） 例1、某飛機所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時，飛去時速度為900千米/時，飛回時速度為850千米/時。問：該飛機最遠飛出多少千米就應(yīng)返回？（精確到1千米） 解：設(shè)該飛機最遠能飛出x小時，依題意有 此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到x≈1749，當飛機真的飛出1749千米再返回時，恐怕在快著陸的瞬間就要機毀人亡了。 例2、某人執(zhí)行爆破任務(wù)時，點燃導(dǎo)火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒

24、。已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/秒。問：導(dǎo)火線的長度至少多長才能確保安全？（精確到0.1米） 此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米，執(zhí)行任務(wù)的人還沒跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太危險了。 二、放縮法與省略尾數(shù)法 例3、有三十個數(shù)：1.64，1.64+，1.64+，……1.64+1.64+，如果取每個數(shù)的整數(shù)部分（例如：1.64的整數(shù)部分是1，1.64+的整數(shù)部分是2），并將這些整數(shù)相加，那么其和是多少？ 分析：關(guān)鍵是判斷從哪個數(shù)開始整數(shù)部分是2 例4、 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小

25、數(shù)點后前3位數(shù)字。 分析：本題可以采用取近似值的辦法求解，還可采用放縮法估計范圍解答的。 方法一：放縮法：A＞1234÷3122=0.3952… A＜1235÷3121＝0.3957… 所以0.3952＜A＜0.3957 方法二：省略尾數(shù)法：近似值：將被除數(shù)、除數(shù)同時舍去13位，各保留4位，則有 1234÷3121≈ 例5、老師在黑板上寫了十三個自然數(shù)，讓小明計算平均數(shù)（保留兩位小數(shù)），小明計算出的答數(shù)是12.43。老師說最后一位數(shù)字錯了，其它的數(shù)字都對。正確的答案應(yīng)是什么？ 分析：小明的答案僅僅是最后一位數(shù)字錯了，那么正確答案應(yīng)該在12.40與12.50之間。原來

26、13個數(shù)的總和最小應(yīng)該是12.40×13=161.2，最大應(yīng)該是12.50×13=162.5之間，從而可求出這 13個自然數(shù)的總和，從而知道正確答案 例6、 已知：S=，求S的整數(shù)部分。 分析與解：如果我們能知道分母部分最小不小于幾、最大不大于幾，就能知道它的值在某個范圍內(nèi)。當這個范圍很小時，就容易判斷出s的整數(shù)部分了。 設(shè)A= 說明：本題如果直接計算，不但非常麻煩，而且容易出錯。上面的“分析”中，我們采用了“放大——縮小”的方法，就是先把s的倒數(shù)（分母部分）的每一個加數(shù)都看成最大的一個（放大），再都看成最小的一個（縮?。?。 練一練：求的整數(shù)部分。

27、 練習 一、基本題 1、（1+）+（1+×2）+（1+×3）+……（1+×10）+（1+×11）的結(jié)果是x，那么，與x最接近的整數(shù)是多少？ 2、求算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小數(shù)點后前二位數(shù)字是多少？ 3、為了修水電站，需要在極短的時間內(nèi)向河道中投入300米3石料，以截斷河流。如果每臺大型運輸車一次可運石料17.5米3，那么為保障一次截流成功，至少需多少臺運輸車？ 4、用5米長的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求這塊布料可以做幾件上衣？ 5、小華在計算一道求

28、七個自然數(shù)平均數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）的題目時，將得數(shù)最后一位算錯了。他的錯誤答案是21.83，正確答案應(yīng)是多少？ 6、求下式中S的整數(shù)部分： 二、綜合題 7、 計算： （提示：注意385= 5×7×11，可以先用乘法分配律化簡，再估算。） 三、思考題：8、在1，，，……，，中選出若干個數(shù)，使得它們的和大于3，至少要選幾個數(shù)？ 第六講 分數(shù)運算的技巧 對于分數(shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四則運算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。下面我們著重介紹五種常用

29、的簡算技巧。 （一）一般分數(shù)乘除法的計算： （二）分數(shù)的簡便計算 1.湊整法 與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分數(shù)運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十數(shù)……從而使運算得到簡化。 例3、計算： 2.約分法： 例4、計算： 分析：仔細觀察可知，分子的每一項（每一個加數(shù)）都可以分解出1×2×3，分母的每一項都可以分解出1×3×5。把它們作為公因數(shù)提出來后，括號內(nèi)的和是相等的。 例5、計算：

30、 分析：仔細觀察分子、分母中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分毋中的被減數(shù)362×548可以變形為：（361＋1)×548=361×548＋548，同時發(fā)現(xiàn)548－186=362。這樣就可以把分母轉(zhuǎn)化成與分子完全相同的式子，簡化運算。 例6、計算： 例7、計算： 2、 分組法 例8、計算： 分析：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分數(shù)相加。 4、代數(shù)法 例9、 練習： ×2005

31、 第七講 簡單的分數(shù)應(yīng)用題（一） 一、基礎(chǔ)知識： 1、分數(shù)應(yīng)用題的一般關(guān)系式是： 表示單位“1”的量（標準量）×分率=分率的對應(yīng)量。 2、解題思路： ①一道分數(shù)應(yīng)用題中，先根據(jù)分率所在的哪個條件，找出并判斷“1”。 分率是“誰的”幾分之幾，誰就是單位“1”（分率是一個不帶單位的、不具體的分數(shù)，反映的是兩個數(shù)之間的一種倍數(shù)關(guān)系。） 單位“1”的量的判斷：根據(jù)分率來判斷把哪個數(shù)量平均分成多少份，哪個數(shù)量就是單

32、位“1”。 ②表示單位“1”的量是已知的，則該題用“×”。 表示單位“1”的量是未知的，則該題用“÷”或方程。 ③解題的關(guān)鍵是：尋找“與數(shù)量對應(yīng)的分率”，“與分率對應(yīng)的數(shù)量”。 二、例題解析： （一）基本方法 例1、指出下面每組中單位“1”和對應(yīng)分率。 ①一只雞的重量是鴨的。把( )平均分為3份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的2份，2/3對應(yīng)的數(shù)量是（ ）。 ②甲的相當于乙。把( )平均分為5份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的3份，3/5對應(yīng)的數(shù)量是（ ）。 ③現(xiàn)價是原價的。把( )

33、平均分為40份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的3份，3/40對應(yīng)的數(shù)量是（ ）?，F(xiàn)價比原價少的部分對應(yīng)的分率是（ ）。 ④小紅的書比小明少。把( )平均分為8份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的7份，7/8對應(yīng)的數(shù)量是（ ）。小明的書對應(yīng)的分率是（ ）。 例2、根據(jù)已知條件用“——”線標出單位“1”的量，再寫出數(shù)量關(guān)系式。 （1）白兔只數(shù)的是黑兔的只數(shù)。 （2）已經(jīng)修了公路全長的。 （3）二班植樹棵數(shù)相當于一班的。 （4）今年棉花產(chǎn)量比去年增加。

34、 （4）第三季度冰箱價格比第二季度便宜。 （6）還剩這堆煤的。 例3、小王買了一個本子和一支鋼筆。本子的價格是1 元，鋼筆的價格比本子的價格多，鋼筆的價格是多少元？ 例4、一條褲子比一件上衣便宜25元。一條褲子是一件上衣價格的2/3，一件上衣多少元？ 例5、商店運來一批水果，運來蘋果20筐，梨的筐數(shù)是蘋果的3/4，梨的筐數(shù)同時又是桔子的3/5。運來桔子多少筐？ 例6、學(xué)校買來54本新書，其中科技書占 1/6，文藝書占1/3，文藝書比科技書多多少本？ （二）能力拓展 例7、小強看一本故事書，每

35、天看16頁,看了5天后，還剩全書的3/5沒有看，這本故事書有多少頁？ 分析：把全書看作單位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5與沒有看的頁數(shù)相對應(yīng)，看了的已知量16×5與1—3/5相對應(yīng)。 例8、客車由甲城開往乙城要10小時,貨車由乙城開往甲城要15小時, 兩車同時從兩城相向開出,多少小時兩車相遇？如果相遇時客車走了600千米,甲乙兩城之間的公路長多少千米? 分析：本題的關(guān)鍵是要求相遇時間，我們知道相遇時間=相遇距離÷速度和，而本題要求的就是相遇距離，怎么辦？可以假設(shè)全程為單位“1”。 練一練：一項工作,由甲單獨做需要10天；由乙單獨做

36、需要12天.如果兩人合做,幾天才能完成? 練習： 一、基本題 1、指出下面每組中單位“1”和對應(yīng)分率。 ①白兔是黑兔的。把( )平均分為6份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的5份，對應(yīng)的數(shù)量是（ ）。 ②一種毛衣現(xiàn)價是原價的4/7。把( )平均分為7份,把（ ）看作單位“1”,( )相當于這樣的4份,4/7對應(yīng)的數(shù)量是（ ）?，F(xiàn)價比原價少的部分對應(yīng)的分率是（ ）。 ③九月份的產(chǎn)量比八月份增加了 。 單位“1”：（ ）。九月份的產(chǎn)量對應(yīng)分率（ ）。

37、 2、根據(jù)已知條件用“——”線標出單位“1”的量，再寫出數(shù)量關(guān)系式。 （1）媽媽年齡的是女兒的年齡。 （2）已經(jīng)用這根繩子的。 （3）男生人數(shù)占總數(shù)的。 （4）今年車禍比去年減少。 （4）現(xiàn)價比原價增加。 （6）沒有看的占這本書的。 3、六年級有男生100人，女生有80人。 （1）男生人數(shù)是女生的幾分之幾？ （2）女生是男生的幾分之幾？ （3）女生是全年級學(xué)生的幾分之幾？ （4）男生人數(shù)比女生多幾分之幾？ 3、某生產(chǎn)隊挖一條長300米的水渠，第一天

38、挖了全長的1/4，挖了多少米？還剩多少米？ 4、某車間五月份生產(chǎn)零件3000個，六月份比五月份多生產(chǎn)了，六月份生產(chǎn)了多少個零件？ 分析：把（ ）看作單位“1”，是（ ）知的?？捎茫? ）方法計算。對應(yīng)的數(shù)量是（ ），六月份生產(chǎn)的對應(yīng)分率是（ ）。 解答： 5、某小學(xué)有學(xué)生若干人，其中女生占3/8，還已知該校男生有240人，這所小學(xué)共有多少人？ 分析：把（ ）看作單位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法計算。男生的對應(yīng)分率是（ ）。 解答：

39、 6、小亮在銀行存了240元，小華存的錢是小亮的5/6，小華存的錢是小新的2/3，小新存了多少元？ 7、某糧店共有大米2800千克，第一天賣了4/7，糧店還有大米多少千克？ 8、商店有紅氣球和黃氣球，共有48只，其中黃氣球的只數(shù)是紅氣球的3/5 。紅氣球和黃氣球各多少只? 9、一只大雁由北方飛往南方要6天, 一只野鴨由南方飛往北方要8天,如果大雁和野鴨同時從兩個方向同時出發(fā),多少天他們可以相遇? 二、綜合題： 10、王琳看一本連環(huán)畫共80頁，第一天看了全書的1/5，第二天看了全書的1/4。還剩多少頁沒有看？ 11、

40、本站有一批貨物，上午運走了總數(shù)的2/5，下午運走了總數(shù)的3/8 ，還剩下2700噸沒有運，這批貨物一共有多少噸？ 12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，這時袋里的大米恰好是22千克。這袋大米原來有多少千克？ 13、小剛讀一本書，先讀了全書的，又讀了全書的，已讀的比沒讀的多70頁，這本書共有多少頁？ 14、根據(jù)算式寫出問題。（說明：35%=7/20） 還剩下全長的1/3沒有修完，————————？ （1）2400×1/4 ？ （2）2400×35%

41、 ？ （3）2400×（1/4+35%） ？ （4）2400×1/3 ？ （5）2400×（35% - 1/4） ？ （6）2400×（1/3 - 1/4） ？ （7）2400×（1/4+35% - 1/3）

42、 ？ 第八講 較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題（二） 本講繼續(xù)學(xué)習較復(fù)雜的應(yīng)用題——兩個單位“1”的情況和量與率的對應(yīng)關(guān)系。較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題常常需要畫出線段圖或用方程的方法解答。 例1、一根140厘米長的繩子，第一次用去它的4/7 ，第二次又用了余下的3/5 ，兩次共用去多少厘米？ 分析：本題有2個分率，相對應(yīng)的有2個單位“1”。 例2、小紅看一本書，第一天看了全書的4/7 ，第二天又看了剩下的 3/5，還剩下42頁沒有看，這本書共有多少頁？ 練一練：某生產(chǎn)隊挖一條長300米的水渠，第一天挖了全長的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第

43、三天挖了多少米？ 例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，這時瓶內(nèi)還有1/5千克，問這瓶油原來有多少千克？ 分析：根據(jù)條件“第二次吃了余下的3/4”，我們先確定“1”；再利用線段圖來找出：“與量對應(yīng)的率”或“與率對應(yīng)的量”。 例4、某校男生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/9少25人，女生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/7 多15人。求全校學(xué)生總?cè)藬?shù)。 分析：利用線段圖來找出：“與量對應(yīng)的率”或“與率對應(yīng)的量”。而單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。 例5、 有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再

44、倒出瓶里酒精的3/4，這時瓶里還剩下90克酒精。求原來瓶里有酒精多少克？ 分析：本題2個分率，相對應(yīng)的有2個單位“1”。利用線段圖來找出：“與量對應(yīng)的率”或“與率對應(yīng)的量”。單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。 試一試：東盛化肥廠生產(chǎn)一批化肥，分三次運出，第一次運出的比總數(shù)的3/5還多300噸，第二次運出的是第一次的1/3，第三次運出的450噸，求這批化肥有多少噸？ 例6、某工廠二月份比元月份增產(chǎn)1/10，三月份比二月份減產(chǎn)1/10．問三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？ 分析：本題沒有告訴我們具體的數(shù)量，要求的也是不具體的分率，所以我們可

45、以假設(shè)老三年齡為“1”,或者假設(shè)一個具體的數(shù)量、字母。 練一練：有兄弟三個，老大比老二年齡大2/5，老二比老三年齡大2/5，老大的年齡是老三的幾分之幾？ 練習： 1、某水泥廠第二個月生產(chǎn)水泥2400噸，比第一個月多生產(chǎn)1/4，第一個月生產(chǎn)水泥多少噸？第三個月生產(chǎn)的水泥，比第一個月少生產(chǎn)1/5，那么第三個月生產(chǎn)水泥多少噸？ 2、小紅看一本240頁的書，第一天看了全書的1/4 ，第二天又看了剩下的1/3，還剩下多少頁沒有看？ 3、某糧店，第一天賣了全部大米的4/7，第二天又賣了余下的3/5，這時還剩下420千克米沒有賣。這個糧店

46、共有大米多少千克？ 4、某車間一月份生產(chǎn)了1000個零件，以后每個月都增產(chǎn)1/10，三月份生產(chǎn)了多少個零件？ 5、某工廠去年制造一種零件，成本逐漸下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，問第三季度的成本是第一季度的幾分之幾？ 6、某班學(xué)生中，男生人數(shù)比全班人數(shù)的5/9 少5人，女生人數(shù)比全班人數(shù)的3/7多11人，求全班人數(shù)。 7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前兩次的和，這時桶里還剩8千克油．問這桶油有多少千克？ 二、綜合題 8、兩隊合修一條水渠，甲隊完成的比全

47、長的1/2還多7.2千米，乙隊完成的相當于甲隊的1/3。這條水渠有多長？ 9、小王做零件，已經(jīng)做了240個，比計劃還少20%，為了超額25%，小王還應(yīng)再做多少個？ 10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，這時袋里的大米恰好是24千克。這袋大米原來有多少千克？ 11、向陽村用拖拉機耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公頃，問這個村共有多少公頃土地？ 12、一種商品，先提價，再降價，現(xiàn)價相當于原價的幾分之幾？ 第九講 階段復(fù)

48、習與考試 第十講 簡單的工程問題（一） 準備題：修建一條長1200米的公路，甲隊需要30天，乙隊需要40天，如果兩隊合修需要多少天？ 在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是：工作效率×工作時間=工作總量（由此還可以變化為工作時間=工作總量÷工作效率，工作效率=工作總量÷工作時間），在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”。 工程問題中的本質(zhì)關(guān)系為：工作效率×工作時間=工作總量。分數(shù)工程問題的特點，常常不給出具體的工作總量，我們把全部工程看作

49、單位“1”，這樣，工作效率=1/工作時間，然后再根據(jù)工總、工效和工時這三個量的關(guān)系解題。 一、基本方法 例1、加工一批零件，甲單獨做6小時完成，乙單獨做9小時完成。 （1）甲、乙合做，每小時完成這批零件的幾分之幾？ （2）合做3小時完成這批零件的幾分之幾？ （3）合做3小時后完成剩下零件兩人合作還需要多少小時？ （4）如果合做2小時后，剩下的由甲單獨做還需要多少小時做完？ 練一練：現(xiàn)在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，還需要做幾天可以完成全部工作？ 例2、兩列火車同時從甲

50、、乙兩地相向而行，貨車從甲地開往乙地需要10小時，客車從乙地開往甲地需要8小時，現(xiàn)貨車先行2小時后，客車才出發(fā)，求客車出發(fā)后多少小時兩車相遇？ 分析；沒有告訴我們甲、乙兩地的路程，我們把甲、乙兩地路程看做單位“1”，速度用1/時間來表示。求相遇時間，相遇時間=相隔路程÷速度和。 例3、一個水池有兩個進水管，一個出水管。單開甲管12小時可把空池注滿，單開乙管20小時可把空池注滿，單開丙管15小時可把滿池水放空，三管同開，多少小時把空池注滿水？ 分析：注意本題是兩個進水管，一個出水管，進水管來灌水，出水管來放水。 例4、水池上裝有甲、乙兩個大小不同的水龍頭，

51、單開甲龍頭60分鐘可注滿水池，現(xiàn)在兩個水龍頭同時注水，20分鐘可注滿水池的1/2，如果單開乙龍頭需要多長時間注滿水池？ 分析：根據(jù)條件可以求出甲、乙兩水龍頭的工效和，再根據(jù)甲龍頭的工效，就可以求出乙龍頭的工效了。進而求出乙龍頭的工作時間。 二、能力拓展 例5、一項工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙單獨做了2天完成了全部工程的1/30 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果這項工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？ 例6、一項工程，甲隊獨做需要45天完成，乙隊獨做需要60天完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊合作，中途乙隊因

52、事調(diào)走，這樣完成全部工程共用了30 天，求乙隊工作了幾天？ 分析：這項工程，我們可以看成甲隊做了一部分，乙隊也做了一部分。 例7、某項工程，甲、乙兩隊合做，30天可以完成。今兩隊合做12天后，剩下的由甲隊獨做，經(jīng)過24天才完成。問：乙隊獨做全部工程需幾天完成？ 分析：根據(jù)條件可以求出兩隊工效和。 例8、加工一批零件，甲獨做20天完成，乙獨做每天完成這件零件的1/30，現(xiàn)在兩人合作完成這批零件，甲中途休息了2.5天，乙也休息了幾天，這樣用了15天才全部完成，求乙休息了幾天？ 分析：乙休息的天數(shù)可能2.5天多或少或同樣多。解題方法多樣：按前面例題

53、的思路，可用方程的方法，或假設(shè)方法。 練習： 一、基本題： 1、修一棟樓房，甲公司單獨做5個月完成，乙公司單獨做6個月完成。 （1）合做2個月完成這棟樓房的幾分之幾？ （2）如果合做2個月后，剩下的由甲公司做還需要多少個月做完？ 2、一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成?，F(xiàn)在兩隊合作，多少天可以完成？ 3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？ 4、做一批零件，甲單獨做12天完成，乙單獨做16天完成，現(xiàn)在兩人合作

54、4天后，余下的由乙獨做多少天可以完成？ 5、一個水池上裝有一根進水管和一根出水管，單開一根進水管30分鐘可以將水池注滿，單開一根出水管45分鐘可以將一池水放完。現(xiàn)在水池有1/2的水，兩管齊開，多少分鐘水池可以把水池灌滿？ 6、一只大雁從甲地飛向乙地需要10天，一只野鴨從乙地飛向甲地需要12天，現(xiàn)野鴨先飛了3天后，大雁才出發(fā)，求大雁出發(fā)后多少天大雁和野鴨相遇？ 7、一項工程，甲隊單獨做5天完成；乙隊單獨做6天完成，甲、乙兩隊合做2天后，甲隊因事調(diào)走，余下的部分由乙隊單獨做完，還需要多少天完成？ 二、綜合題 8、做一批零件，

55、甲、乙兩人合做12天完成，現(xiàn)在甲、乙合做4天后，余下的乙獨做20天可以完成。如果甲單獨完成這批零件要用多少天？ 9、有一項工程，甲隊獨做40天可完成，乙隊獨做60天可完成，現(xiàn)在已知兩隊合做這項工程，但中間甲隊因另有任務(wù)調(diào)走幾天，所以經(jīng)過27天才完成全部工作，甲隊離開了幾天？ 10、一件工程，甲5小時先完成了1/4，乙接著用9小時又完成了剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少小時才能完成？ 11、一項工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。

56、最后甲、乙、丙合做余下的工程，還要幾天可以完成？ 第十一講：圓和扇形（一） （一）基本知識 1、圓：圓周長公式：C=πd或C=2πr。 圓面積公式：。 圓環(huán)面積： 圖一 圖二 圖三 2、扇形。如上圖二，連接兩條半徑OA、OB，就可得到一個扇形OAB，扇形面積公式是：S=。扇形的圓弧長=所在圓周長的。其中r是指扇形的在圓的面積，n指的是圓心角的度數(shù)。 例1、圖二中n=60°，半徑為6厘米，

57、扇形面積是多少？弧AB是多少？ 3、弓形。如上圖三， S弓AC= S扇AOC—S△AOC 例2、圖三中，直角三角形AOC的直角邊OA= 6厘米，求弓形AC的面積。 （二）基本運用 例3、街心花園中圓形花壇的周長是18.84米。花壇的面積是多少平方米？ 例4、計算下圖陰影部分的面積．(單位：厘米) 例5、在一塊長4.5米，寬2米的長方形鐵板上截下2個最大的圓形后，剩下的鐵板面積是多少平方米？ 例6、從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米？剩下的面積是多少

58、？ 例7、從一個直徑為10厘米的圓中，剪去一個最大的正方形，正方形面積是多少？ 例8、求下圖中陰影部分的面積和周長。 練 習 一、基本題 1、一個圓形花壇的周長是25.12米。花壇的面積是多少平方米？ 2、已知一個圓的面積是28.26平方厘米，求這個圓的周長。 3、下圖涂色部分是個環(huán)形，它的內(nèi)圓半徑是10厘米，外圓半徑是15厘米，它的面積是多少？ 4、從一塊邊長8厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，陰影部分面積是多少？ 5、下圖圓的半徑為6厘米，圓心角為45度，扇形AOC的面積是多少？弧AC是多少？

59、 6、下圖是一個直角邊長為20厘米的等腰直角三角形。求弓形面積。 7、求陰影部分的面積：(單位：分米) （π=3） 8、右圖中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB為直徑畫成一個圓，圓心為O，CO垂直于AB，求弓形AC的面積。 9、求下圖中陰影部分面積和周長 （1）等腰梯形的腰是0.8。（單位：厘米） （2）三角形ABC是等邊三角形，底BC= 6厘米，扇形圓心角為120度。 思考題： 10、在下圖中左右兩個正方形一樣大小，且圖（2）中四個小圓一樣大．試問是圖（1）中的大圓面積大，還是圖

60、（2）中四個小圓的面積之和大？請說明理由。 第十二講 簡單的百分數(shù)應(yīng)用題（一） 百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。百分數(shù)也叫做百分率或百分比。百分數(shù)在生活中大量地運用。如出生率、利息、利潤等。 一般地，我們可以把百分數(shù)應(yīng)用題看作分數(shù)應(yīng)用題來解答。 一、一般百分數(shù)應(yīng)用題 例1、東風化肥廠去年計劃生產(chǎn)化肥60萬噸，實際生產(chǎn)了72萬噸。實際產(chǎn)量比計劃超過百分之幾？ 例2、商店賣一種袖珍收音機, 現(xiàn)在按八折出售，每臺是14.4元,這種收音機原價每臺多少元? 例3、有甲、乙兩個倉庫，甲倉庫存糧的2/3正好是乙倉庫

61、存糧的60%，已知乙倉庫存糧1500噸，甲倉庫存糧多少噸？ 例4、工程隊挖一條水渠，每天挖1.4千米，10天挖了全長的70%，還剩多少千米沒有挖？ 例5、學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年秋季學(xué)校共種多少棵樹？ 分析：成活率是指成活的棵數(shù)占全部棵數(shù)的百分之幾。根據(jù)去年春季成活率85％，可以求出成活棵數(shù)和死了的棵數(shù)。進而求出死了的棵數(shù)，再根據(jù)去年秋季植樹的成活率90％，求出去年秋季種的樹。 例6、紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25

62、％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？ 分析：沒有告訴我們具體的數(shù)量，而且求的也是一個不具體的數(shù)量百分比，這樣，我們可以采用設(shè)參數(shù)的方法。 二、特殊的百分數(shù)應(yīng)用題——利潤問題 在這類問題中，特別的在于，它涉及兩個量的相乘，一是商品的單價，另一個是銷售量。我們要同時把握這兩個量的變化：總價=單價×數(shù)量 利潤：一般地，商店購進貨物的錢叫成本（或購入價）。賣出去的錢叫售價（或賣出價）。售價與成本的差叫利潤。利潤與成本的比叫利潤率。 售價=成本+利潤=成本+成本×利潤率=成本×（1+利潤率） 利潤=售價—成本 例7、某商店進貨的批發(fā)價為50元一袋，規(guī)定零售價為70元一

63、袋，求商品的利潤率是多少？ 例8、商店從某供貨商以每臺1200元，購進了50臺空調(diào)。該商店以20%的利潤率來定價，空調(diào)的定價是多少？如果全部按這個價賣出，商店共獲利多少元？ 例9、商場以400元的成本購進一見商品，該商店準備以50%的利潤率來定價，但因為價高，沒有人購買，只好打75折優(yōu)惠，問現(xiàn)在這件商品賣多少元？ 練習 1、曙光面粉廠 ①5000千克小麥可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少？ ②面粉的出粉率是80％，4000千克小麥可以出面粉多少千克？ ③面粉的出粉率是80％，加工3200千克面粉需要多少千克小麥？

64、 2、把20克鹽溶解在80克水中，鹽占鹽水的百分之幾？ 3、一家大型超級市場,一月份的營業(yè)額是5000萬元,如果按營業(yè)額的5%繳納營業(yè)稅后,還剩余多少萬元？ 4、甲數(shù)比乙數(shù)多20%，乙數(shù)比甲數(shù)少百分之幾？ 5、某化肥廠第一季度生產(chǎn)化肥2400噸，完成了全年任務(wù)的 25%，他們準備在第二季度完成全年任務(wù)的 30%，那么第二季度應(yīng)生產(chǎn)化肥多少噸？ 6、運送一批樹苗，已運了總數(shù)的62.5％，未運的比已運的少420棵，這批樹苗總數(shù)多少棵？ 7、某商場以每套64元的價格，購進童裝100套，全部銷售完后，共得10000元，求商

65、場銷售這些童裝的利潤率。 8、中國書店收購一本舊書, 原價12元．收購時按八折作價, 然后又按比收購價多5%的價錢售出．書店售出這本書的價錢是多少元? 9、在某校學(xué)生中，男生人數(shù)占全校人數(shù)的60％，女生人數(shù)占全校的40％，那么，男生人數(shù)比女生多百分之幾？ 10、采煤隊三月份上半月完成月計劃的60％，下半月完成月計劃的65％，這個月實際采煤2.5萬噸，這個月超過月計劃多少萬噸？ 11、一家服裝店出售兩種春裝，一種是新式樣，每件賣240元，可賺20%，另一種樣式過時，是處理品賠本20%，每件售價也是240元，問：兩種春裝各出售一件，是賠還

66、是賺？賠（或賺）多少？ 12、某校綠化校園植了水杉，柏樹、梧桐三種樹，其中種植水杉的棵數(shù)為總數(shù)的40%，柏樹的棵數(shù)是水杉的7/8，其余的是梧桐樹。已知水杉比梧桐多144棵，水杉是多少棵？ 第十三講 分數(shù)應(yīng)用題復(fù)習 例1：數(shù)量和分率直接對應(yīng) 一輛汽車4小時行了全程的2/5，照這樣的速度，再行幾小時到達？ 練習：六（1）班，男生比女生少8人，女生比男生多1/3，全班多少人？ 例2：已知量的——對應(yīng)分率 1、一條公路第一天修了全長的1/4，第二天修了全長的2/5，兩天共修了1.3千米，這條公路全長多少米？ 2、一輛汽車行了全程的3/5，這時已超過中點15千米，已行了多少千米？ 3、服裝店分兩次加工一批服裝，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做90件。這批服裝共多少件? 4、汽車從A城開往B城，第一小時行全程的1/4，第二小時行全程的1/3，超過中點15千米，A、B兩城相距多少千米? 5、電視機廠9月份生產(chǎn)一批電視機，上旬生產(chǎn)了全部的3/10，中旬生產(chǎn)的是上旬的2