江蘇省無錫地區(qū)中考數(shù)學選擇填空壓軸題 專題5 三角形綜合問題.doc

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專題05 三角形綜合問題 例1．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，，點E是折線ADC上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關(guān)于BE的對稱點．在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 同類題型1.1 如圖，在鈍角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于點M，取BC中點D，AC中點N，連接DN、DE、DF．下列結(jié)論：①EM＝DN；②S四邊形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 同類題型1.2 如圖，D，E分別是△ABC的邊BC，AC上的點，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，則（　?。? A．當∠B為定值時，∠CDE為定值 B．當∠1為定值時，∠CDE為定值 C．當∠2為定值時，∠CDE為定值 D．當∠3為定值時，∠CDE為定值 同類題型1.3 如圖，在△ABC中，，∠BAC＝120，點D、E都在邊BC上，∠DAE＝60．若BD＝2CE，則DE的長為______________． 例2．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝BC，E為AB邊上一點，∠BCE＝15，且AE＝AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結(jié)論： ①ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③EH＝2EB；④．其中正確的結(jié)論是________． 同類題型2.1 如圖所示，已知：點A（0，0），，0），C（0，1）在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個，第2個，第3個，…，則第n個等邊三角形的邊長等于____________． 同類題型2.2 如圖，點P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到PC，連接AP，則sin∠PAP的值為_________． 例3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論： ①∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切； ③EF是△ABC的中位線；④設(shè)OD＝m，AE＋AF＝n，則mn．其中正確的結(jié)論是 （　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 同類題型3.1 如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（　　） A． B． C． D． 同類題型3.2 如圖，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論： ①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，則；②C、O兩點距離的最大值為4； ③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為； 其中正確的是______________（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）． 同類題型3.3 如圖，直角△ABC中，∠B＝30，點O是△ABC的重心，連接CO并延長交AB于點E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，連接AF交CE于點M，則的值為 （　?。? A． B． C． D． 例4．如圖，在△ABC中，4AB＝5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，F(xiàn)G＝FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則的值為________． 同類題型4.1 如圖，已知是△ABC的中線，過點作∥AC交BC于點，連接交于點；過點作∥AC交BC于點，連接交于點；過點作∥AC交BC于點，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點，，…，和點，，…，，則＝_________AC． 同類題型4.2 如圖，過銳角△ABC的頂點A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長線于點F．在AF上取點M，使得AF，連接CM并延長交直線DE于點H．若AC＝2，△AMH的面積是，則的值是___________． 例5． 如圖，△ABC的面積為S．點，，，…，是邊BC的n等分點（n≥3，且n為整數(shù)），點M，N分別在邊AB，AC上，且，連接，，，…，，連接NB，，，…，，線段與NB相交于點，線段與相交于點，線段與相交于點，…，線段與相交于點，則，，，…，的面積和是 ____________．（用含有S與n的式子表示） 同類題型5.1如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應點為A′，且B′C＝3，則AM的長是 （　?。? A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 同類題型5.2 如圖，△ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于 （　?。? A．2 B． C． D． 同類題型5.3 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝AC，＋1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為____________． 同類題型5.4 如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB＝9，DF＝2FC，則BC＝_________________．（結(jié)果保留根號） 參考答案 例1．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，，點E是折線ADC上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關(guān)于BE的對稱點．在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有（　　） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 解：①BP為等腰三角形一腰長時，符合點E的位置有2個，是BC的垂直平分線與以B為圓心BA為半徑的圓的交點即是點P； ②BP為底邊時，C為頂點時，符合點E的位置有2個，是以B為圓心BA為半徑的圓與以C為圓心BC為半徑的圓的交點即是點P； ③以PC為底邊，B為頂點時，這樣的等腰三角形不存在，因為以B為圓心BA為半徑的圓與以B為圓心BC為半徑的圓沒有交點． 選C． 同類題型1.1 如圖，在鈍角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于點M，取BC中點D，AC中點N，連接DN、DE、DF．下列結(jié)論：①EM＝DN；②S四邊形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解：∵D是BC中點，N是AC中點， ∴DN是△ABC的中位線， ∴DN∥AB，且AB； ∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于點M， ∴M是AB的中點， ∴AB， 又∵AB， ∴EM＝DN， ∴結(jié)論①正確； ∵DN∥AB， ∴△CDN∽ABC， ∵AB， ∴， ∴S_(四邊形ABDN)， ∴結(jié)論②正確； 如圖1，連接MD、FN， ∵D是BC中點，M是AB中點， ∴DM是△ABC的中位線， ∴DM∥AC，且AC； ∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點， ∴AC， 又∵AC， ∴DM＝FN， ∵DM∥AC，DN∥AB， ∴四邊形AMDN是平行四邊形， ∴∠AMD＝∠AND， 又∵∠EMA＝∠FNA＝90， ∴∠EMD＝∠DNF， 在△EMD和△DNF中， ， ∴△EMD≌△DNF， ∴DE＝DF， ∴結(jié)論③正確； 如圖2，連接MD，EF，NF， ∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB， ∴M是AB的中點，EM⊥AB， ∴EM＝MA，∠EMA＝90，∠AEM＝∠EAM＝45， ∴， ∵D是BC中點，M是AB中點， ∴DM是△ABC的中位線， ∴DM∥AC，且AC； ∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點， ∴AC，∠FNA＝90，∠FAN＝∠AFN＝45， 又∵AC， ∴FA， ∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90＋∠AMD， ∠EAF＝360－∠EAM－∠FAN－∠BAC ＝360－45－45－（180－∠AMD） ＝90＋∠AMD ∴∠EMD＝∠EAF， 在△EMD和△∠EAF中， ∴△EMD∽△∠EAF， ∴∠MED＝∠AEF， ∵∠MED＋∠AED＝45， ∴∠AED＋∠AEF＝45， 即∠DEF＝45， 又∵DE＝DF， ∴∠DFE＝45， ∴∠EDF＝180－45－45＝90， ∴DE⊥DF， ∴結(jié)論④正確． ∴正確的結(jié)論有4個：①②③④． 選D． 同類題型1.2 如圖，D，E分別是△ABC的邊BC，AC上的點，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，則（　?。? A．當∠B為定值時，∠CDE為定值 B．當∠1為定值時，∠CDE為定值 C．當∠2為定值時，∠CDE為定值 D．當∠3為定值時，∠CDE為定值 解：在△CDE中，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AED＝∠CDE＋∠C， 在△ABD中，由三角形的外角性質(zhì)得，∠B＋∠1＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE， ∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∴∠B＋∠1＝∠CDE＋∠C＋∠CDE＝2∠CDE＋∠B， ∴∠1＝2∠CDE， ∴當∠1為定值時，∠CDE為定值． 選B． 同類題型1.3 如圖，在△ABC中，，∠BAC＝120，點D、E都在邊BC上，∠DAE＝60．若BD＝2CE，則DE的長為______________． 解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示． ∵，∠BAC＝120， ∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30， ∴∠ECG＝60． ∵CF＝BD＝2CE， ∴CG＝CE， ∴△CEG為等邊三角形， ∴EG＝CG＝FG， ∴∠CGE＝30， ∴△CEF為直角三角形． ∵∠BAC＝120，∠DAE＝60， ∴∠BAD＋∠CAE＝60， ∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60． 在△ADE和△AFE中，， ∴△ADE≌△AFE（SAS）， ∴DE＝FE． 設(shè)EC＝x，則BD＝CD＝2x，DE＝FE＝6－3x， 在Rt△CEF中，∠CEF＝90，CF＝2x，EC＝x， x， ∴x， ， ∴－3． 例2．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝BC，E為AB邊上一點，∠BCE＝15，且AE＝AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結(jié)論： ①ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③EH＝2EB；④．其中正確的結(jié)論是________． 解：①∵∠ABC＝90，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝45， 又∵∠BAD＝90， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ACD和△ACE中， ， ∴△ACD≌△ACE（SAS）；故①正確； ②同理∠AED＝45，∠BEC＝90－∠BCE＝90－15＝75， ∴∠DEC＝60， ∵△ACD≌△ACE， ∴CD＝CE， ∴△CDE為等邊三角形．故②正確． ③∵△CHE為直角三角形，且∠HEC＝60 ∴EC＝2EH ∵∠ECB＝15， ∴EC≠4EB， ∴EH≠2EB；故③錯誤． ④∵AE＝AD，CE＝CD， ∴點A與C在DE的垂直平分線上， ∴AC是DE的垂直平分線， 即AC⊥DE， ∴CE＞CH， ∵CD＝CE， ∴CD＞CH， ∵∠BAC＝45， ∴AH＝EH， ∵， ∴，故④錯誤． 答案為：①②． 同類題型2.1 如圖所示，已知：點A（0，0），，0），C（0，1）在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個，第2個，第3個，…，則第n個等邊三角形的邊長等于____________． 解：∵，OC＝1， ∴BC＝2， ∴∠OBC＝30，∠OCB＝60． 而為等邊三角形，＝60， ∴＝30，則O＝90． 在中，， 同理得：， 依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于． 同類題型2.2 如圖，點P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到PC，連接AP，則sin∠PAP的值為_________． 解：連接PP′，如圖， ∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到PC， ∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60， ∴△CPP′為等邊三角形， ∴PP′＝PC＝6， ∵△ABC為等邊三角形， ∴CB＝CA，∠ACB＝60， ∴∠PCB＝∠P′CA， 在△PCB和△P′CA中 ， ∴△PCB≌△P′CA， ∴PB＝P′A＝10， ∵， ∴， ∴△APP′為直角三角形，∠APP′＝90， ∴． 同類題型2.4 例3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論： ①∠A； ②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切； ③EF是△ABC的中位線； ④設(shè)OD＝m，AE＋AF＝n，則mn． 其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O， ∴∠ABC，∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180， ∴∠A， ∴∠A；故①正確； 過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴mn；故④正確； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，F(xiàn)O＝FC， ∴EF＝EO＋FO＝BE＋CF， ∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故②正確， 根據(jù)已知不能推出E、F分別是AB、AC的中點，故③正確， ∴其中正確的結(jié)論是①②④ 選D． 同類題型3.1 如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（　?。? A． B． C． D． 解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF． ∵DC∥AB， ∴， ∴DF＝CB＝1，BF＝2＋2＝4， ∵FB是⊙A的直徑， ∴∠FDB＝90， ∴． 選B． 同類題型3.2 如圖，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論： ①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，則； ②C、O兩點距離的最大值為4； ③若AB平分CO，則AB⊥CO； ④斜邊AB的中點D運動路徑的長為； 其中正確的是______________（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）． 解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30， ∴AB＝4，， ①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，如圖1， ∴AB是OC的垂直平分線， 則； 所以①正確； ②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE， ∵∠AOB＝∠ACB＝90， ∴AB＝2， 當OC經(jīng)過點E時，OC最大， 則C、O兩點距離的最大值為4； 所以②正確； ③如圖2，當∠ABO＝30時，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90， ∴四邊形AOBC是矩形， ∴AB與OC互相平分， 但AB與OC的夾角為60、120，不垂直， 所以③不正確； ④如圖3，斜邊AB的中點D運動路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的， 則：＝π， 所以④不正確； 綜上所述，本題正確的有：①②． 同類題型3.3 如圖，直角△ABC中，∠B＝30，點O是△ABC的重心，連接CO并延長交AB于點E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，連接AF交CE于點M，則的值為（　?。? A． B． C． D． 解：∵點O是△ABC的重心， ∴CE， ∵△ABC是直角三角形， ∴CE＝BE＝AE， ∵∠B＝30， ∴∠FAE＝∠B＝30，∠BAC＝60， ∴∠FAE＝∠CAF＝30，△ACE是等邊三角形， ∴CE， ∴CE，即AE， ∵BE＝AE， ∴AE， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝60， ∴∠FEM＝30， ∴EF， ∴AE， ∴． 選D． 例4．如圖，在△ABC中，4AB＝5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，F(xiàn)G＝FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則的值為________． 解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h． ∵， ∴CD． 如右圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM＝AB，則有AC＝4CM．連接DM． 在△ABD與△AMD中， ∴△ABD≌△AMD（SAS）， ∴CD． 過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K． ∵MN∥AD， ∴， ∴CD， ∴CD． ∴MD＝KD，即△DMK為等腰三角形， ∴∠DMK＝∠DKM． 由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1＝∠2； ∵MN∥AD， ∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2， 又∵∠DKM＝∠3（對頂角） ∴∠DMK＝∠4， ∴DM∥GN， ∴四邊形DMNG為平行四邊形， ∴MN＝DG＝2FD． ∵點H為AC中點，AC＝4CM， ∴． ∵MN∥AD， ∴，即， ∴． 同類題型4.1 如圖，已知是△ABC的中線，過點作∥AC交BC于點，連接交于點；過點作∥AC交BC于點，連接交于點；過點作∥AC交BC于點，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點，，…，和點，，…，，則＝_________AC． 解：∵∥AC， ∴＝∠BAC，＝∠BCA， ∴∽△BAC， ∴． ∵是△ABC的中線， ∴． ∵∥AC， ∴，， ∴， ∴． ∵∥AC， ∴， ∴AC． 同理：AC． ∴． 同類題型4.2 如圖，過銳角△ABC的頂點A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長線于點F．在AF上取點M，使得AF，連接CM并延長交直線DE于點H．若AC＝2，△AMH的面積是，則的值是___________． 解：過點H作HG⊥AC于點G， ∵AF平分∠CAE，DE∥BF， ∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF， ∴AC＝CF＝2， ∵AF， ∴， ∵DE∥CF， ∴△AHM∽△FCM， ∴， ∴AH＝1， 設(shè)△AHM中，AH邊上的高為m， △FCM中CF邊上的高為n， ∴， ∵△AMH的面積為：， ∴AH﹒m ∴， ∴， 設(shè)△AHC的面積為S， ∴＝3， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理可知：， ∴ ∴． 例5． 如圖，△ABC的面積為S．點，，，…，是邊BC的n等分點（n≥3，且n為整數(shù)），點M，N分別在邊AB，AC上，且，連接，，，…，，連接NB，，，…，，線段與NB相交于點，線段與相交于點，線段與相交于點，…，線段與相交于點，則，，，…，的面積和是 ____________．（用含有S與n的式子表示） 解：連接MN，設(shè)BN交于，交于，交于． ∵， ∴MN∥BC， ∴， ∵點，，，…，是邊BC的n等分點， ∴， ∴四邊形B，四邊形，四邊形都是平行四邊形， 易知﹒S，﹒S，﹒S， ∴﹒S， ∴﹒S－（n－1）﹒﹒S－S＝﹒S． 同類題型5.1如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應點為A′，且B′C＝3，則AM的長是（　?。? A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 解：設(shè)AM＝x， 連接BM，MB′， 在Rt△ABM中，， 在Rt△MDB′中，， ∵MB＝MB′， ∴， 即， 解得x＝2， 即AM＝2， 故選B． 同類題型5.2 如圖，△ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（　　） A．2 B． C． D． 解：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3， ∴＝5， ∵CD＝DB， ∴， ∵﹒AB﹒AC， ∴， ∵AE＝AB， ∴點A在BE的垂直平分線上． ∵DE＝DB＝DC， ∴點D在BE使得垂直平分線上，△BCE是直角三角形， ∴AD垂直平分線段BE， ∵﹒BD﹒AH， ∴， ∴， 在Rt△BCE中，， 選D． 同類題型5.3 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝AC，＋1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為____________． 解：①如圖1， 當∠B′MC＝90，B′與A重合，M是BC的中點， ∴； ②如圖2，當∠MB′C＝90， ∵∠A＝90，AB＝AC， ∴∠C＝45， ∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴MB′， ∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′， ∴BM＝B′M， ∴BM， ∵＋1， ∴＋1， ∴BM＝1， 綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為或1． 同類題型5.4 如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB＝9，DF＝2FC，則BC＝_________________．（結(jié)果保留根號） 解：延長EF和BC，交于點G ∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E， ∴∠ABE＝∠AEB＝45， ∴AB＝AE＝9， ∴直角三角形ABE中，， 又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點F， ∴∠BEG＝∠DEF ∵AD∥BC ∴∠G＝∠DEF ∴∠BEG＝∠G ∴ 由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC ∴ 設(shè)CG＝x，DE＝2x，則AD＝9＋2x＝BC ∵BG＝BC＋CG ∴＝9＋2x＋x 解得－3 ∴＋3．