江蘇省無錫地區(qū)中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題 專題8 幾何變換問題.doc

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專題08 幾何變換問題 例1．如圖，斜邊長12cm，∠A＝30的直角三角尺ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)90至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角尺ABC的斜邊AB上，則三角尺向左平移的距離為______________．（結(jié)果保留根號） 同類題型1.1 把圖中的一個三角形先橫向平移x格，再縱向平移y格，就能與另一個三角形拼合成一個四邊形，那么x＋y（　　） A．是一個確定的值 B．有兩個不同的值 C．有三個不同的值 D．有三個以上不同的值 同類題型1.2 已知：如圖△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如將B點(diǎn)向右平移2個單位后再向上平移4個單位到達(dá)點(diǎn)，若設(shè)△ABC的面積為，C的面積為，則，的大小關(guān)系為（　　） A． B． C． D．不能確定 例2． 如圖，P是等邊△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60到BP′，已知∠AP′B＝150，P′A：P′C＝2：3，則PB：P′A是（　?。? A．：1 B．2：1 C．：2 D．：1 同類題型2.1 如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 同類題型2.2 如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN．下列五個結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB＝2，則的最小值是，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 同類題型2.3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連接OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的解析式為__________． 同類題型2.4 如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的邊CD上，連結(jié)CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，則tanα﹒tanβ＝___________． 同類題型2.5 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30，則線段PM的最大值是_____． 同類題型2.6 如圖1，一副含30和45角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12，點(diǎn)G為邊EF的中點(diǎn)，邊FD與AB相交于點(diǎn)H，如圖2，將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時針方向旋轉(zhuǎn)到60的過程中，BH的最大值是_________，點(diǎn)H運(yùn)動的路徑長是_________． 例3．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD的對應(yīng)邊過點(diǎn)C，EF為折痕，若∠B＝60，當(dāng)E⊥AB時，的值等于（　?。? A． B． C． D． 同類題型3.1 如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EMN的周長是_____________． 同類題型3.2 如圖，∠MON＝40，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在OM，ON上移動，當(dāng)△PAB周長最小時，則∠APB的度數(shù)為（　　） A．20 B．40 C．100 D．140 同類題型3.3 如圖，矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，將紙片折疊，使D點(diǎn)落在GF上，得到△HAE，再過H點(diǎn)折疊紙片，使B點(diǎn)落在直線AB上，折痕為PQ．連接AF、EF，已知HE＝HF，下列結(jié)論：①△MEH為等邊三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 同類題型3.4 △ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED．連CE，則線段CE的長等于_______． 專題08 幾何變換問題 例1．如圖，斜邊長12cm，∠A＝30的直角三角尺ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)90至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角尺ABC的斜邊AB上，則三角尺向左平移的距離為______________．（結(jié)果保留根號） 解：如圖：連接B′B″， ∵在Rt△ABC中，AB＝12，∠A＝30， ∴AB＝6，， ∴B′C＝6， ∴－6， ∵B′C∥B″C″，B′C＝B″C″， ∴四邊形B″C″CB′是矩形， ∴B″B′∥BC，B″B′＝C″C， ∴△AB″B′∽△ABC， ∴， 即：， 解得：． ∴． 同類題型1.1 把圖中的一個三角形先橫向平移x格，再縱向平移y格，就能與另一個三角形拼合成一個四邊形，那么x＋y（　?。? A．是一個確定的值 B．有兩個不同的值 C．有三個不同的值 D．有三個以上不同的值 解：（1）當(dāng)兩斜邊重合的時候可組成一個矩形，此時x＝2，y＝3， x＋y＝5； （2）當(dāng)兩直角邊重合時有兩種情況，①短邊重合，此時x＝2，y＝3，x＋y＝5； ②長邊重合，此時x＝2，y＝5，x＋y＝7． 綜上可得：x＋y＝5或7． 選B． 同類題型1.2 已知：如圖△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如將B點(diǎn)向右平移2個單位后再向上平移4個單位到達(dá)點(diǎn)，若設(shè)△ABC的面積為，C的面積為，則，的大小關(guān)系為（　　） A． B． C． D．不能確定 解：△ABC的面積為44＝8， 將B點(diǎn)平移后得到點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1）， 所以C的面積為44＝8， 所以． 選B． 同類題型1.3 同類題型1.4 例2． 如圖，P是等邊△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60到BP′，已知∠AP′B＝150，P′A：P′C＝2：3，則PB：P′A是（　?。? A．：1 B．2：1 C．：2 D．：1 解：如圖，連接AP，∵BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60到BP′， ∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝60， 又∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝60， ∴∠ABP＝∠CBP′， 在△ABP和△CBP′中， ∵， ∴△ABP≌△CBP′（SAS）， ∴AP＝P′C， ∵P′A：P′C＝2：3， ∴P′A， 連接PP′，則△PBP′是等邊三角形， ∴∠BP′P＝60，PP′＝PB， ∵∠AP′B＝150， ∴∠AP′P＝150－60＝90， ∴△APP′是直角三角形， 設(shè)P′A＝x，則x， 根據(jù)勾股定理，x， 則x， ∴PB：x：：2． 選C． 同類題型2.1 如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解：①設(shè)∠1＝x度，則∠2＝（60－x）度，∠DBC＝（x＋60）度，故∠4＝（x＋60）度， ∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x＋60＋x＋60＝180度， ∴D、A、E三點(diǎn)共線； ②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到△ACE， ∴CD＝CE，∠DCE＝60， ∴△CDE為等邊三角形， ∴∠E＝60， ∴∠BDC＝∠E＝60， ∴∠CDA＝120－60＝60， ∴DC平分∠BDA； ③∵∠BAC＝60， ∠E＝60， ∴∠E＝∠BAC． ④由旋轉(zhuǎn)可知AE＝BD， 又∵∠DAE＝180， ∴DE＝AE＋AD． ∵△CDE為等邊三角形， ∴DC＝DB＋BA． 同類題型2.2 如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN．下列五個結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB＝2，則的最小值是，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90， ∴∠BCN＋∠DCN＝90， 又∵CN⊥DM， ∴∠CDM＋∠DCN＝90， ∴∠BCN＝∠CDM， 又∵∠CBN＝∠DCM＝90， ∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確； 根據(jù)△CNB≌△DMC，可得CM＝BN， 又∵∠OCM＝∠OBN＝45，OC＝OB， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠＝∠BON， ∴∠DOC＋∠＝∠COB＋∠BPN，即∠DOM＝∠CON， 又∵DO＝CO， ∴△CON≌△DOM（SAS），故②正確； ∵∠BON＋∠BOM＝∠＋∠BOM＝90， ∴∠MON＝90，即△MON是等腰直角三角形， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴△OMN∽△OAD，故③正確； ∵AB＝BC，CM＝BN， ∴BM＝AN， 又∵Rt△BMN中，， ∴，故④正確； ∵△OCM≌△OBN， ∴四邊形BMON的面積＝△BOC的面積＝1，即四邊形BMON的面積是定值1， ∴當(dāng)△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小， 設(shè)BN＝x＝CM，則BM＝2－x， ∴△MNB的面積＋x， ∴當(dāng)x＝1時，△MNB的面積有最大值， 此時的最小值是，故⑤正確； 綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)是5個， 選D． 同類題型2.3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連接OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的解析式為__________． 解：∵△BOA繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA， ∴△BOA≌△CDA， ∴AB＝AC，OA＝AD， ∵B、D、C共線，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝OB， ∵OA＝AD，BO＝CD＝BD， ∴OD⊥AB， 設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b， 把A與B坐標(biāo)代入得：， 解得：， ∴直線AB解析式為x＋4， ∴直線OD解析式為x， 聯(lián)立得：， 解得：，即，）， ∵M(jìn)為線段OD的中點(diǎn)， ∴，）， 設(shè)直線CD解析式為y＝mx＋n， 把B與D坐標(biāo)代入得：， 解得：，n＝4， 則直線CD解析式為x＋4． 同類題型2.4 如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的邊CD上，連結(jié)CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，則tanα﹒tanβ＝___________． 解：過C點(diǎn)作MN⊥BF，交BG于M，交EF于N， 由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3， 由勾股定理得，＝4， ∴DG＝DC－CG＝1， 則， ∵，∠ABG＝∠CBE， ∴△ABG∽△CBE， ∴， 解得，， ∵∠MBC＝∠CBG，∠BMC＝∠BCG＝90， ∴△BCM∽△BGC， ∴，即， ∴， ∴MN＝BE＝3， ∴， ∴， ∴， ∴． 同類題型2.5 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30，則線段PM的最大值是_____． 解：如圖連接PC． 在Rt△ABC中，∵∠A＝30，BC＝2， ∴AB＝4， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A′B′＝AB＝4， ∴A′P＝PB′， ∴A′B′＝2， ∵CM＝BM＝1， 又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3， ∴PM的最大值為3（此時P、C、M共線）． 同類題型2.6 如圖1，一副含30和45角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12，點(diǎn)G為邊EF的中點(diǎn)，邊FD與AB相交于點(diǎn)H，如圖2，將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時針方向旋轉(zhuǎn)到60的過程中，BH的最大值是_________，點(diǎn)H運(yùn)動的路徑長是_________． 解：如圖1中，作HM⊥BC于M，設(shè)HM＝a，則CM＝HM＝a． 在Rt△ABC中，∠ABC＝30，BC＝12， 在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，a， ∵BM＋FM＝BC， ∴a＋a＝12， ∴－6， ∴－12． 如圖2中，當(dāng)DG⊥AB時，易證⊥DF，此時的值最小，易知＋3， ∴－15， 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60時，F(xiàn)與重合，此時BH的值最大，易知最大值， 觀察圖象可知，在∠CGF從0到60的變化過程中， 點(diǎn)H相應(yīng)移動的路徑長－18． 例3．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD的對應(yīng)邊過點(diǎn)C，EF為折痕，若∠B＝60，當(dāng)E⊥AB時，的值等于（　?。? A． B． C． D． 解：如圖所示，延長AB，交于點(diǎn)G， ∵E⊥AB，C＝∠A＝120， ∴∠G＝120－90＝30， 又∵∠ABC＝60， ∴∠BCG＝60－30＝30， ∴∠G＝∠BCG＝30， ∴BC＝BG＝BA， 設(shè)BE＝1，E，則AB＝1＋x＝BC＝BG，G＝2x， ∴GE＝1＋x＋1＝x＋2， ∵GE中，， ∴， 解得，（負(fù)值已舍去） ∴， ∴， 選D． 同類題型3.1 如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EMN的周長是_____________． 解：解法一：如圖1，過E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE， ∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝PC， 設(shè)PC＝x，則PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x， ∴PD＝EQ， ∵∠DPE＝∠EQF＝90，∠PED＝∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE＝EF， ∵DE⊥EF， ∴△DEF是等腰直角三角形， 易證明△DEC≌△BEC， ∴DE＝BE， ∴EF＝BE， ∵EQ⊥FB， ∴BF， ∵AB＝4，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)， ∴BF＝2， ∴FQ＝BQ＝PE＝1， ∴，PD＝4－1＝3， Rt△DAF中，， ， 如圖2，∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴＝2， ∴CG＝2AG，DG＝2FG， ∴， ∵， ∴， ∴， 連接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE＝45， ∴△GHF是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折疊得：GM⊥EF，， ∴∠EHM＝∠DEF＝90， ∴DE∥HM， ∴△DEN∽△MNH， ∴， ∴＝3， ∴EN＝3NH， ∵， ∴， ∴， Rt△GNH中，， 由折疊得：MN＝GN，EM＝EG， ∴△EMN的周長； 解法二：如圖3，過G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R， ∵AC平分∠DAB， ∴GK＝GR， ∴＝2， ∵＝2， ∴＝2， 同理，＝3， 其它解法同解法一， 可得：∴△EMN的周長； 解法三：如圖4，過E作EP⊥AP，EQ⊥AD， ∵AC是對角線， ∴EP＝EQ， 易證△DQE和△FPE全等， ∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP， 設(shè)EP＝x，則DQ＝4－x＝FP＝x－2， 解得x＝3，所以PF＝1， ∴， ∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴同解法一得：， ∴， ， 過G作GH⊥AB，過M作MK⊥AB，過M作ML⊥AD， 則易證△GHF≌△FKM全等， ∴，， ∵，， 即DL＝LM， ∴∠LDM＝45 ∴DM在正方形對角線DB上， 過N作NI⊥AB，則NI＝IB， 設(shè)NI＝y(tǒng)， ∵NI∥EP ∴ ∴， 解得y＝1.5， 所以FI＝2－y＝0.5， ∴I為FP的中點(diǎn)， ∴N是EF的中點(diǎn)， ∴， ∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5， ∴，，，， ∴△EMN的周長． 同類題型3.2 如圖，∠MON＝40，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在OM，ON上移動，當(dāng)△PAB周長最小時，則∠APB的度數(shù)為（　?。? A．20 B．40 C．100 D．140 解：如圖所示： 分別作點(diǎn)P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點(diǎn)A、B， 連接PA、PB，此時△PAB周長的最小值等于P′P″． 如圖所示：由軸對稱性質(zhì)可得， OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， 所以∠P′OP″＝2∠MON＝240＝80， 所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180－80）2＝50， 又因?yàn)椤螧PO＝∠OP″B＝50，∠APO＝∠AP′O＝50， 所以∠APB＝∠APO＋∠BPO＝100． 選C． 同類題型3.3 如圖，矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，將紙片折疊，使D點(diǎn)落在GF上，得到△HAE，再過H點(diǎn)折疊紙片，使B點(diǎn)落在直線AB上，折痕為PQ．連接AF、EF，已知HE＝HF，下列結(jié)論：①△MEH為等邊三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 解：∵矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點(diǎn)， ∴GF⊥AD， 由折疊可得，AH＝AD＝2AG，∠AHE＝∠D＝90， ∴∠AHG＝30，∠EHM＝90－30＝60， ∴∠HAG＝60＝∠AED＝∠MEH， ∴△EHM中，∠EMH＝60＝∠EHM＝∠MEH， ∴△MEH為等邊三角形，故①正確； ∵∠EHM＝60，HE＝HF， ∴∠HEF＝30， ∴∠FEM＝60＋30＝90，即AE⊥EF，故②正確； ∵∠PEH＝∠MHE＝60＝∠HEA，∠EPH＝∠EHA＝90， ∴△PHE∽△HAE，故③正確； 設(shè)AD＝2＝AH，則AG＝1， ∴Rt△AGH中，， Rt△AEH中，＝HF， ∴＝AB， ∴，故④正確， 綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④， 選D． 同類題型3.4 △ABC中，∠BAC＝90，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED．連CE，則線段CE的長等于_______． 解：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3， ∴＝5， ∵CD＝DB， ∴， ∵﹒AB﹒AC， ∴， ∵AE＝AB，DE＝DB＝DC， ∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形， ∵﹒BD﹒AH， ∴， ∴， 在Rt△BCE中，．