高中數學課件_第三章_第3節(jié)_《三角函數的圖象和性質》

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1、1.能畫出能畫出ysinx，ycosx，ytanx的圖象，了解的圖象，了解三角函數的周期性三角函數的周期性.2.理解正弦函數、余弦函數在區(qū)間理解正弦函數、余弦函數在區(qū)間0,2上的性質上的性質(如單調性、最大值和最小值以及與如單調性、最大值和最小值以及與x軸的交點等軸的交點等)，理解正切函數在區(qū)間理解正切函數在區(qū)間(，)內的單調性內的單調性.1.周期函數周期函數(1)周期函數定義周期函數定義對于函數對于函數f(x)，如果存在一個非零常數，如果存在一個非零常數T，使得當，使得當x取定義取定義域內的每一個值時，都有域內的每一個值時，都有，那么函數，那么函數f(x)就就叫周期函數叫周期函數.T叫做這個

2、函數的周期叫做這個函數的周期(2)最小正周期定義最小正周期定義如果在周期函數如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小正數，的所有周期中存在一個最小正數，那么這個那么這個就叫做就叫做f(x)的的f(xT)f(x)最小正數最小正數最小正周期最小正周期思考探究思考探究1如果函數如果函數yf(x)的周期是的周期是T，那么函數，那么函數yf(x)的周期的周期是多少？是多少？提示：提示：函數函數yf(x)的周期是的周期是.2.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質函數函數ysinxycosxytanx圖圖象象x|x 2k，kZ函函數數ysinxycosxyt

3、anx定定義義域域值值域域RRy|1 y 1 y|1 y 1R 2k， 函函數數ysinxycosxytanx單單調調性性最最值值無最值無最值( 上遞增，上遞增，kZ；上遞減，上遞減，kZ上遞增，上遞增，Z；上遞減，上遞減，kZ上遞增上遞增kZx時，時，ymax1(kZ)；x時，時，ymin1(kZ)x時時，ymax1(kZ)；X時，時，ymin1(kZ)K，+K)2k 2k， 2k(2k1)，2k2k，(2k1)2k-2k2k2k函數函數ysinxycosxytanx奇偶奇偶性性對稱對稱性性對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心對稱軸對稱軸l：對稱軸對稱軸l：周期周期性性奇奇偶偶奇

4、奇(k，0)，kZ(k,0)kZ(，0)，kZ22xk ，kZ無無xk，kZ思考探究思考探究2正弦函數和余弦函數的圖象的對稱軸以及對稱中心正弦函數和余弦函數的圖象的對稱軸以及對稱中心與函數圖象的關鍵點有什么關系？與函數圖象的關鍵點有什么關系？提示：提示：ysinx與與ycosx的對稱軸方程中的的對稱軸方程中的x都是它們取得都是它們取得最大值或最小值時相應的最大值或最小值時相應的x，對稱中心的橫坐標都是它們，對稱中心的橫坐標都是它們的零點的零點.1.函數函數ysin(x)(0)是是R上的偶函數，則上的偶函數，則等于等于()A.0B.C.D.解析：解析：要使函數要使函數ysin(x )為偶函數，則

5、為偶函數，則k.答案：答案：C2.設函數設函數f(x)sin(2x)，xR，則，則f(x)是是()A.最小正周期為最小正周期為的奇函數的奇函數B.最小正周期為最小正周期為的偶函數的偶函數C.最小正周期為最小正周期為的奇函數的奇函數D.最小正周期為最小正周期為的偶函數的偶函數解析：解析：f(x)sin(2x)cos2x函數函數f(x)的周期為的周期為，且為偶函數，且為偶函數.答案：答案：B3.函數函數ysin(2x)的圖象的圖象()A.關于點關于點(,0)對稱對稱B.關于直線關于直線x對稱對稱C.關于點關于點(,0)對稱對稱D.關于直線關于直線x對稱對稱解析：解析：當當x時，時，ysin0，當當

6、x時時ysin()cos，函數函數ysin(2x)的圖象關于的圖象關于(,0)對稱對稱.答案：答案：A4.y23cos(x)的最大值為的最大值為.此時此時x.解析：解析：當當cos(x)1時，函數時，函數y23cos(x)取得最大值取得最大值5，此時，此時x2k，而，而x2k，kZ.答案：答案：52k，kZ5.函數函數ysin(x)，x(0，的值域是的值域是.解析：解析：答案：答案：求三角函數的定義域時，轉化為三角不等式求三角函數的定義域時，轉化為三角不等式(組組)求解，求解，常常借助于三角函數的圖象和周期解決，求交集時可以利常常借助于三角函數的圖象和周期解決，求交集時可以利用單位圓，對于周期

7、相同的可以先求交集再加周期的整數用單位圓，對于周期相同的可以先求交集再加周期的整數倍即可倍即可.1.用三角函數線解用三角函數線解sinxa(cosxa)的方法的方法(1)找出使找出使sinxa(cosxa)的兩個的兩個x值的終邊所在位置值的終邊所在位置.(2)根據變化趨勢，確定不等式的解集根據變化趨勢，確定不等式的解集.2.用三角函數的圖象解用三角函數的圖象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法的方法.(1)作直線作直線ya，在三角函數的圖象上找出一個周期內，在三角函數的圖象上找出一個周期內(不不一定是一定是0,2)在直線在直線ya上方的圖象上方的圖象.(2)確定確定sinxa(cosx

8、a，tanxa)的的x值，寫出解集值，寫出解集.求下列函數的定義域：求下列函數的定義域：思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)要使原函數有意義，必須要使原函數有意義，必須有：有：由圖知，原函數的定義域為：由圖知，原函數的定義域為：(2)要使函數有意義，要使函數有意義，則則得得函數定義域是函數定義域是x|0 x或或x4.如何求函數如何求函數ylg(sinxcosx)的定義域？的定義域？解：解：要使函數有意義，必須使要使函數有意義，必須使sinxcosx0.利用圖象利用圖象.在同一坐標系中畫出在同一坐標系中畫出0,2上上ysinx和和ycosx的圖象，如圖所示的圖象，如圖所示.在在0,2內，滿足內

9、，滿足sinxcosx的的x為為再結合正弦、余弦函數的周期是再結合正弦、余弦函數的周期是2，所以定義域為，所以定義域為x|2kx2k，kZ.1.形如形如yAsin(x)(A0，0)的函數的單調區(qū)間，的函數的單調區(qū)間，基本思路是把基本思路是把x看作一個整體，由看作一個整體，由2kx 2k(kZ)求得函數的增區(qū)間，由求得函數的增區(qū)間，由2kx2k(kZ)求得函數的減區(qū)間求得函數的減區(qū)間.2.形如形如yAsin(x)(A0，0)的函數，可先利用的函數，可先利用誘導公式把誘導公式把x的系數變?yōu)檎龜?，得到的系數變?yōu)檎龜担玫統(tǒng)Asin(x)，由由2kx2k(kZ)得到函數的減得到函數的減區(qū)區(qū)間，由間，由

10、2kx2k(kZ)得到函數得到函數的增區(qū)間的增區(qū)間.3.對于對于yAtan(x)(A、為常數為常數)，其周期，其周期T，單調區(qū)間利用單調區(qū)間利用x(k，k)(kZ)，解出，解出x 的取值范圍，即為其單調區(qū)間的取值范圍，即為其單調區(qū)間.特別警示特別警示求三角函數的單調區(qū)間時，一定要注意求三角函數的單調區(qū)間時，一定要注意A和和的符號的符號.已知函數已知函數f(x)log2(2x).(1)求函數的定義域；求函數的定義域；(2)求滿足求滿足f(x)0的的x的取值范圍；的取值范圍；(3)求函數求函數f(x)的單調遞減區(qū)間的單調遞減區(qū)間.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)令令sin(2x)0sin(2

11、x)02k2x2k，kZkxk,kZ.故函數的定義域為故函數的定義域為(k，k)，kZ.(2)f(x)0，sin(2x)2x2k或或2k，kZxk或或xk，kZ，故故x的取值范圍是的取值范圍是x|xk或或xk，kZ.(3)令令2k2x2k，kZ2k2x2k，kZkx0)，yf(x)的圖象與直線的圖象與直線y2的兩個相鄰交點的距離等于的兩個相鄰交點的距離等于，則，則f(x)的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是()A.k，k，kZB.k，k，kZC.k，k，kZD.k，k，kZ【解析解析】f(x)sinxcosx2sin(x)(0).f(x)圖象與直線圖象與直線y2的兩個相鄰交點的距離等于的兩個相鄰交

12、點的距離等于，恰好，恰好是是f(x)的一個周期，的一個周期，2.f(x)2sin(2x).故其單調增區(qū)間應滿足故其單調增區(qū)間應滿足2k2x2k (kZ).kxk(kZ).【答案答案】C自主體驗自主體驗使奇函數使奇函數f(x)sin(2x)cos(2x )在在,0上為減函數的上為減函數的的值為的值為()A.B.C.D.解析：解析：f(x)為奇函數，為奇函數，f(0)sincos0.tan，k，kZ，f(x)2sin2x，在在,0上為減函數，上為減函數，f(x)2sin2x，.答案：答案：D1.(2009廣東高考廣東高考)函數函數y2cos2(x)1是是()A.最小正周期為最小正周期為的奇函數的奇

13、函數B.最小正周期為最小正周期為的偶函數的偶函數C.最小正周期為最小正周期為的奇函數的奇函數D.最小正周期為最小正周期為的偶函數的偶函數解析：解析：y2cos2(x)1cos(2x)sin2xT，且為奇函數，且為奇函數.答案：答案：A2.(2009全國卷全國卷)如果函數如果函數y3cos(2x)的圖象關于點的圖象關于點(,0)中心對稱，那么中心對稱，那么| |的最小值為的最小值為()A. B.C.D.解析：解析：由題意得由題意得3cos(2)3cos(2)3cos()0，cos()0，k，k，取取k0，得，得|的最小值為的最小值為.答案：答案：A3.若函數若函數y2cosx在區(qū)間在區(qū)間0，上遞

14、減，且有最小值上遞減，且有最小值1，則則的值可以是的值可以是()A.2B.C.3D.解析：解析：由由y2cosx在在0，上是遞減的，且有最小上是遞減的，且有最小值為值為1，則有：，則有：f()1，即，即2cos()1cos，.答案：答案：B4.函數函數f(x)sin2xsinxa，若對，若對xR,1f(x)恒成恒成立，則立，則a的取值范圍為的取值范圍為.由題意知由題意知3a4.解析：解析：f(x)sin2xsinxaaa，t1,1.t1時，時，f(x)mina2；t時，時，f(x)maxa.答案：答案：3a45.(文文)對于函數對于函數f(x)給出下列四個給出下列四個命題：命題：該函數是以該函

15、數是以為最小正周期的周期函數；為最小正周期的周期函數；當且僅當當且僅當xk(kZ)時，該函數取得最小值是時，該函數取得最小值是1；該函數的圖象關于該函數的圖象關于x2k(kZ)對稱；對稱；當且僅當當且僅當2kx2k(kZ)時，時，0f(x).其中正確命題的序號是其中正確命題的序號是(請將所有正確命題的請將所有正確命題的序號都填上序號都填上).解析：解析：畫出函數畫出函數f(x)的圖象，由圖象易知正確的圖象，由圖象易知正確.答案：答案：(理理)(2009上海高考上海高考)當當0 x1時，不等式時，不等式sinkx成立，則成立，則實數實數k的取值范圍是的取值范圍是.解析：解析：0 x1時，時，ys

16、in的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，ykx的圖象在的圖象在0,1之間的部分應位于此圖象下方，之間的部分應位于此圖象下方，當當k0時，時，ykx在在0,1上的圖象恒在上的圖象恒在x軸下方，原不等式軸下方，原不等式成立成立.當當k0，kxsin時，在時，在x0,1上恒成立，上恒成立，k1即可即可.故故k1時，時，x0,1上恒有上恒有sinkx.答案：答案：k16.(文文)已知函數已知函數f(x)2asin(2x)b的定義域為的定義域為0，函數的最大值為函數的最大值為1，最小值為，最小值為5，求，求a和和b的值的值.若若a0，則，則，解得解得.綜上可知，綜上可知，a126，b2312或或a126，b1912.解：解：0 x，2x，sin(2x)1，若若a0，則，則，解得，解得；(理理)已知已知a0，函數，函數f(x)2asin(2x)2ab，當，當x0，時，時，5f(x)1.(1)求常數求常數a，b的值；的值；(2)求求f(x)的單調區(qū)間的單調區(qū)間.解：解：(1)x0，又又a0，5f(x)1，即即(2)f(x)4sin(2x)1，由，由2k2x2k得得kxkx，kZ，由由2k2x2k得得kxk，kZ，f(x)的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間為k，k(kZ)，單調遞減區(qū)間為單調遞減區(qū)間為k，k(kZ).