精校版高中數(shù)學人教A版選修44學案：第2講2 圓錐曲線的參數(shù)方程 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 二二 圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程 1理解橢圓的參數(shù)方程及其應用(重點) 2了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程 3能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關點的軌跡問題(難點、易錯點) 基礎 初探 教材整理 1 橢圓的參數(shù)方程 閱讀教材 P27P29“思考”及以上部分，完成下列問題 普通方程 參數(shù)方程 x2a2y2b21(ab0) xacos ybsin ( 為參數(shù)) y2a2x2b21(ab0) xbcos yasin ( 為參數(shù)) 橢圓 x4cos y5sin ( 為參數(shù))的離心率為( ) A.45 B.35

2、 C.34 D.15 【解析】 由橢圓方程知 a5，b4，c29，c3，e35. 【答案】 B 教材整理 2 雙曲線的參數(shù)方程 閱讀教材 P29P32，完成下列問題. 普通方程 參數(shù)方程 x2a2y2b21(a0，b0) xasec ybtan ( 為參數(shù)) 下列雙曲線中，與雙曲線 x 3sec ，ytan ( 為參數(shù))的離心率和漸近線都相同的是( ) A.y23x291 B.y23x291 C.y23x21 D.y23x21 【解析】 由 x 3sec 得， x23cos23sin2cos2cos23tan23， 又ytan ， x23y23，即x23y21. 經(jīng)驗證可知，選項 B 合適 【

3、答案】 B 教材整理 3 拋物線的參數(shù)方程 閱讀教材 P33P34“習題”以上部分，完成下列問題 1拋物線 y22px 的參數(shù)方程是 x2pt2y2pt(t 為參數(shù)) 2參數(shù) t 表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù) 若點 P(3，m)在以點 F 為焦點的拋物線 x4t2y4t(t 為參數(shù))上，則|PF|_. 【解析】 拋物線為 y24x，準線為 x1， |PF|等于點 P(3，m)到準線 x1 的距離，即為 4. 【答案】 4 質(zhì)疑 手記 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問 1： 解惑： 疑問 2： 解惑： 疑問 3： 解惑： 橢圓的參數(shù)方程及應用

4、 將參數(shù)方程 x5cos ，y3sin ( 為參數(shù))化為普通方程， 并判斷方程表示曲線的焦點坐標 【思路探究】 根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關系，消去參數(shù)，化為普通方程，進而研究曲線形狀和幾何性質(zhì) 【自主解答】 由 x5cos y3sin 得 cos x5，sin y3， 兩式平方相加，得x252y2321. a5，b3，c4. 因此方程表示焦點在 x 軸上的橢圓，焦點坐標為 F1(4,0)和 F2(4,0) 橢圓的參數(shù)方程 xacos ，ybsin ，( 為參數(shù)，a，b 為常數(shù)，且 ab0)中，常數(shù)a，b 分別是橢圓的長半軸長和短半軸長，焦點在長軸上 再練一題 1若本例的參數(shù)方程為 x3cos ，

5、y5sin ，( 為參數(shù))，則如何求橢圓的普通方程和焦點坐標？ 【解】 將 x3cos ，y5sin ，化為 x3cos ，y5sin ， 兩式平方相加，得x232y2521. 其中 a5，b3，c4. 所以方程的曲線表示焦點在 y 軸上的橢圓， 焦點坐標為 F1(0， 4)與 F2(0,4). 雙曲線參數(shù)方程的應用 求證：雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個定值 【思路探究】 設出雙曲線上任一點的坐標，可利用雙曲線的參數(shù)方程簡化運算 【自主解答】 由雙曲線x2a2y2b21，得 兩條漸近線的方程是：bxay0，bxay0， 設雙曲線上任一點的坐標為(a

6、sec ，btan )， 它到兩漸近線的距離分別是 d1和 d2， 則 d1 d2|absec abtan |b2a2 |absec abtan |b2a2 |a2b2sec2 tan2 |a2b2a2b2a2b2(定值) 在研究有關圓錐曲線的最值和定值問題時， 使用曲線的參數(shù)方程非常簡捷方便， 其中點到直線的距離公式對參數(shù)形式的點的坐標仍適用，另外本題要注意公式 sec2 tan2 1 的應用 再練一題 2如圖 2- 2- 1，設 P 為等軸雙曲線 x2y21 上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，證明：|PF1| |PF2|OP|2. 圖 2- 2- 1 【證明】 設 P(sec ，tan )，

7、 F1( 2，0)，F(xiàn)2( 2，0)， |PF1|sec 22tan22sec22 2sec1， |PF2|sec 22tan22sec22 2sec 1， |PF1| |PF2|2sec2128sec22sec21. |OP|2sec2tan22sec21， |PF1| |PF2|OP|2. 拋物線的參數(shù)方程 設拋物線 y22px 的準線為 l，焦點為 F，頂點為 O，P 為拋物線上任一點，PQl 于 Q，求 QF 與 OP 的交點 M 的軌跡方程. 【思路探究】 解答本題只要解兩條直線方程組成的方程組得到交點的參數(shù)方程，然后化為普通方程即可 【自主解答】 設 P 點的坐標為(2pt2,2p

8、t)(t 為參數(shù))， 當 t0 時， 直線 OP 的方程為 y1tx， QF 的方程為 y2txp2， 它們的交點 M(x，y)由方程組 y1txy2txp2確定， 兩式相乘，消去 t， 得 y22xxp2， 點 M 的軌跡方程為 2x2pxy20(x0) 當 t0 時，M(0,0)滿足題意， 且適合方程 2x2pxy20. 故所求的軌跡方程為 2x2pxy20. 1拋物線 y22px(p0)的參數(shù)方程為 x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))，參數(shù) t 為任意實數(shù)，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù) 2用參數(shù)法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當?shù)膮?shù)作為中間變量， 使動點

9、的坐標分別與參數(shù)有關， 從而得到動點的參數(shù)方程， 然后再消去參數(shù)，化為普通方程 再練一題 3已知拋物線的參數(shù)方程為 x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))，其中 p0，焦點為 F，準線為 l.過拋物線上一點 M 作 l 的垂線，垂足為 E，若|EF|MF|，點 M 的橫坐標是 3，則 p_. 【解析】 根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是 y22px，所以y2M6p，所以 Ep2， 6p ，F(xiàn)p2，0 ，所以p23 p26p，所以 p24p120，解得 p2(負值舍去) 【答案】 2 構建 體系 圓錐曲線的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程 1參數(shù)方程 xcos ，

10、y2sin ( 為參數(shù))化為普通方程為( ) Ax2y241 Bx2y221 Cy2x241 Dy2x241 【解析】 易知 cos x，sin y2， x2y241，故選 A. 【答案】 A 2方程 xcos a，ybcos ( 為參數(shù)，ab0)表示的曲線是( ) A圓 B橢圓 C雙曲線 D雙曲線的一部分 【解析】 由 xcos a，cos ax， 代入 ybcos ，得 xyab， 又由 ybcos 知，y|b|，|b|， 曲線應為雙曲線的一部分 【答案】 D 3圓錐曲線 xt2，y2t(t 為參數(shù))的焦點坐標是_ 【解析】 將參數(shù)方程化為普通方程為 y24x，表示開口向右，焦點在 x 軸

11、正半軸上的拋物線，由 2p4p2，則焦點坐標為(1,0) 【答案】 (1,0) 4在直角坐標系 xOy 中，已知曲線 C1： xt1，y12t(t 為參數(shù))與曲線 C2： xasin ，y3cos ( 為參數(shù)，a0)有一個公共點在 x 軸上，則 a_. 【解析】 xt1，y12t，消去參數(shù) t 得 2xy30. 又 xasin ，y3cos ，消去參數(shù) 得x2a2y291. 方程 2xy30 中，令 y0 得 x32，將32，0 代入x2a2y291，得94a21. 又 a0，a32. 【答案】 32 5已知兩曲線參數(shù)方程分別為 x 5cos ，ysin (0)和 x54t2，yt(tR)，求

12、它們的交點坐標 【解】 將 x 5cos ，ysin (0)化為普通方程得：x25y21(0y1，x 5)， 將 x54t2，yt 代入得：516t4t210， 解得 t245， t2 55(yt0)，x54t254451， 交點坐標為1，2 55. 我還有這些不足： (1) (2) 我的課下提升方案： (1) (2) 學業(yè)分層測評學業(yè)分層測評( (七七) ) (建議用時：45 分鐘) 學業(yè)達標 一、選擇題 1曲線 C： x3cos ，y 5sin ( 為參數(shù))的離心率為( ) A.23 B.35 C.32 D.53 【解析】 由題設，得x29y251， a29，b25，c24， 因此 eca

13、23. 【答案】 A 2已知曲線 x3cos y4sin ( 為參數(shù)，0)上一點 P，原點為 O，直線 PO的傾斜角為4，則 P 點坐標是( ) A(3,4) B.3 22，2 2 C(3，4) D.125，125 【解析】 因為y0 x043tan tan41，所以 tan 34，所以 cos 45，sin 35，代入得 P 點坐標為125，125. 【答案】 D 3參數(shù)方程 xsin2cos2，y 2sin ( 為參數(shù))的普通方程是( ) Ay2x21 Bx2y21 Cy2x21(1y 3) Dy2x21(|x| 2) 【解析】 因為 x21sin ， 所以 sin x21. 又因為 y2

14、2sin 2(x21)， 所以 y2x21. 1sin 1，y2sin ， 1y 3， 普通方程為 y2x21，y1， 3 【答案】 C 4點 P(1,0)到曲線 xt2y2t(參數(shù) tR)上的點的最短距離為( ) A0 B1 C. 2 D2 【解析】 d2(x1)2y2(t21)24t2(t21)2， 由 t20 得 d21，故 dmin1. 【答案】 B 5方程 x2t2ty2t2t(t 為參數(shù))表示的曲線是( ) A雙曲線 B雙曲線的上支 C雙曲線的下支 D圓 【解析】 將參數(shù)方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，得： x2y2(2t2t)2(2t2t)24， 即 y2x24. 又注意到

15、2t0,2t2t2 2t 2t2，得 y2. 可見與以上參數(shù)方程等價的普通方程為： y2x24(y2) 顯然它表示焦點在 y 軸上，以原點為中心的雙曲線的上支 【答案】 B 二、填空題 6已知橢圓的參數(shù)方程 x2cos ty4sin t(t 為參數(shù))，點 M 在橢圓上，對應參數(shù) t3，點 O 為原點，則直線 OM 的斜率為_ 【解析】 由 x2cos31，y4sin32 3， 得點 M 的坐標為(1,2 3) 直線 OM 的斜率 k2 312 3. 【答案】 2 3 7設曲線 C 的參數(shù)方程為 xt，yt2(t 為參數(shù))，若以直角坐標系的原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線 C

16、 的極坐標方程為_ 【解析】 xt，yt2化為普通方程為 yx2，由于 cos x，sin y，所以化為極坐標方程為 sin 2cos2，即 cos2sin 0. 【答案】 cos2sin 0 8在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C1和 C2的參數(shù)方程分別為 xt，y t(t為參數(shù))和 x 2cos ，y 2sin ( 為參數(shù))，則曲線 C1與 C2的交點坐標為_ 【解析】 由 xt，y t，得 y x，又由 x 2cos ，y 2sin ，得 x2y22. 由 y x，x2y22，得 x1，y1， 即曲線 C1與 C2的交點坐標為(1,1) 【答案】 (1,1) 三、解答題 9如圖 2-

17、2- 2 所示，連接原點 O 和拋物線 y12x2上的動點 M，延長 OM 到點 P，使|OM|MP|，求 P 點的軌跡方程，并說明是什么曲線？ 圖 2- 2- 2 【解】 拋物線標準方程為 x22y，其參數(shù)方程為 x2t，y2t2，得 M(2t,2t2) 設 P(x，y)，則 M 是 OP 中點 2tx02，2t2y02， x4ty4t2(t 為參數(shù))， 消去 t 得 y14x2，是以 y 軸對稱軸，焦點為(0,1)的拋物線 10已知直線 l 的極坐標方程是 cos sin 10.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，橢圓 C 的參數(shù)方程是 x2cos y

18、sin ( 為參數(shù))，求直線 l 和橢圓 C 相交所成弦的弦長 【解】 由題意知直線和橢圓方程可化為： xy10， x24y21， 聯(lián)立，消去 y 得：5x28x0， 解得 x10，x285. 設直線與橢圓交于 A、B 兩點， 則 A、B 兩點直角坐標分別為(0,1)，85，35， 則|AB|35128528 25， 故所求的弦長為8 25. 能力提升 1P 為雙曲線 x4sec ，y3tan ( 為參數(shù))上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點，則F1PF2重心的軌跡方程是( ) A9x216y216(y0) B9x216y216(y0) C9x216y21(y0) D9x216y21(y0) 【

19、解析】 由題意知 a4，b3，可得 c5， 故 F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 設 P(4sec ，3tan )，重心 M(x，y)，則 x554sec 343sec ，y003tan 3tan . 從而有 9x216y216(y0) 【答案】 A 2 若曲線 xsin2，ycos 1( 為參數(shù))與直線 xm 相交于不同兩點， 則 m 的取值范圍是( ) AR B(0，) C(0,1) D0,1) 【解析】 將曲線 xsin2，ycos 1 化為普通方程得(y1)2(x1)(0 x1)它是拋物線的一部分，如圖所示，由數(shù)形結合知 0m1. 【答案】 D 3對任意實數(shù)，直線 yxb 與橢圓 x2

20、cos y4sin (02)，恒有公共點，則 b 的取值范圍是_ 【解析】 將(2cos ，4sin )代入 yxb 得： 4sin 2cos b. 恒有公共點，以上方程有解 令 f()4sin 2cos 2 5sin()tan 12， 2 5f()2 5， 2 5b2 5. 【答案】 2 5，2 5 4在直角坐標系 xOy 中，直線 l 的方程為 xy40，曲線 C 的參數(shù)方程為 x 3cos ysin ( 為參數(shù)) (1)已知在極坐標系(與直角坐標系 xOy 取相同的長度單位， 且以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸)中，點 P 的極坐標為4，2，判斷點 P 與直線 l 的位置關系； (2)設點 Q 是曲線 C 上的一個動點，求它到直線 l 的距離的最小值 【解】 (1)把極坐標系下的點 P4，2化為直角坐標，得點(0,4)因為點 P的直角坐標(0,4)滿足直線 l 的方程 xy40，所以點 P 在直線 l 上 (2)因為點 Q 在曲線 C 上，故可設點 Q 的坐標為( 3cos ，sin )，從而點 Q到直線 l 的距離為 d| 3cos sin 4|2 2cos642 2cos62 2，由此得，當 cos61 時，d 取得最小值，且最小值為 2. 最新精品資料