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1、
(時(shí)間：40分鐘 滿分：60分)
1．已知點(diǎn)A在變換T：→＝作用后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3,4)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解 ＝.
設(shè)A(a，b)，則由 ＝，得
所以即A(－2,3)．
2．(20xx·揚(yáng)州調(diào)研測試)已知在一個(gè)二階矩陣M對應(yīng)變換的作用下，點(diǎn)A(1,2)變成了點(diǎn)A′(7,10)，點(diǎn)B(2,0)變成了點(diǎn)B′(2,4)，求矩陣M.
解 設(shè)M＝，
則 ＝， ＝，
即解得所以M＝.
3．(20xx·南京模擬)求曲線C：xy＝1在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到的曲線C1的方程．
解 設(shè)P(x0，y0)
2、為曲線C：xy＝1上的任意一點(diǎn)，
它在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(x，y)．
由 ＝，得
解得
因?yàn)镻(x0，y0)在曲線C：xy＝1上，所以x0y0＝1.
所以×＝1，即x2－y2＝4.
所以所求曲線C1的方程為x2－y2＝4.
4．已知矩陣M＝的一個(gè)特征值為3，求其另一個(gè)特征值．
解 矩陣M的特征多項(xiàng)式為
f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.
因?yàn)棣?＝3為方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1，
由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1，
所以矩陣M的另一個(gè)特征值為－1.
5．求矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量．
解 特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(
3、λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.
由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.
將λ1＝1代入特征方程組，得?x＋y＝0，
可取為屬于特征值λ1＝1的一個(gè)特征向量．
同理，當(dāng)λ2＝3時(shí)，由?x－y＝0，所以可取為屬于特征值λ2＝3的一個(gè)特征向量．
綜上所述，矩陣有兩個(gè)特征值λ1＝1，λ2＝3；屬于λ1＝1的一個(gè)特征向量為，屬于λ2＝3的一個(gè)特征向量為.
6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋y＋2＝0在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值．
解 法一 在直線l：x＋y＋2＝0上取兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0，－2)．
A、B在矩陣M對應(yīng)的變換作用下分別對應(yīng)于點(diǎn)A′、B′.
因?yàn)?＝，
所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(－2，－2b)；
＝，所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－2a，－8)．
由題意，點(diǎn)A′、B′在直線m：x－y－4＝0上，
所以
解得a＝2，b＝3.
法二 設(shè)P(x，y)為直線x＋y＋2＝0上的任意一點(diǎn)，它在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(x′，y′)，
則＝，
得解得
因此＋＋2＝0，
即(b－4)x′＋(a－1)y′＋(2ab－8)＝0.
因?yàn)橹本€l在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0.所以＝＝.解得a＝2，b＝3.
高考理科數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)測試題8
