高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意的三角函數(shù) 1.2.1 第2課時 三角函數(shù)線及其應用學案 新人教A版必修4

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1、 第2課時　三角函數(shù)線及其應用 學習目標：1.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切．(重點)2.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．(難點) [自 主 預 習·探 新 知] 1．有向線段 (1)定義：帶有方向的線段． (2)表示：用大寫字母表示，如有向線段OM，MP. 2．三角函數(shù)線 (1)作圖：①α的終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直于x軸，垂足為M. ②過A(1,0)作x軸的垂線，交α的終邊或其反向延長線于點T. (2)圖示： 圖1­2­3 (3)結(jié)論：有向線段MP、OM、AT，分別叫做角α的正弦

2、線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)角α的正弦線的長度等于sin α.(　　) (2)當角α的終邊在y軸上時，角α的正切線不存在．(　　) (3)余弦線和正切線的始點都是原點．(　　) [解析]　(1)錯誤．角α的正弦線的長度等于|sin α|. (2)正確． (3)錯誤．正切線的始點是(1,0)． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．角和角有相同的(　　) A．正弦線　 B．余弦線 C．正切線 D．不能確定 C　[角和角的終邊互為反向延長線，所以正切線相同．] 3．如圖1­2­4

3、，在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是(　　) 圖1­2­4 A．正弦線MP，正切線A′T′ B．正弦線MP，正切線A′T′ C．正弦線MP，正切線AT D．正弦線MP，正切線AT C　[α為第三象限角，故正弦線為MP，正切線為AT，C正確．] [合 作 探 究·攻 重 難] 作已知角的三角函數(shù)線 　作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線． (1)－；(2)；(3). [解]　如圖． 其中MP為正弦線，OM為余弦線，AT為正切線． [規(guī)律方法]　三角函數(shù)線的畫法 (1)作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，

4、然后過此交點作x軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線. (2)作正切線時，應從A(1，0)點引x軸的垂線，交α的終邊(α為第一或第四象限角)或α終邊的反向延長線(α為第二或第三象限角)于點T，即可得到正切線AT. [跟蹤訓練] 1．作出－的正弦線、余弦線和正切線． [解]　如圖： sin＝MP， cos＝OM， tan＝AT. 利用三角函數(shù)線解三角不等式 [探究問題] 1．利用三角函數(shù)線如何解答形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)的不等式？ 提示：對形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1) 的不等式： 畫出如圖①所示的單位圓；在y軸上截取O

5、M＝a，過點(0，a)作y軸的垂線交單位圓于兩點P和P′，并作射線OP和OP′；寫出終邊在OP和OP′上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足不等式sin α≤a的角α的范圍，其余部分即為滿足不等式sin α≥a的角α的范圍． 圖① 2．利用三角函數(shù)線如何解答形如cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)的不等式？ 提示：對形如cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)的不等式： 畫出如圖②所示的單位圓；在x軸上截取OM＝a，過點(a,0)作x軸的垂線交單位圓于兩點P和P′，作射線OP和OP′；寫出終邊在OP和OP′上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足不等式cos α≤a的角α的范圍，

6、其余部分即為滿足不等式cos α≥a的角α的范圍． 圖② 　利用三角函數(shù)線確定滿足下列條件的角α的取值范圍． (1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤. [思路探究]　―→―→ [解]　(1)如圖，由余弦線知角α的取值范圍是. (2)如圖，由正切線知角α的取值范圍是. (3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤. 如圖，由正弦線知角α的取值范圍是. [規(guī)律方法]　利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式的方法 (1)首先作出單位圓，然后根據(jù)各問題的約束條件，利用三角函數(shù)線畫出角α滿足條件的終邊的位置. (2)角的終邊與單位圓交點的橫坐標是

7、該角的余弦值，與單位圓交點的縱坐標是該角的正弦值. (3)寫角的范圍時，抓住邊界值，然后再注意角的范圍的寫法要求. 提醒：在一定范圍內(nèi)先找出符合條件的角，再用終邊相同的角的表達式寫出符合條件的所有角的集合. 母題探究：1.將本例(1)的不等式改為“cos α＜”，求α的取值范圍． [解]　如圖，由余弦線知角α的取值范圍是. 2．將本例(3)的不等式改為“－≤sin θ＜”求α的取值范圍． [解]　由三角函數(shù)線可知sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sin θ＜，故θ的取值集合是∪(k∈Z). 利用三角函數(shù)線比較大小 　(1)已知cos α＞cos β，那么下列結(jié)

8、論成立的是(　　) A．若α、β是第一象限角，則sin α＞sin β B．若α、β是第二象限角，則tan α＞tan β C．若α、β是第三象限角，則sin α＞sin β D．若α、β是第四象限角，則tan α＞tan β (2)利用三角函數(shù)線比較sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小. [思路探究]　(1)→ (2) → (1)D　[由圖(1)可知，cos α＞cos β時，sin α＜sin β，故A錯誤； 圖(1) 由圖(2)可知，cos α＞cos β時，tan α＜tan β，故B錯誤； 圖(2) 由圖(3)可知，cos α＞cos

9、 β時，sin α＜sin β，C錯誤； 圖(3) 由圖(4)可知，cos α＞cos β時，tan α＞tan β，D正確．] 圖(4) (2)如圖，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′. 顯然|MP|＞|M′P′|，符號皆正， ∴sin＞sin； |OM|＜|OM′|，符號皆負，∴cos＞cos； |AT|＞|AT′|，符號皆負，∴tan＜tan. [規(guī)律方法]　(1)利用三角函數(shù)線比較大小的步驟： ①角的位置要“對號入座”； ②比較三角函數(shù)線的長度； ③確定有向線段的正負. (2)利用三角函數(shù)線比較函

10、數(shù)值大小的關鍵及注意點： ①關鍵：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線. ②注意點：比較大小，既要注意三角函數(shù)線的長短，又要注意方向. [跟蹤訓練] 2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　　　　　 B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c D　[由如圖的三角函數(shù)線知： MP＜AT，因為＞＝， 所以MP＞OM， 所以cos＜sin＜tan， 所以b＜a＜c.] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．如果OM，MP分別是角α＝余弦線和正弦線，那么下列結(jié)論正確的是 (　　) A．MP＜OM＜0　　　 B．MP＜0＜

11、OM C．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0 D　[角β＝的余弦線正弦線相等，結(jié)合圖象可知角α＝的余弦線和正弦線滿足OM＞MP＞0.] 2．若角α的余弦線是單位長度的有向線段，那么角α終邊在(　　) A．y軸上 B．x軸上 C．直線y＝x上 D．直線y＝－x上 B　[由已知得，角α的終邊與單位圓的交點坐標為(－1,0)或(1,0)，在x軸上．] 3．利用正弦線比較sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小關系是(　　) A．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5 B．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2 C．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1

12、 D．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5 C　[如圖，畫出已知三個角的正弦線，觀察可知sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1.] 4．若a＝sin 4，b＝cos 4，則a，b的大小關系為________． a＜b　[因為＜4＜， 畫出4弧度角的正弦線和余弦弦(如圖)， 觀察可知sin 4＜cos 4，即a＜b.] 5．在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫出角α的集合． (1)sin α≥；(2)cos α≤－. [解]　(1)作直線y＝交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則角α的終邊在如圖①所示的陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)，角α的取值集合為. 圖①　　 　　　　　圖② (2)作直線x＝－交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則角α的終邊在如圖②所示的陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)，角α的取值集合為. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375