2019-2020年高中數學《變化率與導數-平均變化率》教案4 新人教A版選修1-1.doc

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2019-2020年高中數學《變化率與導數-平均變化率》教案4 新人教A版選修1-1 一. 教材依據 平均變化率 二. 設計思想 指導思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考慮問題的思考方法． 設計理念：為了描述現實世界中運動、過程等變化著的現象，在數學中引入了函數．隨著對函數的深入研究，產生了微積分．導數概念是微積分的基本概念之一，導數是對事物變化快慢的一種描述，是研究客觀事物變化率和優(yōu)化問題的有力工具．理解和掌握導數的思想和本質顯得非常重要．正如《數學課程標準（實驗）解讀》中所說的，以前是，“先講極限概念，把導數作為一種特殊極限來講，于是，形式化的極限概念就成了學生學習的障礙，嚴重影響了對導數思想和本質的認識和理解；”“…．這樣造成的結果是：因為存在著夾生飯現象，大學不歡迎；中學感受不到學導數的好處，反而加重了學生的負擔，因此也不歡迎．” 故為了讓學生充分認識導數的思想和本質，先要理解和掌握平均變化率的概念．在設計這節(jié)課時，我把重點放在（1）通過大量實例，讓學生明白變化率在實際生活中的需要，探究和體驗平均變化率的實際意義和數學意義；（2）掌握平均變化率的概念，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法． 學情分析：我們學校是我市的重點學校，我教的班是政治普通班，學生的基礎總體上可以，有個別學生在學習數學時有點困難，他們覺得數學就是太抽象了，所以在教學時要照顧中下的學生，為了加深學生對導數概念的印象，增加上課的氣氛，我事先買了兩個氣球，在上課時準備請兩學生上來吹，并讓他們談談隨著氣球內空氣容量的增加，氣球半徑變化情況．另我校一節(jié)課是40分鐘. 三. 教學目標 1. 通過實例，讓學生明白變化率在實際生活中的需要，探究和體驗平均變化率的實際意義和數學意義； 2. 掌握平均變化率的概念及其計算步驟，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法； 3. 掌握求函數在指定區(qū)間上的平均變化率，能利用平均變化率解析生活中的實際問題； 4. 通過分析實例，初步探究由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，讓學生體會用已知探究未知的思考方法． 四. 教學重點 1. 通過實例，讓學生明白變化率在實際生活中的需要，探究和體驗平均變化率的實際意義和數學意義； 2. 掌握平均變化率的概念，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法； 五. 教學難點 1. 如何從數學的角度描述吹氣球過程中的現象“隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢？” 2. 掌握平均變化率的概念，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法； 六. 教學準備 1. 認真閱讀教材、教參，尋找有關資料； 2. 向有經驗的同事請教； 3. 從成績好的學生那里了解他們預習的情況和困惑的地方． 七. 教學過程 1. 教學基本流程： 通過實例分析，激發(fā)求知欲 學生思考、討論，提出想法 得出平均變化率的概念 通過例題和練習，進一步理解函數平均變化率 小結 布置作業(yè) 2. 教學情景設計 問題 設計意圖 師生活動 備注（練習、時間（分鐘）） （1）讓學生閱讀章引言，并思考章引言寫了幾層意思？ 讓學生對這章書先有一個大概認識，從而使學生學習有了方向，能更好地進行以下學習． （1） 學生先閱讀，思考，老師再提示； （2） 章引言：①以簡潔的話語指明函數和微積分的關系，微積分的研究對象就是函數，正是對函數的深入研究導致了微積分的產生；②從數學史的角度，概括地介紹與微積分創(chuàng)立密切相關的四類問題以及做出巨大貢獻的科學家；③概述本章的主要內容，以及導數工具的作用和價值． 3 （2）氣球膨脹率問題： 老師準備了兩個氣球，請兩位同學出來吹，請觀看同學談談看見的情景；再請吹氣球同學談談吹氣球過程的感受，開始與結束感受是否有區(qū)別？ （1） 讓學生吹氣球，可以增加課堂氣氛，同時加深學習導數的印象． （2） 對一種生活現象的數學解析，可以激發(fā)學生深入探究的興趣，而且讓學生感到數學是有用的. （3） 學生演示吹氣球過程，談過程，老師點評． （4） 得出結論：隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢． 2.5 （3）現象“隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”，從數學的角度該如何描述？ （1）讓學生充分思考、討論，體會把通俗語言轉化為數學語言，用數字說明問題的過程. （2）使學生感受到數學知識的產生發(fā)展是自然的，并非強加于人的，從而激發(fā)他們學習的興趣與愿望. （3）使學生逐漸掌握數學研究的基本思考方式和方法. （１）組織學生討論問題，闡述想法； （２）引導學生“以已知探求未知”，從氣球體積出發(fā)，尋求想法； （３）師生共同確定想法：①氣球體積V與氣球半徑r之間的關系；②＂隨著氣球體積的增大，當氣球體積增加量相同時，相應半徑的增加量越來越小＂，從數學角度進行描述就是，“隨著氣球體積的增大，比值越來越小”．③比值就是氣球的平均膨脹率． 4 （4）請分別計算Ｖ從０增加到１Ｌ時，從１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨脹率 . （1）讓學生體會需要用數字來說明問題； （2）讓學生感受氣球膨脹率大小的變化，從而體會平均膨脹率可以刻劃氣球半徑變化的快慢． （1） 學生計算，交流計算結果，并討論結果代表的意思； 2.5 （5） “思考” 讓學生體會從特殊到一般，從具體到抽象的思考過程. 當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是 0.5 （6）高臺跳水問題： 在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在怎樣的函數關系？ （1） 老師可以表演從凳子上跳下來，模擬高臺跳水，以加深學生學習導數這一章的印象，使學生學習完本章知識后，能在頭腦中保留一個導數的實際模型——高臺跳水，以使抽象概念具體化； （2） 針對具體問題，尋求解決問題的方法. 引導學生列出關系式：h(t)=-4.9t2+6.5t+10． 2 （7）如何計算運動員的平均速度？并分別計算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，時間段里的平均速度. 再次通過計算，理解平均變化率. 學生計算，交流計算結果，并討論結果代表的意思． 2 （8）思考“探究”. （1）該探究題的第一問的結果是平均速度為0，但實際上并不是這樣，問題在哪里？ （2）這個探究設計得好，為以下提出導數概念做了鋪墊. （3）這里的“探究”會讓學生感受到進一步探究、學習的必要性，為從平均變化率到瞬時變化率（即導數）做好準備，為建立導數概念營造了一個良好的問題情境. （4）讓學生就此探究進行思考、展開討論，激發(fā)他們的認知需求，自然地進入導數概念的學習. （1）讓學生親自計算和思考，展開討論； （2）老師慢慢引導學生說出自己的發(fā)現，并初步修正到最終的結論上. （3）得到結論是：①平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運動狀態(tài). ②需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)； 7.5 （9）引出函數平均變化率的概念．找出求函數平均變化率的步驟. （1）函數的平均變化率既是本節(jié)難點，也是重點.要詳細給學生分析； （2）讓學生在經歷從實例到抽象概括出變化率的過程中，感受數學的思想，認識數學的本質，主動參與數學教學活動的基本理念. （3）掌握平均變化率的概念，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法. （1） 師生一起討論、分析，得出結果； （2） 計算平均變化率的步驟：①求自變量的增量Δx=x2-x1；②求函數的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均變化率. （3） 注意：①Δx是一個整體符號，而不是Δ與x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1； 3 （10）補充實例1～４，練習 （1）要增加一些實例，豐富導數概念的實際背景，讓學生加深印象. （2）學生初次接觸平均變化率及其符號表示，多舉例子讓學生鞏固對這個概念的理解. （１）老師板書一個例１過程； （２）請個別學生出黑板寫　　　　過程 （３）老師講評． 12 （12）讓學生進行課堂小結. （1）要提問學生，讓學生學會自主小結，自主學習. （2）最后老師加以補充與完善. （1） 隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢，即隨著氣球體積的增大，比值氣球膨脹率越來越??； （2） 平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運動狀態(tài)； （3） 函數的平均變化率的概念； （4） 求函數的平均變化率的步驟； （5） 課后思考問題：需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)，那么該量應如何定義？ （6） 思考問題方法：從實際生活到數學語言，數學概念． 2.5 （13）作業(yè)：①看書，復習今天內容；②思考問題：如何能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)？需要增加什么量？③做書P86A1；④預習下節(jié)內容. （1）當天知識，當天消化，是很重要的，故要求學生當天做好復習； （2）預習新內容同樣是學習的一個重要環(huán)節(jié). 學生課后完成. 0.5 補充實例 例１　在經營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經營成果？ 變式：在經營某商品中，甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經營成果？ 例２　情境：現有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載. 時間 3月18日 4月18日 4月20日 日最高氣溫 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃ 觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為： 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) 溫度T (℃) 2 10 時間t（d） 思考 1：“氣溫陡增”是一句生活用語，若從數學角度描述，那該如何描述？ 2：如何從數學角度說明曲線上升的陡峭程度？ 甲 乙 例３ 水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積 V(t)=52-0.1t（單位：），計算第一個10s內V的平均變化率． 例4 已知函數，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 練習 1、某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月，從第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率． 6 3 9 12 T(月) 3.5 6.5 8.6 11 W(kg) 2、已知函數f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分別計算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均變化率． 思考：y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點？ 八. 教學反思 1. 按照教參上的意思，約用1~2節(jié)課完成變化率的講授，但我覺得我們學校應該可以用1節(jié)課完成，所以我是用1節(jié)課完成的，實際上能按計劃完成. 2. 在閱讀教參時，感覺到高臺跳水模型的重要性，故我設想了一個高臺跳水模型——就是從凳子上跳下來了．從學生反映來說，效果是可以的，而且還有學生說，讓他們吹氣球做法好. 3. 導數確實是個很重要的工具，所以與導數概念教學有關的平均變化率問題講授顯得很重要.