立體幾何中的向量方法(一)PPT

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1、-直線的方向向量與平面的法向量3.2立 體 幾 何 中 的 向 量 方 法 上一節(jié),我們把向量從平面推廣到空間,并利用空間向量解決了一些立體幾何問(wèn)題.本節(jié)我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何中的向量方法. 立體幾何研究的基本對(duì)象是點(diǎn)、直線、平面以及由它們組成的空間圖形.為了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題,首先必須把點(diǎn)、直線、平面的位置用向量表示出來(lái).思 考如 何 確 定 一 個(gè) 點(diǎn) 在 空 間 的 位 置 ?在 空 間 中 給 一 個(gè)定 點(diǎn) A和 一 個(gè) 定 方 向 (向 量 ),能 確 定 一 條 直 線 在 空間 的 位 置 嗎 ?給 一 個(gè) 定 點(diǎn) 和 兩 個(gè) 定 方 向 (向 量 ),能確 定 一 個(gè)

2、平 面 在 空 間 的 位 置 嗎 ?給 一 個(gè) 定 點(diǎn) 和 一個(gè) 定 方 向 (向 量 ),能 確 定 一 個(gè) 平 面 在 空 間 的 位 置 嗎 ? 的位置向量。點(diǎn)稱為來(lái)表示。我們把向量向量的位置就可以用那么空間中任意一點(diǎn)作為基點(diǎn)，點(diǎn)在空間中，我們?nèi)∫欢≒ OPOP P OA P1、點(diǎn)的位置向量 以及一個(gè)定方向確定。一個(gè)定點(diǎn)上的位置可以由空間中任意一條直線A lla A B P ABtAP 2、直線的方向向量這樣,點(diǎn)A和向量 不僅可以確定直線l的位置,還可以具體表示出l上的任意一點(diǎn).a 相交直線來(lái)確定。內(nèi)兩條的位置可以由空間中平面 ob a PbyaxOP 3、平面的法向量這樣,點(diǎn)O與向量

3、不僅可以確定平面 的位置,還可以具體表示出 內(nèi)的任意一點(diǎn),a b 法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a ，如果a ，那么向量a叫做平面的法向量 la類似于直線的方向向量，還可以用平面的法向量表示空間中平面的位置問(wèn)題：法向量如何確定平面的位置？A給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么，過(guò)點(diǎn)A,以向量a為法向量的平面是完全確定的。 問(wèn)題：如何求平面的法向量？),()1( zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2( 222111 cbabcbaa 向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的 00 ,)3( bn an zyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個(gè)解

4、，即得法向量。解方程組，取其中的一)4( (2,2,1), (4,5,3), AB ACABC 例：已知求平面的單位法向量。(2,2,1) 0 (4,5,3) 0,12 2 0 , 1 24 5 3 0 1 1 3( , 1,1),| |2 2 1 2 2 ( -3 3 3n x y zn AB n ACx y z x y zx y z xzx y z yn nABC 設(shè)平面的法向量為（，），則，（，），（，）即取，得求平面的單位法向量為，） 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系。4、法向量的

5、運(yùn)用 例1 (1)設(shè) 分別是直線 的方向向量,根據(jù)下列條件判斷 與 的位置關(guān)系: a b 1l 1 2l l2l(2,3, 1), ( 6, 9,3)a b (5,0,2), (0,4,0)a b ( 2,1,4), (6,3,3)a b 分析:直線方向向量與直線位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系 1 2 1 2;l l a b l l a b 平 行 垂 直 相 交 或 異 面 例1 (2)設(shè) 分別是平面 的法向量,根據(jù)下列條件判斷 與 的位置關(guān)系: u v 1(1, 1,2), (3,2, )2u v (0,3,0), (0, 5,0)u v (2, 3,4), (4, 2,1)u v

6、分析:平面法向量與兩平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系;u v u v 垂 直 平 行 相 交 (不 垂 直 ) 分析:直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直線與平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系;l a u l a u 例1 (3)設(shè) 是平面 的法向量, 是直線 的方向向量,根據(jù)下列條件判斷 與 的位置關(guān)系: u (2,2, 1), ( 3,4,2)u a (0,2, 3), (0, 8,12)u a (4,1,5), (2, 1,0)u a a ll 垂 直 相 交 (斜 交 )l l 或 例2 已知平面 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),試求

7、平面 的一個(gè)法向量. 解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)設(shè)平面 的法向量是依題意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2平面 的一個(gè)法向量是 (1, 2, 4), (2, 4, 3)AB AC ( , , )n x y z0 0n AB n AC 且2 4 02 4 3 0 x y zx y z (2,1,0)n 例3 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.已知:直線m,n是平面 內(nèi)的任意兩條相交直線,且l m,l n.求證:l 證明:設(shè)直線l,m,n的方向向量分別為因?yàn)閘 m,l n,所以 同理因?yàn)閙,n ,且m,n相交,所以 內(nèi)任一直線的方向向量 可以表示為 因?yàn)樗?與 內(nèi)任一直線垂直. 因此 , ,a b c , 0a b a b 0a c p , ,p xb yc x y R ( ) ( ) ( ) 0a p a xb yc x a b y a c l l 小 結(jié)1.直線的方向向量和平面的法向量是用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的兩個(gè)重要工具,是實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題的向量方法的媒介.2.要熟練掌握用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)研究直線、平面之間關(guān)系的原理與方法,特別是直線、平面的位置關(guān)系與方向向量、法向量之間的聯(lián)系. P104 練習(xí) 1 2 P111 習(xí)題3.2 2 作 業(yè)