數(shù)字信號處理（西電版）03-第三章離散時間系統(tǒng)的變換域分析

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,第三章 離散時間系統(tǒng)的變換域分析,本章目錄,系統(tǒng)函數(shù),序列線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng),無限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)和有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng),Matlab,實現(xiàn),2,3.1 引言,系統(tǒng)的特性包括,:,線性、時不變性、因果性、穩(wěn)定性,離散時間系統(tǒng)的分析：,時域、變換域,離散時間系統(tǒng)分析主要內(nèi)容,系統(tǒng)的變換域分析,系統(tǒng)函數(shù),頻率響應(yīng),3,3.2 系統(tǒng)函數(shù),系統(tǒng)函數(shù),定義,系統(tǒng)的零極點對系統(tǒng)特性的影響,系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,4,3.2.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義,系統(tǒng)函數(shù)的定義,系統(tǒng)函數(shù),H,(,z,),:,表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入序列

2、,z,變換的比值,線性時不變系統(tǒng),5,研究N階差分方程的系統(tǒng),因果輸入序列，零初始狀態(tài)，差分方程取,z,變換,可見，,H,(,z,)與,h,(,n,)是一對,z,變換,LTI系統(tǒng)輸入和輸出滿足,6,三種表征離散時間系統(tǒng)的方法,單位脈沖響應(yīng),h,(,n,):,時域,系統(tǒng)函數(shù),H,(,z,):,Z域,差分方,程:,時域,7,例,利用系統(tǒng)函數(shù)變換域求解,例3.,因果離散時間系統(tǒng)的差分方程,y,(,n,)-3,y,(,n,-1)+2,y,(,n,-2)=,x,(,n,)+2,x,(,n,-1)，求單位脈沖響應(yīng),h,(,n,)。,解,：,設(shè)初始狀態(tài)為零，對差分方程進行,z,變換,展開為局部分式,h,(,

3、n,)為因果序列。對,H,(,z,)取逆,z,變換，得,8,3.2.2 系統(tǒng)的零極點對系統(tǒng)特性的影響,對式(3.2)分子、分母多項式進行因式分解,H,(,z,)在,z,=,c,r,處有零點，在,z,=,d,k,處有極點,N,M,時，在,z,=0處有一個(,N,-,M,)階零點,零點和極點分別由差分方程的系數(shù),b,r,和,a,k,決定,除常數(shù)A外，系統(tǒng)函數(shù)完全由全部零極點唯一確定,零、極點是描述系統(tǒng)的方法，因為系統(tǒng)的零、極點分布，就可以大致了解系統(tǒng)的性能,9,單階極點對系統(tǒng)的影響,假設(shè)有一個實極點d=，那么分母多項式中有因子(z-)，所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為,假設(shè)有一對共軛極點 ，那么D(

4、z)有因子 ，所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為 ，其中K，為常數(shù)，與零點的分布有關(guān)。,10,系統(tǒng)函數(shù)的極點與對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng),當(dāng)極點位于,單位圓內(nèi),時，|,|,1，當(dāng),n,時，單位脈沖響應(yīng)序列,h,(,n,)趨于零，為收斂序列；,當(dāng)極點位于,單位圓上,時，|,|=,1，單位脈沖響應(yīng)序列,h,(,n,)的幅度不隨變化，為穩(wěn)定序列；,當(dāng)極點位于,單位圓外,時，|,|,1，當(dāng),n,時，單位脈沖響應(yīng)序列,h,(,n,)的幅度隨,n,增大而增大，為發(fā)散序列。,11,多階極點對系統(tǒng)的影響,假設(shè)有一個r 階實極點d=，那么分母多項式中有因子(z-)，所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為,當(dāng)極點位于單位圓內(nèi)時，|,

5、|,1，當(dāng),n,時，單位脈沖響應(yīng)序列,h,(,n,)趨于零，為收斂序列；,當(dāng)極點位于單位圓上時，|,|=,1，由于有因子,n,i,，單位脈沖響應(yīng)序列的幅度隨的增大而增大，為發(fā)散序列,；,當(dāng)極點位于單位圓外時，|,|,1，當(dāng),n,時，單位脈沖響應(yīng)序列,h,(,n,)的幅度隨,n,增大而增大，為發(fā)散序列。,假設(shè)有一對共軛極點 ，那么所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列形式為 ，其中i=0，1，2，r-1。,12,零極點對系統(tǒng)影響的結(jié)論,離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列,h,(,n,)可由,H,(,z,)的零、極點確定。零點只影響,h,(,n,)的幅度與相位，極點的分布影響,h,(,n,)的形狀。,H,(,z,)

6、在單位圓內(nèi)的極點所對應(yīng)的,h,(,n,)都是衰減的，當(dāng),n,時，序列的值趨于零，,h,(,n,)是收斂序列，因此極點全部在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,H,(,z,)在單位圓上的一階極點所對應(yīng)的,h,(,n,)的幅度不隨變化，其對應(yīng)的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。,H,(,z,)在單位圓上的二階及二階以上的極點，或在單位圓外的極點所對應(yīng)的,h,(,n,)隨的增大而增大，當(dāng),n,時，序列值趨于無限大，,h,(,n,)是發(fā)散序列，這樣的系統(tǒng)是非穩(wěn)定系統(tǒng)。,13,3.2.3 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)出發(fā)，討論判斷系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的充分必要條件。,如何根據(jù)H(z)判斷系統(tǒng)的因果性和

7、穩(wěn)定性?,一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須在某個圓的外部，該圓經(jīng)過H(z)的離原點最遠的極點，而且收斂域必須包含單位圓。即,Rx-|z|+，0Rx-1 (3.6),如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點都在單位圓內(nèi)，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，那么系統(tǒng)的所有極點都在單位圓內(nèi)。,14,例：分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,例3.3 一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試確定系統(tǒng)的收斂域，并分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。,解：,對,H,(,z,)的分母進行因式分解得,極點為-0.25，-0.5；零點為0，0.5，如圖3.3所示。,兩個極點把平面劃分為三個區(qū)域，所以,H,(,z,)的收斂域有三種可能的情況

8、，下面分別進行討論。,15,討論圖3.3中,H,(,z,),的收斂域,如果收斂域是極點-0.5所在的圓的外部區(qū)域，收斂域包含,點，有 ，因此系統(tǒng)是因果的。系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為,0.5|,z,|+,，而且包含單位圓，所以對應(yīng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,如果收斂域是極點-0.25所在的圓的內(nèi)部區(qū)域，有 ，因此系統(tǒng)是逆因果的，收斂域為,0|,z,|0.25,。收斂域不包含單位圓，所以對應(yīng)系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。,如果收斂域是極點-0.25和-0.5所在的兩個圓之間的環(huán)域，即,0.25|,z,|,0.5，收斂域不包含點，單位圓也沒有位于收斂域內(nèi)，所以對應(yīng)系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定的。,16,3.3 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng),頻率

9、響應(yīng)的定義,頻率響應(yīng)的幾何確定法,全通系統(tǒng),最小相位系統(tǒng),17,3.3.1,頻率響應(yīng)的定義,設(shè)輸入序列是頻率為,的復(fù)指數(shù)序列，由線性卷積公式，得到系統(tǒng)的響應(yīng),頻率響應(yīng)的定義,當(dāng)離散線性時不變系統(tǒng)的輸入是頻率為,的復(fù)指數(shù)序列時，輸出為同頻率的復(fù)指數(shù)序列乘以加權(quán)函數(shù),H,(,)。,H,(,)反映復(fù)指數(shù)序列通過系統(tǒng)后幅度和相位隨頻率,的變化,H,(,)是一個與系統(tǒng)的特性有關(guān)的量，稱為單位脈沖響應(yīng)為,h,(,n,)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。,18,H,(,)與,H,(z),頻率響應(yīng),H,(,)在數(shù)值上等于,H,(,z,)在,z,平面單位圓上的取值。,如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)，那么可求得其頻率響應(yīng)，即,19,H,(

10、,),的表示,復(fù)函數(shù),H,(,)是以2為周期的連續(xù)周期函數(shù)，用實部和虛部表示為,H,(,)用幅度與相位表示為,H,(,),的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng),20,正弦輸入序列的系統(tǒng)頻率響應(yīng),可見，當(dāng)離散線性時不變系統(tǒng)輸入正弦序列時，輸出為同頻率的正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度|,H,(,)|的加權(quán)，而相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。,21,3.3.2,頻率響應(yīng)的幾何確定法,根據(jù)式(3.9)得知，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)完全由,H,(,z,)的零、極點確定。由式(3.9)得系統(tǒng)的頻率響應(yīng),零點矢量,：,極點矢量：,矢量的模即矢量長度；矢量的幅角對應(yīng)矢量與正實軸的夾角。,22,幾何確定法,式(3.14)可表示,幅度響

11、應(yīng),等于各零點矢量長度之積除以各極點矢量長度之積，再乘以常數(shù),A,相位響應(yīng),等于各零點矢量的幅角之和減去各極點矢量的幅角之和，再加上線性分量,(,N-M,)。,23,幾何確定圖示,24,零點位置對頻率響應(yīng)的影響,零點位置:主要影響幅度響應(yīng)的谷點值及形狀。當(dāng)E點旋轉(zhuǎn)到某個零點cr 附近時，如果零點矢量長度Ar 最短，那么幅度響應(yīng)在該點可能出現(xiàn)谷點；零點cr 越靠近單位圓，Ar 越短，那么谷點越接近零；如果零點cr 在單位圓上，Ar=0，那么谷點為零。,極點位置:主要影響幅度響應(yīng)的峰值及鋒利程度。當(dāng)E點旋轉(zhuǎn)到某個極點dk附近時，如果極點矢量長度Bk最短，那么幅度響應(yīng)在該點可能出現(xiàn)峰值；極點dk越靠

12、近單位圓，Bk越短，那么幅度響應(yīng)在峰值附近越鋒利；如果極點dk在單位圓上，Bk=0，那么幅度響應(yīng)的峰值趨于無窮大，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。,25,小結(jié),單位圓附近的零點位置對幅度響應(yīng)凹谷的位置和深度有明顯的影響，零點可在單位圓外。,在單位圓內(nèi)且靠近單位圓附近的極點對幅度響應(yīng)的凸峰的位置和深度那么有明顯的影響，極點在單位圓外，那么不穩(wěn)定。,利用直觀的幾何確定法，適當(dāng)?shù)乜刂屏?、極點的分布，就能改變系統(tǒng)頻率響應(yīng)的特性，到達預(yù)期的要求，因此它是一種非常有用的分析系統(tǒng)的方法。,26,例：梳狀濾波器,例3.6 一個系統(tǒng)函數(shù) ，試定性畫出系統(tǒng)的幅度響應(yīng)曲線。,解：,一個,N,階極點,z,=0，不影響幅度響應(yīng),N,個

13、一階零點等間隔分布在單位圓上，由分子多項式的根決定。,當(dāng),從0變化到2時，每遇到一個零點幅度為零；,兩個零點之間幅度由零逐漸增大，在零點中間幅度最大，形成峰值，再逐漸減少至零。,幅度谷點頻率為,k,=2,k,/,N,27,3.3.3 全通系統(tǒng),定義,：,系統(tǒng)幅度響應(yīng)|,H,(,)|在所有頻率下均為常數(shù).,頻率響應(yīng),零點與極點有共軛倒數(shù)關(guān)系，一般形式,28,例：二階全通系統(tǒng),例3.7 設(shè)二階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，并畫出相應(yīng)曲線。,解：,29,3.5 Matlab實現(xiàn),系統(tǒng)函數(shù)的Matlab計算,利用系統(tǒng)函數(shù)求解系統(tǒng)輸出的Matlab實現(xiàn),利用Matlab計算系統(tǒng)頻率響應(yīng),30

14、,3.5.1 系統(tǒng)函數(shù)的Matlab計算,函數(shù)tf2zp和zp2tf:用于系統(tǒng)函數(shù)不同形式間轉(zhuǎn)換,。,函數(shù)tf2zp:確定有理z變換式的零極點和增益,z,p,k=tf2zp(b,a);,輸入?yún)?shù),:,b=,b,0，,b,1，,b,M為分子多項式的系數(shù),a=,a,0,a,1,a,N為分母多項式的系數(shù)，都按,z,的降冪排列;,輸出參數(shù),:,z,是,z,變換的零點，,p,是極點，,k,是增益,。,函數(shù)zp2tf,:,由z變換的零極點和增益確定z變換式的系數(shù),b,a=zp2tf(z,p,k);,31,例：計算Z變換,例3.10,線性時不變系統(tǒng)的差分方程為,y,(,n,)-,y,(,n-,1)+0.5,

15、y,(,n-,2)=2,x,(,n,)+1.5,x,(,n-,1)，求其,z,變換，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解:由差分方程得到系統(tǒng)函數(shù),b=2,1.5,0;a=1,-1,0.5;%系統(tǒng)函數(shù)多項式的系數(shù),z,p,k=tf2zp(b,a);%求零點、極點和增益,disp(零點:);disp(z);disp(極點:);disp(p);disp(增益:);disp(k);,zplane(z,p);%畫零、極點圖,axis(-1.25,1.25,-1.25,1.25);%標示坐標,程序運行結(jié)果為,零點:0 -0.7500,極點:0.5000-0.5000i 0.5000+0.5000i,增益:2,32,例

16、：計算Z變換,第二行調(diào)用函數(shù)z,p,k=tf2zp(b,a)，確定系統(tǒng)函數(shù)的零點、極點和增益。,第六行使用函數(shù)zplane畫出零點、極點及單位圓。,由圖3.10系統(tǒng)的零、極點分布可知，全部極點都位于單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,33,3.5.2 利用系統(tǒng)函數(shù)解系統(tǒng)輸出的Matlab實現(xiàn),例3.11 系統(tǒng)函數(shù)為 ，求輸入序列x(n)=2，-1，0.25 時系統(tǒng)的輸出。,解:輸入序列表示為,x,(,n,)=2,(,n,)-,(,n,-1)+0.25,(,n,-2),H,(,z,)的系數(shù),b,=-2，,a,=1，-0.75，-0.25，0.1875，,x,=2，-1，0.25，可以用函數(shù)conv來計算多項式乘法，以確定,Y,(,z,)的系數(shù),B,和,A,=,a,，然后利用函數(shù)residuez求留數(shù)和極點等。,34,求輸出序列表示式的,Matlab程序段,x=2,-1,0.25;,nfx=length(x)-1;%計算輸入序列的終止時間,b=-2;a=1,-0.75,-0.25,0.1875;%系統(tǒng)函數(shù)多項式的系數(shù),B=conv(b,x);A=a;%確定Y(z)的系數(shù),r,p,c=residu