空間幾何體的三視圖和直觀圖

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1、1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖 13 自我檢測 1.已知△ ABC選定的投影面與4 ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得的三角形與△ ABC( )B .不相似 D .以上都不正確 2. 一條直線在平面上的平行投影是 ( )D B.點 C .線段 3. 卜列說法錯誤的是（ ）D A. 正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系, 即反映了物體的高度和長度 B. 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系, 即反映了物體的長度和寬度 C. 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系, 即反映了物體的高度和寬度

2、 4. 在已知圖形中平行于 x軸的線段AB= 6 cm,則在直觀圖中線段 A B .cm;在已知圖形中平 D. 一個幾何體的正視圖和俯視圖高度一樣，正視圖和側(cè)視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣 cm. 行于y軸的線段CD= 4 cm,則在直觀圖中線段 C D= 解析：由于平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變， 則A B =AB=6cm,平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊? 1 半，則 C D = ^CD=2cm.［答案］6 2 cm. 5、在空間幾何體中，平行于 z軸的線段AB= 10 cm,則在直觀圖中對應(yīng)的線段

3、 A B ［解析］由于平行于z軸的線段在直觀圖中保持長度不變，則 A B =AB= 10 cm.［答案］10 6、水平放置的△ ABC的直觀圖如圖所示，已知 A C =3, B C =2,求AB邊上的中線的實際長度為多 ［解析］ 形中，/ ACB 2 ,則在原圖形中, 由于在直觀圖中，— AC 則AB邊上的中線的長度為 考點一畫簡單幾何體的三視圖 例1畫出如圖所示的正三棱柱和正五棱臺的三視圖 俯視圖 圖① (1) ,則在原圖 90 ,又；在直觀圖中, C B =45 3, BC = 4 , 5 2. 偏視圖 圖②  上圖（2）所示的正五棱臺的三視圖

4、如圖②所示. ［解析］上圖（1）所示的正三棱柱的三視圖如圖①所示. ［點評］正五棱臺的正視圖中有兩條虛線， 它們是正五棱臺后面兩條棱所形成的投影， 辨析某條棱的可見與不可見的方法是: 把物體看成是不透明的，能看見的棱就是可見輪廓線，看不見、但又確實存在的棱就是不可見輪廓線. 例2、如圖所示，水平放置的圓柱形物體的三視圖是圖中的 （ ） DO 正視圖做I視圖 口口 OD 正視圖側(cè)視圖 正-視圖側(cè)視圖 俯視圖 A ［解析］此題主要研究實物圖到三視圖的轉(zhuǎn)化過程，正視圖是通過正面觀察物體的形狀，側(cè)視圖是從左側(cè)面去觀察，俯視圖 A B、C、D,可 是從上往下看物體的形

5、狀如何.從正面看是個矩形，從左面看是個圓，從上往下看是一個矩形，對照圖中的 知A是正確的. 例3、某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如左圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 （ ） ［分析］本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如左圖所示知，幾何體下面為圓柱或直四棱柱，上 面是圓柱或直四棱柱或底面是直角三角形的直三棱柱. ［解析］A, B, D都可能是該幾何體的俯視圖， C不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應(yīng)為如下圖所示的矩 形.［答案］C 例4、如圖所示，畫出四面體 ABCD三視圖中的正視圖，以面AADD為投影面，則得到的正視圖可以為（ ） ［

6、分析］依次確定四面體 ABCD的每一條棱在面 AADD上的投影即可. ［解析］顯然AB, AC BD, CD分別投影得到正視圖的外輪廓， BiC為可見實線，AD為不可見虛線.故 A正確.［答案］A 例5、在一個幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 解視圖 ［解析］此幾何體為一個半圓錐和一個三棱錐的組合體，只有 D項符合題意.［答案］D 變式練習(xí) ［解析］圓臺的三視圖如圖. 2、下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是 （ ） ①正方體 A.①② ［解析］ ①正方體，三視圖均相同；②圓錐，正視圖和側(cè)視圖相同；③三棱

7、臺, 三視圖各不相同；④圓臺，正視圖和側(cè) 視圖相同.［答案］D 考點二 畫簡單組合體的三視圖 例1如下圖所示，畫出下列組合體的三視圖 ① ② ① ② ［分析］圖①是一個長方體挖去一個四棱柱， 圖②是上下疊起且軸線重合的三個圓柱組成的幾何體. 三視圖如下圖①②所示. 變式練習(xí) 1、如圖①所示的幾何體，則該幾何體的俯視圖是圖②中的 ( ) ［解析］(1)此幾何體俯視圖首先為矩形. 但上方被截去角的三棱柱的側(cè)棱及角的邊是看得見的, 所以，俯視圖中間有實線且 靠左邊有三角形形狀.故選 C. 2、畫出如圖所示幾何體的三視圖. 解：①此幾何體的三視圖

8、如圖所示: ②此幾何體的三視圖如圖所示: 考點三 由三視圖還原空間幾何體 例1某幾何體的三視圖如圖所示，試分析該幾何體的結(jié)構(gòu)特征 ［解析］由正視圖和側(cè)視圖可知，該物體的下半部分為柱體，上半部分為錐體，又因俯視圖為一個正六邊形，故該幾何體是 由一個正六棱柱和一個正六棱錐組合而成的，如圖所示. 例2、下面是某立體圖形的三視圖，請說出立體圖形的名稱. ［解析］該立體圖形為長方體，如下圖所示. 變式練習(xí) 1、若一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，則這個幾何體是 （ ） A.圓柱 B ,三棱柱 C .圓錐 D .球 ［解析］正視圖和側(cè)視圖

9、都是等腰三角形，俯視圖是圓說明此幾何體是圓錐.答案： C 2、如圖所示是兩個立體圖形的三視圖，請說出立體圖形的名稱. 正視圖惻視國 O A 俯視圖 俯視圖 甲 乙 解析：由已知可知甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又正視圖和側(cè)視圖均是矩形，則甲是圓柱：乙的俯視圖是三角形, 則該幾何體是多面體，又正視圖和側(cè)視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐. 答案：甲是圓柱；乙是三棱錐. 考點四 斜二測畫法的性質(zhì) 例1、在用斜二測畫法畫水平放置的△ ABC時，若/ A的兩邊平行于x軸、y軸，則在直觀圖中，LA =（ A . 45 B, 135 C . 90

10、D, 45 或 135 ［解析］因/A的兩邊平行于x軸、y軸，故/ A= 90 ,在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知/ x O y =45或135 /A = 45 或 135 .［答案］D 例2.給出以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論，其中正確的個數(shù)是 （ ） ①角的水平放置的直觀圖-一定是角. ②相等的角在直觀圖中仍相等. ③相等的線段在直觀圖中仍然相等. ④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行. A. 0 B . 1 C . 2 D. 3 ［解析］由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，：④對，①對；而線段的長度，角的大小在直觀圖中都會 發(fā)生改變，：②③錯.［答案

11、］C 例3.利用斜二測畫法得到: ①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④ 菱形的直觀圖是菱形. 以上說法正確的是（ ） A.① B .①② C .③④ D.①②③④ ［解析］根據(jù)畫法規(guī)則，平行性保持不變，與 y軸平行的線段長度減半.［答案］B 變式練習(xí) 1.下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中，正確的是 （ ） A.水平放置的正方形的直觀圖不可能是平行四邊形 B .平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形 C.兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線 D .兩條垂直的直線的直觀圖仍互相垂直 ［點評］斜二測畫法主要保留了原圖的三個性質(zhì)：①

12、保平行；②保共點；③保平行線段的長度比. ［答案］B 考點五 水平放置的平面圖形直觀圖的畫法 例1、畫正五邊形的直觀圖 V li 畫法：（1）以正五邊形的中心為原點 0,建立如圖 （1）所示的直角坐標(biāo)系xOy,再建立如圖（2）所示的坐標(biāo)系x O y,使 /x O y =45 ； (2)在圖(1)中作BGLx軸于 G, EHLx軸于H,在坐標(biāo)系 1 x O y 中作 O H =0H, O G =0G, O A =]0A, 1 O F =2OF,過 F 作 C D // x軸使 C D = CD 且 F為C D的中點. (3)在平面x O y中，過G作G B // y軸，

13、且 1 1 G B =2BG,過 H作 H E // y軸，且 H E =]HE, 連接 A B , B C、C D、D E、E A,得五邊 形A B C D E為正五邊形 ABCDE的平面直觀圖. (4)擦去x , y軸得直觀圖五邊形 A B C D E. 例2、在下列選項中，利用斜二測畫法，邊長為 1的正三角形ABC勺直觀圖不是全等三角形的一組是 （ ） ［解析］C中前者畫成斜二測直觀圖時，底 AB不變，原來高 h變?yōu)镴,后者畫成斜二測直觀圖時，高不變，邊 AB變?yōu)樵? ，，，1 - 來的?。鄞鸢福輈 變式練習(xí) 1、畫邊長為1 cm的正三角形的水平放置的直觀圖. ［

14、解析］ （1）如圖所示，以BC邊所在直線為x軸, 以BC邊上的高線AO所在直線為y軸，再畫對應(yīng)的x軸與y軸，兩軸相 交于點 O,使/ x O y =45 （2）在x軸上截取O B =O C =0.5 cm,在y軸上 截取 O A =2aO = ? cm,連接 A B , A C,則4 A B C即為正三角形ABC的直觀圖. （3）擦去x , y軸得直觀圖△ A B C. 2、如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是 （ ） ［解析］由斜二測畫法可知，與 y軸平行的線段在原圖中為在直觀圖中的 2倍.故可判斷A正確. 考

15、點六 畫幾何體的直觀圖 例1、用斜二測畫法畫出六棱錐 P-ABCDEF勺直觀圖，其中底面ABCDE屋正六邊形，點P在正六邊形的投影 是正六邊形ABCDEF的中心（尺寸自定） ［解析］ 畫法：（1）畫六棱錐P— ABCDEF勺底面. ①在正六邊形 ABCDE沖，取AD所在直線為x軸，對稱軸MNff在直線為y軸，兩軸相交于 O（如圖1所示），畫相應(yīng)的x軸 和y軸、z軸，三軸交于O ,使/ 父 O V? =45 , / x O z =90 （如圖 2所示）. ②在圖2中，以O(shè)為中點，在x軸上取A D =AD, 1 在y軸上取M N =2mN,以點N為中點回B C平行 于x軸，

16、并且等于BC;再以M為中點畫E F平行于x 軸，并且等于EF. ③連接A B , C D , D E , F A得到正六邊形 ABCDEF水平放置的直觀圖 A B C D E F. ⑵畫六棱錐P—ABCDEF勺頂點，在 O z軸上截取 O P = OP. (3)成圖.連接 P A , P B , P C , P D , P E , P F,并擦去 x軸，y軸，z軸，便得到六棱錐 P-ABCDEF 的直觀圖 P — A B C D E F(圖 3). 變式練習(xí) 1、用斜二測畫法畫長、寬、高分別是 4 cm,3 cm,2 cm ［畫法］(1)畫軸.如圖①所示，畫 x軸、y軸、z軸，三

17、軸 相交于點 O,使/xOy=45, /xOz = 90. (2)畫底面.以點 O為中點，在x軸上取線段MN,使MN =4 cm；在y軸上取線段PQ,使PQ=| cm.分別過點M和點 N作y軸的平行線，過點 P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交 點分別為A, B, C, D,四邊形ABCD就是長方體的底面 ABCD. (3)畫側(cè)棱，過A, B, C, D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取 2 cm長的線段AA , BB , CC , DD (4)成圖.順次連接 A , B , C , D,并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改為虛線)，就得到長方體的直觀圖(如圖 考點七

18、由三視圖畫直觀圖 例1、某幾何體的三視圖如圖所示，用斜二測畫法畫出它的直觀圖 ［畫法］(1)畫軸.如圖①，畫 x軸、y軸、 z 軸，使/ xOy= 45 , / xOz= 90 . 0x (2)畫圓臺的兩底面.利用斜二測畫法，畫出底面。 0,在z軸上截取OO ,使OO等于三視圖中相應(yīng)的高度，過 ?！?的平行線0 x,作Oy的平行線O V用，利用0 X與O y畫出上底面。0(與畫O 0一樣). (3)畫圓錐的頂點.在 0z上取一點P,使P0等于三視圖中相應(yīng)的高度. (4)成圖.連接PA , PB , A A, B B,整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖，如圖② ^ 變式練

19、習(xí) 1、利用下圖所示的三視圖，畫出它的直觀圖. 俯視圖 ［解析］該幾何體是一個三棱柱，直觀圖如下圖所示. 2、下圖是一個幾何體的直觀圖，畫出它的三視圖. 考點八 與直觀圖有關(guān)的計算問題 例1、如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為 45。、腰和上底均為1的等腰梯形, 則這個平面圖形的面積是( ) A. B. 1+孚 a 占 套 C. 1十位 D. 2+地 ［解析］如圖所示， . A D // B C, ? .AD II BC. . /A B C =45, ? ./ABC = 90. ? ??ABXBC. .??四邊形A

20、BCD是直角梯形. 其中，AD=A D =1, BC=B C =1+2, AB = 2, S 梯形 ABCD = 2 + 2. 例2、如圖，水平放置的△ ABC勺斜二測直觀圖是圖中的^ A B C,已知A C =6, B C =4,則 AB 邊的實際長度是 10 ［解析］由斜二測畫法，可知△ AB星直角三角形，且/ BCA= 90 , AC= 6, BC= 4X2=8,則AB=MaC+ bC = 10.［答案］ 例3、如圖，是^ AOB!斜二測畫法畫出白^直觀圖，則4 AOB勺面積是. 鳥 8 a 乖2 16 日 , 1 ［解析］由圖易知^ AOBK

21、底邊OB= 4,又二.底邊O陰勺身為8,：面積S= 2*4X8=16.［答案］16 變式練習(xí) 1、已知正△ ABC的邊長為a,那么正△ ABC的直觀圖4 ABC的面積是（ ） r近2 C. g a ［解析］如圖（1）為實際圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 xOy. 如圖（2）,建立坐標(biāo)系x O y,使/ x O y =45, 圖(1) 圖⑵ 由直觀圖畫法知：A? B =AB = a,O C =goc = 3a.過c 作 C D，O x于 D,則 C‘ D=/C =-86a. 所以△ A B C的面積是S=2a B C D 2、有一個長為5 cm,寬為4

22、cm的矩形，則其直觀圖的面積為 ［解析］由于該矩形的面積為 S=5X4=20(cm2),所以由 - 1^ 公式S=手$其直觀圖的面積為 S =i2S= 5-.2(cm2). 易錯題 例1、畫出如圖所示的正視圖和俯視圖 解：正視圖和俯視圖，如圖所示. 正視圖 俯視圖 ，請用作圖法畫 例2、如圖①所示，△ ABC水平放置的直觀圖為△ A B C , ZB A C =30 , / A C B =90 出原△ ABC,并量出^ ABC的各個內(nèi)角，/ BAC是否等于/ B A C的2倍？ / BCA是否等于/ 圖① ［正解］如圖②所示，畫出直角坐標(biāo)系 xOy,以

23、點A為原點.在直觀圖中過 C彳C D // O y軸，交 A B于D,在 Ox軸上截取AB= A B , AD- A D.過D作DC// Oy軸，使DC= 2D C,連接AC, BC,則△ ABC為原三角形.用量角器量 出/BAG 可以彳1出/ BAO 60 ,所以/ BAO 2/B A C , / BCL / B C A . 變式練習(xí) 1、如圖所示的是水平放置的三角形 ABC^直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中 D為AC的中點，原ABC中，/ ACB W30。，則原圖形中與線段 BD的長相等的線段有 ［解析］先按照斜二測畫法把直觀圖還原為原來的平面圖形， 然后根據(jù)平面圖形的幾

24、何性質(zhì)找與線段 BD長度相等的線段，把 △ ABC還原為平面圖形后為直角三角形，則 D為斜邊AC的中點.［答案］AD, DC 2、如圖所示的物體的三視圖有無錯誤？如果有，請更正. 俯視圖 俯視圖 側(cè)視圖 總結(jié)：下圖是最基本的常見幾何體的三視圖 幾何體 直觀圖形 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 止方體 1 ；hTP vrt ■■ / / 7 7 口 !□ ID 長方體 A_/ — □ 圓柱 0 (□ ID IOI 圓錐 IA 1 IG ) 圓臺 回 1O| |O| 1 1 球 1二 C ) |C c )| 13