高考數(shù)學一輪總復習 第九章 直線和圓的方程 9.3 直線與圓、圓與圓的位置關系課件(理) 新人教B版.ppt

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9.3 直線與圓、圓與圓的位置關系,高考理數(shù),1.直線與圓的位置關系 設直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和 圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.,知識清單,2.圓與圓的位置關系 設圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,【知識拓展】 1.過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2. 2.過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 3.過圓x2+y2=r2外一點P(x0,y0)作圓的切線PA,PB,其中A,B為切點,則直線AB的方程:x0x+y0y=r2. 4.過圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點P(x0,y0)作圓的切線PA,PB,其中A,B為切點,則直線AB的方程:(x0-a)(x -a)+(y0-b)(y-b)=r2.,1.直線與圓相切?圓心到直線的距離等于半徑長?直線與圓只有一個公共點?直線和圓 的方程組成的方程組只有一組解; 2.直線與圓相交?圓心到直線的距離小于半徑長?直線與圓有兩個公共點?直線和圓的方程 組成的方程組有兩組解; 3.直線與圓相離?圓心到直線的距離大于半徑長?直線與圓無公共點?直線和圓的方程組成 的方程組無解. 例1 (2015貴州貴陽一模,3,5分)對任意實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=4的位置關系一定是 ( ) A.相離 B.相切 C.相交且不過圓心 D.相交且過圓心 解題導引 導引一:求圓心到直,突破方法,方法1 直線和圓的位置關系,線的距離 比較圓心到直線的 距離與半徑的大小 結(jié)論 導引二:求直線所過的定點 判斷該定點與 圓的位置關系 結(jié)論 解析 解法一:直線方程可化為kx-y+1=0,圓心到直線的距離d= , ∵ ≥1,∴0d≤12,∴直線與圓一定相交,且不過圓心,故選C. 解法二:∵直線y=kx+1過定點(0,1),而點(0,1)在圓內(nèi), ∴直線與圓一定相交, 又∵直線斜率存在, ∴直線不過圓心,故選C. 答案 C 1-1 若過點A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為 ( ) A.[- , ] B.(- , ),C. D. 答案 C 解析 設直線方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0, 因為直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點, 所以圓心到直線的距離d小于或等于半徑, 即d= ≤1,解得- ≤k≤ .,涉及圓的弦長問題時,一般采用幾何法,如圖①,直線被圓截得的半弦長 ,弦心距d和圓的 半徑r構成直角三角形,則r2= +d2. 圖①,圖②,方法2 有關弦長問題的解法,若用代數(shù)法,則聯(lián)立直線方程和圓的方程得方程組. (1)解方程組得A、B點的坐標,再由兩點間的距離公式求弦長|AB|(如圖②). (2)消去一個未知數(shù)得到一個一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系可得弦長公式|AB|= |x1-x2 |= |y1-y2|,其中k為直線的斜率且k≠0.特別地,當k=0時,可直接利用 |AB|=|x1-x2|計算;當斜率不 存在時,可直接利用|AB|=|y1-y2|計算. 例2 已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0. (1)m∈R時,證明l與C總相交; (2)m取何值時,l被C截得的弦長最短?求此弦長. 解析 (1)證明:直線的方程可化為y+3=2m(x-4), 由點斜式可知,直線過點P(4,-3). 由于42+(-3)2-64+12(-3)+20=-150, 所以點P在圓內(nèi),故直線l與圓C總相交. (2)圓的方程可化為(x-3)2+(y+6)2=25.如圖,當圓心C(3,-6)到直線l的距離最大時,線段AB的長度最,短. 此時PC⊥l,又kPC= =3,所以直線l的斜率為- , 則2m=- ,所以m=- . 在Rt△APC中,|PC|= ,|AC|=r=5, 所以|AB|=2 =2 . 故當m=- 時,l被C截得的弦長最短,最短弦長為2 . 2-1 已知點P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直線l過P且被圓C截得的線段長為4 ,求l的方程; (2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.,解析 (1)解法一:如圖所示,AB=4 ,D是AB的中點,則CD⊥AB,AD=2 ,圓x2+y2+4x-12y+24=0可 化為(x+2)2+(y-6)2=16,圓心C(-2,6),半徑r=4,故AC=4,在Rt△ACD中,CD= =2. 當直線l的斜率存在時,設所求直線l的斜率為k,則直線方程為y-5=kx,即kx-y+5=0.,點C到直線AB的距離d= =2, 解得k= . 此時直線l的方程為3x-4y+20=0. 當直線l的斜率不存在時,方程為x=0,與圓C的方程聯(lián)立并消去x,得y2-12y+24=0,∴y1=6+2 ,y2=6- 2 , ∴y1-y2=4 ,故x=0滿足題意, ∴所求直線l的方程為3x-4y+20=0或x=0. 解法二:當直線l的斜率存在時,設所求直線l的斜率為k,則直線的方程為y-5=kx,即y=kx+5, 聯(lián)立直線與圓的方程得 消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0. ① 設方程①的兩根為x1,x2, 由根與系數(shù)的關系得 ②,由弦長公式得 |x1-x2| = =4 , ③ 將②代入③,解得k= , 此時直線l的方程為3x-4y+20=0. 又可知直線l的斜率不存在時也滿足題意,此時直線l的方程為x=0, ∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0. (2)設過P點的圓C的弦的中點為E(x,y), 則CE⊥PE,即 =0,(x+2,y-6)(x,y-5)=0, 化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.,