《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》ppt課件

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1、2.3.2 拋 物 線 的 簡 單 幾 何 性 質(zhì) 教 學(xué) 目 標 v 知 識 與 技 能 目 標v 使 學(xué) 生 理 解 并 掌 握 拋 物 線 的 幾 何 性 質(zhì) ， 并 能 從 拋 物 線 的 標 準方 程 出 發(fā) ， 推 導(dǎo) 這 些 性 質(zhì) v 從 拋 物 線 的 標 準 方 程 出 發(fā) ， 推 導(dǎo) 拋 物 線 的 性 質(zhì) ， 從 而 培 養(yǎng) 學(xué)生 分 析 、 歸 納 、 推 理 等 能 力v 過 程 與 方 法 目 標v 復(fù) 習(xí) 與 引 入 過 程v 1 拋 物 線 的 定 義 是 什 么 ？v 請 一 同 學(xué) 回 答 應(yīng) 為 ： “ 平 面 內(nèi) 與 一 個 定 點 F和 一 條 定

2、直 線 l的 距 離 相 等 的 點 的 軌 跡 叫 做 拋 物 線 ” v 2 拋 物 線 的 標 準 方 程 是 什 么 ？v 再 請 一 同 學(xué) 回 答 應(yīng) 為 ： 拋 物 線 的 標 準 方 程 是 y2=2px(p 0)，y2=-2px(p 0)， x2=2py(p 0)和 x2=-2py(p 0)v 下 面 我 們 類 比 橢 圓 、 雙 曲 線 的 幾 何 性 質(zhì) ， 從 拋 物 線 的 標 準 方程 y2=2px(p 0)出 發(fā) 來 研 究 它 的 幾 何 性 質(zhì) 板 書 拋 物 線的 幾 何 性 質(zhì) 一 、 復(fù) 習(xí) 回 顧 ： l .FMd . xOyK 拋 物 線 標 準

3、方 程 0p 是 焦 準 距2 2y px1、 拋 物 線 的 定 義 ：平 面 內(nèi) 與 一 個 定 點 F和 一 條 定 直 線 l (l不 經(jīng) 過 點 F )的距 離 相 等 的 點 的 軌 跡 叫 做 。定 點 F叫 做 拋 物 線 的 。定 直 線 l 叫 做 拋 物 線 的 。 標 準方 程圖 形 焦點 準 線)0(22 ppxy )0(22 ppyxxyoF. . xyFo)0,2( pF.y xo F 2px )2,0( pF . xoyF 2py )0(22 ppxy )0,2( pF 2px )0(22 ppyx )2,0( pF 2py 2、 拋 物 線 的 標 準 方 程

4、 ： （ 3） 拋 物 線 方 程 是 2x2+5y=0 , 即 x2=- y, 2p= 25 25則 焦 點 坐 標 是 F（ 0， - ） , 準 線 方 程 是 y= 85 853 3: ( , 0),2 2x 解 ( 1 ) 焦 點 坐 標 準 線 方 程yx 212 18y(2)焦 點 坐 標 是 準 線 方 程 是 81,0 求 下 列 拋 物 線 的 焦 點 坐 標 和 準 線 方 程 ： （ 1） y2 = 20 x （ 2） x2= y （ 3） 2y2 +5x =0 （ 4） x2 +8y =0焦 點 坐 標 準 線 方 程（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） （ 5， 0）

5、x= -5（ 0， ）116 y= - 1168x= 5（ - ， 0）58（ 0， -2） y=241練 習(xí) ： 拋 物 線 的 方 程 為 x=ay2（ a 0)求 它 的 焦 點 坐 標和 準 線 方 程 ？ 解 ： 拋 物 線 標 準 方 程 為 ： y2= x1a 2p=1 a4a1 焦點坐標是（ ，0），準線方程是：x= 4a1當a0時, , 拋物線的開口向右p2 = 14a y xo MFdK復(fù) 習(xí) 結(jié) 合 拋 物 線 y2=2px(p0)的 標 準 方 程 和 圖 形 ,探 索其 的 幾 何 性 質(zhì) :(1)范 圍(2)對 稱 性(3)頂 點類 比 探 索 x0,y R關(guān) 于

6、x軸 對 稱 ,對 稱 軸 又 叫 拋 物 線 的 軸拋 物 線 和 它 的 軸 的 交 點 叫 做 拋 物 線 的 頂 點 .二 、 講 授 新 課 ： .y xo F(4)離 心 率 拋 物 線 上 的 點 與 焦 點 的 距 離 和 它 到 準 線 的距 離 的 比 ， 叫 做 拋 物 線 的 離 心 率 ， 用 e表示 ， 由 拋 物 線 的 定 義 可 知 ， e=1 只 有 一 個 頂 點 方 程圖形范 圍對 稱 性頂 點離 心 率 y2 = 2px（ p 0） y2 = -2px（ p 0） x2 = 2py（ p 0） x2 = -2py（ p 0）lFy xO lFy xOl

7、F y xOx0 y R x0 y R x R y0 y0 x Rl Fy xO關(guān) 于 x軸 對 稱 關(guān) 于 x軸 對 稱 關(guān) 于 y軸 對 稱 關(guān) 于 y軸 對 稱（ 0,0）e=1 補 充 （ 1） 通 徑 ：通 過 焦 點 且 垂 直 對 稱 軸 的 直 線 ，與 拋 物 線 相 交 于 兩 點 ， 連 接 這兩 點 的 線 段 叫 做 拋 物 線 的 通 徑 。|PF|=x 0+p/2 xOy F P通 徑 的 長 度 ： 2P P越 大 ,開 口 越 開 闊（ 2） 焦 半 徑 ： 連 接 拋 物 線 任 意 一 點 與 焦 點 的 線 段 叫 做拋 物 線 的 焦 半 徑 。焦 半

8、 徑 公 式 ： ),( 00 yx（ 標 準 方 程 中 2p的 幾 何 意 義 ）利 用 拋 物 線 的 頂 點 、 通 徑 的 兩 個 端 點 可 較 準 確 畫 出反 映 拋 物 線 基 本 特 征 的 草 圖 。 XY 拋 物 線 的 基 本 元 素 y2=2px 特 點 1.拋 物 線 只 位 于 半 個 坐 標 平 面 內(nèi) ,雖 然 它 可 以 無限 延 伸 ,但 它 沒 有 漸 近 線 ;2.拋 物 線 只 有 一 條 對 稱 軸 ,沒 有 對 稱 中 心 ;3.拋 物 線 只 有 一 個 頂 點 、 一 個 焦 點 、 一 條 準 線 ;4.拋 物 線 的 離 心 率 是 確

9、 定 的 ,為 1;5.拋 物 線 標 準 方 程 中 的 p對 拋 物 線 開 口 的 影 響 .P越 大 ,開 口 越 開 闊 圖 形 方 程 焦 點 準 線 范 圍 頂 點 對 稱 軸 el Fy xO lF y xO lFy xO lFy xO y2 = 2px（ p0）y2 = -2px（ p0）x2 = 2py（ p0）x2 = -2py（ p0） )0,2(pF )0,2( pF )2,0( pF )2,0( pF 2px 2px 2py 2py x0y Rx0y Ry0 x Ry 0 x R (0,0) x軸y軸 1 變 式 : 頂 點 在 坐 標 原 點 ,對 稱 軸 是 坐

10、 標 軸 ,并 且 過 點M(2, )的 拋 物 線 有 幾 條 ,求 它 的 標 準 方 程 .2 2典 型 例 題 ：例 1.已 知 拋 物 線 關(guān) 于 x軸 對 稱 ， 頂 點 在 坐 標原 點 ,并 且 過 點 M(2, ),求 它 的 標 準 方 程 .2 2當 焦 點 在 x(y)軸 上 ,開 口 方 向 不 定 時 ,設(shè) 為 y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可 避 免 討 論 )0(2),22,2( 2 PPxyM x 程 為所 以 ， 可 設(shè) 它 的 標 準 方點 點 ， 并 且 經(jīng) 過軸 對 稱 ， 它 的 頂 點 在 原解 ： 因 為 拋 物 線 關(guān) 于 2

11、22)22( 2 pPM ， 即在 拋 物 線 上 ， 所 以因 為 點 xy 42 準 方 程 是因 此 ， 所 求 拋 物 線 的 標 xyO F ABBA2 24 , ( 1) 4 ,y x x x 代 入 方 程 得 .0162 xx化 簡 得 84)(216 2122121 21 xxxxAB xx xx 。的 長 是所 以 ， 線 段 8AB例 2.斜 率 為 1的 直 線 L經(jīng) 過 拋 物 線 的 焦 點 F,且 與 拋 物 線 相 交 于 A,B兩 點 ,求 線 段 AB的 長 .y2 = 4x解 法 一 :由 已 知 得 拋 物 線 的 焦 點為 F(1,0),所 以 直 線

12、 AB的 方 程 為y=x-1 xyO F ABBA.,),(),( 2211 BA ddl BAyxByxA 的 距 離 分 別 為準 線 到設(shè) ,1,121 xdBF xdAF BA由 拋 物 線 的 定 義 可 知 1 2 2 8AB AF BF x x 所 以例 2.斜 率 為 1的 直 線 L經(jīng) 過 拋 物 線 的 焦 點 F,且 與 拋 物 線 相 交 于 A,B兩 點 ,求 線 段 AB的 長 .y2 = 4x2, 1,2pp .1: xl準 線解 法 二 :由 題 意 可 知 , 變 式 ： 過 拋 物 線 y2=2px的 焦 點 F任 作 一 條 直 線 m，交 這 拋 物

13、線 于 A、 B兩 點 ， 求 證 ： 以 AB為 直 徑 的 圓和 這 拋 物 線 的 準 線 相 切 證明：如圖 所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH l，因而圓E和準線l相切設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH 練 習(xí) :1.已 知 拋 物 線 的 頂 點 在 原 點 ， 對 稱 軸 為 x軸 ，焦 點 在 直 線 3x-4y-12=0上 ， 那 么 拋 物 線 通 徑長 是 _.2.過 拋 物 線 的 焦 點 ,作 傾 斜 角 為的 直 線 ,則 被 拋 物 線 截 得 的 弦 長

14、為 _3.垂 直 于 x軸 的 直 線 交 拋 物 線 y2=4x于 A、 B,且 |AB|=4 ,求 直 線 AB的 方 程 .16 16 y2 = 8x 0453 X=3 例 3.過 拋 物 線 焦 點 F的 直 線 交 拋 物 線 于 A,B兩 點 ,通 過 點 A和 拋 物 線 頂 點 的 直 線 交 拋 物 線 的 準 線 于點 D,求 證 :直 線 DB平 行 于 拋 物 線 的 對 稱 軸 .xOy F ABD 例 3 過 拋 物 線 焦 點 F的 直 線 交 拋 物 線 于 A,B兩 點 ， 通 過 點 A和 拋 物 線 頂 點 的直 線 交 拋 物 線 的 準 線 于 點 D

15、， 求 證 ： 直 線 DB平 行 于 拋 物 線 的 對 稱 軸 。,22 pxyx 物 線 的 方 程 為建 立 直 角 坐 標 系 。 設(shè) 拋 軸 ， 它 的 頂 點 為 原 點 ，軸 為證 明 ： 以 拋 物 線 的 對 稱 ,2),2( 0020 xypyOAypyA 的 方 程 為則 直 線的 坐 標 為點 2px 拋 物 線 的 準 線 是 . 02ypyD 的 縱 坐 標 為聯(lián) 立 可 得 點 .22 2 ),0,2(200 ppy pxyy AFpF 方 程 為 的所 以 直 線的 坐 標 是因 為 點 . 02ypyB 的 縱 坐 標 為聯(lián) 立 可 得 點 軸 。所 以 x

16、DB/ xyO F ABD 小 結(jié) :1.掌 握 拋 物 線 的 幾 何 性 質(zhì) :范 圍 、 對 稱 性 、 頂 點 、離 心 率 、 通 徑 ;2.會 利 用 拋 物 線 的 幾 何 性 質(zhì) 求 拋 物 線 的 標 準 方 程 、焦 點 坐 標 及 解 決 其 它 問 題 ; 圖 形 標 準 方 程 范 圍 對 稱 性 頂 點 離 心 率)0( 2p pxy2 )0( 2p pyx 2 )0( 2p pyx2 Ry x ,0 )0,0(Ryx ,0Rxy ,0Rxy ,0 )0,0( )0,0( )0,0(關(guān) 于 x 軸對 稱 ， 無對 稱 中 心關(guān) 于 x 軸對 稱 ， 無對 稱 中 心

17、關(guān) 于 y 軸對 稱 ， 無對 稱 中 心關(guān) 于 y 軸對 稱 ， 無對 稱 中 心 e=1e=1e=1e=1)0( 2p pxy2 分 析 :直 線 與 拋 物線 有 一 個 公 共 點的 情 況 有 兩 種 情形 ： 一 種 是 直 線平 行 于 拋 物 線 的對 稱 軸 ；另 一 種 是 直 線 與拋 物 線 相 切 判 斷 直 線 與 拋 物 線 位 置 關(guān) 系 的 操 作 程 序把 直 線 方 程 代 入 拋 物 線 方 程得 到 一 元 一 次 方 程 得 到 一 元 二 次 方 程直 線 與 拋 物 線 的對 稱 軸 平 行相 交 （ 一 個 交 點 ） 計 算 判 別 式0 =

18、0 0 分 析 :直 線 與 拋 物 線 沒 有 公共 點 時 0 個 公 共 點 。即 直 線 與 拋 物 線 只 有 一 時 ， 或， 或綜 上 所 述 ， 當 0211 kkk 公 共 點 。即 直 線 與 拋 物 線 有 兩 個時 ，且當 0,211 kk 共 點 。即 直 線 與 拋 物 線 沒 有 公時 ，或當 211 kk注 :在 方 程 中 ,二 次 項 系 數(shù) 含 有 k,所 以 要 對 k進 行 討 論作 圖 要 點 :畫 出 直 線 與 拋 物 線 只 有 一 個 公 共 點 時 的 情形 ,觀 察 直 線 繞 點 P轉(zhuǎn) 動 的 情 形 變 式 一 :已 知 拋 物 線

19、方 程 y2=4x,當 b為 何 值 時 ,直 線l:y=x+b與 拋 物 線 (1)只 有 一 個 公 共 點 (2)兩 個 公 共點 (3)沒 有 公 共 點 .當 直 線 與 拋 物 線 有 公 共 點 時 ,b的最 大 值 是 多 少 ?分 析 :本 題 與 例 1類 型 相 似 ,方 法 一 樣 ,通過 聯(lián) 立 方 程 組 求 得 .(1)b=1 (2)b1,當 直 線 與 拋 物 線 有 公 共 點 時 ,b的最 大 值 當 直 線 與 拋 物 線 相 切 時 取 得 .其 值為 1 變 式 二 :已 知 實 數(shù) x、 y滿 足 方 程 y2=4x,求 函 數(shù) 的 最 值12yz

20、x 變 式 三 :點 (x,y)在 拋 物 線 y2=4x上 運 動 ,求 函 數(shù) z=x-y的 最 值 .本 題 轉(zhuǎn) 化 為 過 定 點 (-2,1)的 直 線 與 拋 物 線 有 公 共 點 時斜 率 的 最 值 問 題 .本 題 轉(zhuǎn) 化 為 直 線 y=x-z與 拋 物 線 有 公 共 點 時 z的 最 值問 題 . min 1z 無 最 大 值 1 21 minmax kk xy B AFO2 21 1 2 2 1 22 ( 0)( , ), ( , ), : .y px pA B A x y B x y y y p 例 2、 過 拋 物 線 焦 點 作 直 線 交 拋 物 線 于，

21、兩 點 ， 設(shè) 求 證解 ： 因 為 直 線 AB過 定 點 F且 不 與 x軸 平行 ,設(shè) 直 線 AB的 方 程 為2 22 2 21 2 2 2 ( )222 0y px py p mypx myy pmy py y p 即 ： （ 定 值 ） 2px my xy B AFO_?,: 21221 xxpyy ，那 么 注 意 到在 同 樣 的 條 件 下聯(lián) 想 .4),( ),( )0(2:1 22122 112 pxxyxB 、yxA，F(xiàn) ppxy 則 有交 拋 物 線 于 點的 直 線 焦 點過 拋 物 線變 題 2 21 1 2 2 1 22 ( 0)( , ), ( , ), :

22、 .y px pA B A x y B x y y y p 例 2、 過 拋 物 線 焦 點 作 直 線 交 拋 物 線 于， 兩 點 ， 設(shè) 求 證 xy B AFO? )0,2(:2 221也 成 立 那 么 反 之 是 否成 立時 有 過 點 焦 點由 于 直 線聯(lián) 想 ，pyy pFAB. , ),(),( )0(2:2 221 2211 2F ABpyy yx、ByxA ppxy焦 點 過 拋 物 線則 直 線 若兩 個 動 點 上拋 物 線變 題 xy B AFO?:3 結(jié) 論 又 會 怎 樣 呢般 的 點 一對 于 在 拋 物 線 的 軸 上 的由 于 焦 點 比 較 特 殊聯(lián) 想 ， ， .:, ),(),()0( 2)0,(:3 2121 2211 2均 為 定 值與求 證兩 點直 線 交 拋 物 線 于 的過的 軸 上 的 一 個 定 點是 拋 物 線設(shè)變 題 xxyy yx、ByxA M，p pxyaM