2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專(zhuān)題07 不等式

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專(zhuān)題07 不等式 1.一元二次不等式是最常見(jiàn)的不等式，其解集取決于它作為方程的兩個(gè)根，因此首先要判斷方程是否有根，也就是要判斷其判別式的正負(fù)．在解不等式前還應(yīng)把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正值的情況，在這種情況下寫(xiě)出的解集不易出錯(cuò)． 2．與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題一般要與二次函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行求解．通常需要考慮的是：二次函數(shù)的開(kāi)口方向，判別式與0的大小關(guān)系等．有區(qū)間限制的恒成立問(wèn)題還需要考慮區(qū)間端點(diǎn)的取值與對(duì)稱軸的取值等． 3．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號(hào)，則其解集在兩

2、根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號(hào)，則其解集在兩根之間．簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間．即xx2?(x－x1)(x－x2)>0(x10或f(x)＝0；≤0?f(x)·g(x)<0或f(x)＝0. 5．簡(jiǎn)單的一元高次不等式采用標(biāo)根法(或叫標(biāo)區(qū)間法、穿根法)求解，其一般步驟為： (1)將f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)； (2)將f(x)分解為若干

3、個(gè)一次因式的積； (3)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線； (4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集． 6．當(dāng)高次不等式在進(jìn)行因式分解出現(xiàn)有些因式是冪指數(shù)形式即m(x－x1)a1(x－x2)a2…(x－xn)an>0(或<0)時(shí)，我們?cè)跇?biāo)根時(shí)需要看冪值的奇、偶．當(dāng)冪值為奇數(shù)時(shí)，我們?nèi)匀话?次冪進(jìn)行穿軸，當(dāng)冪值是偶數(shù)時(shí)，不穿軸，故得口訣“奇穿偶不穿”． 7．線性規(guī)劃實(shí)質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體體現(xiàn)，即將最值問(wèn)題直觀、簡(jiǎn)便地尋找出來(lái)．它還是一種較為簡(jiǎn)捷的求最值的方法，具體步驟如下： (1)根據(jù)題意設(shè)出變量，建立目標(biāo)函數(shù)； (2)列出

4、約束條件； (3)借助圖形確定函數(shù)最值的取值位置，并求出最值； (4)從實(shí)際問(wèn)題的角度審查最值，進(jìn)而作答． 8．幾個(gè)重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (3)≥(a，b∈R＋)． (4)ab≤2(a，b∈R＋)． (5) ≥≥≥(a，b∈R＋)． 9．利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求函數(shù)的最大值、最小值 (1)已知x，y∈R＋，如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2； (2)已知x，y∈R＋，如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值s2. 10．函數(shù)y＝ax＋(a>0，b>

5、0)的性質(zhì) (1)y＝ax＋(a，b∈R＋)在(－∞，－ ]和[ ，＋∞)上為增函數(shù)，在[－ ，0)和(0, ]上為減函數(shù)． (2)求函數(shù)y＝ax＋(a，b∈R＋，x∈(0，c])的最小值時(shí)應(yīng)注意：①若c≥ ，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝ 時(shí)，y有最小值2；②若c< ，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝c時(shí)，y有最小值ac＋. 11．不等式的證明基礎(chǔ) (1)不等式定義：a－b>0?a>b， a－b＝0?a＝b，a－b<0?a0，當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)

6、成立).2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)．|a＋b|≤|a|＋|b|(ab≥0時(shí)等號(hào)成立)．|a－b|≤|a|＋|b|(ab≤0時(shí)等號(hào)成立)． 12．不等式的應(yīng)用主要涉及以下三個(gè)方面： (1)建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值．根據(jù)題設(shè)條件建立函數(shù)關(guān)系式，并創(chuàng)建均值不等式的應(yīng)用背景．在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)要注意的是“一正、二定、三等”，即求和(積)的最小值(最大值)時(shí)，必須使其積(和)為定值，并且要注意各項(xiàng)是否為正，等號(hào)成立的條件是否滿足(即各項(xiàng)是否能相等)． 【難點(diǎn)突破】 難點(diǎn)1 不等式的概念與性質(zhì) 1．下列命題正確的是 (

7、 ) 2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,則下列各式中正確的是 ( ) 【解析】利用兩角和與差的公式化簡(jiǎn)b、a、然后再比較大小. 【答案】B 難點(diǎn)2不等式的解法 1．關(guān)于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集為 ( ) A.[-a,+ ∞] B.[a,+ ∞] C.[2a,a] ∪[-a+∞] D.(- ∞,a) 3．函數(shù)則使g(x) ≥f(x)的x的取值范圍是 難點(diǎn)3 不等式的證明 1．已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f(x

8、)同時(shí)滿足：(1)對(duì)于任意x∈[0,1]總有f(x) ≥0; (2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,則有f(x1+x2) ≥f(x1)+f(x2). (Ⅰ)試求f(0)的值；(Ⅱ)試求函數(shù)f(x)的最大值；(Ⅲ)試證明：當(dāng)x∈ 【解析】(1)賦值法； (2)變形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函數(shù)f(x)的最大值； 【答案】(Ⅰ)令 得f(0) ≥0, ∴f(0)=0. (Ⅱ)任取 (Ⅲ) 設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>1且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x) ·f(y)成立，數(shù)列{an}滿足a1=

9、f(0),且f(an+1)= (1) 判斷y=f(x)是否為單調(diào)函數(shù)，并說(shuō)明理由； (2) (3)若不等式 【解析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性證明;(2)裂項(xiàng)法求出Tn再解不等式；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求k的最大值. 【答案】(1)設(shè) (3)由 難點(diǎn)4 不等式的工具性 1．若直線2ax-by+2=0(a、b>0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長(zhǎng)，則的最小值是 ( ) A.4 B.2 C. D. 【解析】利用重要不等式求最小值。 【答案】A直線2ax-by+2=0過(guò)圓心(-1,2), ∴a+b=1,

10、 2.已知函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0),對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a有一個(gè)最大的正數(shù)l(a),使得在整個(gè)區(qū)間[0,l(a)]上，不等式|f(x)| ≤5恒成立，則l(a)的最大值是( ) 【解析】考慮區(qū)間[0，l(a)]的端點(diǎn)處不等式|f(x)| ≤5恒成立 . 3.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存實(shí)數(shù)m,使f(m)=-a. 試推斷f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是否為單調(diào)函數(shù)，并說(shuō)明你的理由； 設(shè)g(x)=f(x)+bx,對(duì)于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范圍； 求證：f(m+3)

11、>0. (2)據(jù)題意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的兩實(shí)根. = (3)∵f(1)=0.設(shè)f(x)=a(x-1)(x-) 難點(diǎn)5 不等式的實(shí)際應(yīng)用 某機(jī)關(guān)在“精簡(jiǎn)人員”中，對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員在第一年可到原單位領(lǐng)取工資的100%，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該機(jī)關(guān)根據(jù)分流人員的特長(zhǎng)計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該機(jī)關(guān)根據(jù)分流人員的特長(zhǎng)計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，沒(méi)有利潤(rùn)，第二年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年基礎(chǔ)上遞增50%，若某人在分流前工資收入每年為a元，分流后第n年

12、總收入為an元. (1)求an;(2) 當(dāng) 【解析】建立數(shù)學(xué)模型，求出an,再運(yùn)用重要不等式求an的最小值，解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【高考預(yù)測(cè)】 預(yù)測(cè)一　含參數(shù)不等式 【例1】　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)． [分析]　對(duì)a分為三種情況討論(1)a＝0；(2)a<0；(3)a>0.在各自的情況下寫(xiě)出x的解集． →→ 【探究1】　解關(guān)于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0. 分析：這個(gè)不等式左端的二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為正，其對(duì)應(yīng)方程的判別式為Δ＝4(m2－m－1)，這個(gè)判別式的符號(hào)不確定，我們就要根據(jù)這個(gè)判

13、別式與0的大小關(guān)系確定不等式的解． 程的判別式是確定這個(gè)不等式解的情況的一把標(biāo)尺，是進(jìn)行分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)． 類(lèi)型二　三個(gè)二次的綜合問(wèn)題 【例2】　(天津)設(shè)函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R. (1)當(dāng)a＝－時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)僅在x＝0處有極值，求a的取值范圍； (3)若對(duì)于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在x∈[－1,1]上恒成立，求b的取值范圍． ，在a∈[－2,2]上恒成立， 所以b≤－4，因此滿足條件的b的取值范圍是(－∞，－4]． 點(diǎn)評(píng)：三個(gè)二次(一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù))問(wèn)題

14、是高考的重點(diǎn)內(nèi)容．通過(guò)上述試題可以看到由于導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)，三個(gè)二次問(wèn)題在函數(shù)求導(dǎo)后被隱性考查，因此要把相關(guān)數(shù)學(xué)語(yǔ)言(如存在極值)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的語(yǔ)言．希望同學(xué)們悉心掌握與函數(shù)有關(guān)的三個(gè)二次的相關(guān)知識(shí)，如含參不等式的解法(求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、一元二次函數(shù)方程根的分布(不等式恒成立)、二次方程根(極值的存在性)的探討等． 【探究2】　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a為實(shí)數(shù)． (1)已知函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，求a的值； (2)已知不等式f′(x)>x2－x－a＋1對(duì)任意a∈(0，＋∞)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 類(lèi)型三　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 【例3】　制訂投資

15、計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元．問(wèn)此人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？ 【解析】由題的條件列出約束條件，即關(guān)于x，y的不等式組，另外準(zhǔn)確找出不等式組表示的區(qū)域是解題的關(guān)鍵． 綜上，投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目、6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大． 點(diǎn)評(píng)；線性規(guī)劃是直線方程的又一應(yīng)用，線性規(guī)劃中的可行域，就

16、是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域．求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by的最大值或最小值時(shí)，作出一組與直線ax＋by＝0平行的直線ax＋by＝z，結(jié)合的意義在可行域內(nèi)確定最優(yōu)解． 【探究3】　在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案：(－∞，－1) 點(diǎn)評(píng)：一條直線Ax＋By＋C＝0把平面分為兩個(gè)半平面，在每個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)使Ax＋By＋C的值的符號(hào)一致，判斷Ax＋By＋C的符號(hào)可以采用特殊點(diǎn)等．在解決平面區(qū)域問(wèn)題時(shí)要結(jié)合直線的各種情況進(jìn)行分析，不要憑直覺(jué)進(jìn)行解答，如本題看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上在考試中真正做對(duì)并不容易，兩條定直線構(gòu)成一個(gè)

17、三角形區(qū)域，但對(duì)于那條動(dòng)直線，當(dāng)斜率為正和為負(fù)時(shí)，是很容易弄錯(cuò)的． 類(lèi)型四　利用基本不等式證明不等式 【例4】　若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y＝f(x)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式[f(x1)＋f(x2)]≥f成立，則稱函數(shù)y＝f(x)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，試證明當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)為“凹函數(shù)”． 類(lèi)型五　不等式的應(yīng)用問(wèn)題 【例5】　某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)a m．房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合

18、計(jì)為5800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？ 點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于利用基本不等式時(shí)，在a<4時(shí)等號(hào)不成立．對(duì)這類(lèi)定義域有限制的函數(shù)求解最值，在使用基本不等式時(shí)要根據(jù)等號(hào)成立和不成立進(jìn)行分類(lèi)解決. 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)1 不等式的概念與性質(zhì) 1．如果a、b、c滿足cac B．c(b-a)>0 C．cb2c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符號(hào)． 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】

19、由d>b>c，且ac<0．則。與c必異號(hào)，又由a>c，故a>0，c<0，條件分析不透． 3．對(duì)于0loga(1+) ③a1+aa 其中成立的是 ( ) A.①與③ B．①與④ C.②與③ D．②與④ 【錯(cuò)誤解答】 B ∵1+a<1+，故1oga(1+a)< loga(1+)． 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小要考慮底數(shù)a的范圍，它與指數(shù)函數(shù)一樣． 【正確解答】 D ∵0

20、< 1+而y=1ogax與y=ax均為減函數(shù)．∴1oga(1+a)> 1oga(1+)，a1+a>a． 4．已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式①0，|b|>0，且ab>0，則下列不等式中能成立的是 ( ) A． B． C． D． 答案： C 解析：利用特值法可看出某些選擇不能成立，而事實(shí)上，∵|a|，|b|>

26、 ② ③ 【變式訓(xùn)練】 1關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+ ∞),則關(guān)于x的不等式的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+ ∞) B.(-1,2) C.(1,2) D(-∞,1) ∪(2,+ ∞) 易錯(cuò)點(diǎn)5 不等式的綜合應(yīng)用 1．已知函數(shù)f(x)=ax- ( Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)設(shè)0

27、定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：（如表所示） 消費(fèi)金額（元） [200，400] [400,500] [500,700] [700,900] … 獲獎(jiǎng)券的金額（元） 30 60 100 130 … 依據(jù)上述方法，顧客可以獲得雙重優(yōu)惠. 試問(wèn)： 若購(gòu)買(mǎi)一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？ 對(duì)于標(biāo)價(jià)在[500，800]內(nèi)的商品，顧客購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？ ② 解不等式①無(wú)解，②得：625≤x≤750. 【特別提醒】 1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)與幾個(gè)重要不等式求出數(shù)的最值，比較大小，討論參數(shù)的范圍等，一定要注意成立的條