《二次函數綜合應用》教學設計

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1、2 《  二次函數綜合應用》教學設計 教學目標： 一．知識與技能 1、能用待定系數法求函數的解析式。一設、二代、三解、四還原。 2、掌握  動點中，函數關系問題和存在性問題的解題技巧和方法。 3、通過開放性問題由一到十二的層層深入的變式猜想，培養(yǎng)學生解決二次函數 問題的綜合能力。 二．情感態(tài)度價值 1. 經歷探究利用二次函數解決相關的問題的過程，體會數形結合思想、化歸思 想在數學中的廣泛應用。 2. 感受數學中考真題，激發(fā)學生學習和探究數學知識的興趣和積極性。 三．教學重點與難點 1. 2. 

2、教學重點：利用有關二次函數的知識解決函數關系問題和存在性問題。 教學難點：探究動點存在性問題的解題方法，關鍵是會用含m 的式子表示點的 坐標，如:變式十一，點 P 的坐標為(m,? m ?2m+3)。 四． 過程與方法： 1. 過程：情景導入—引入新課—猜想探究—方法總結—拓展—設計說明 2. 方法: 啟發(fā)式，討論探究  教學流程設計 步驟 一． 情 景 導  教師活動 函數知識在數學體系中是很 重要的知識板塊，函數是每年中 考的重點知識，有一次函數與反 比例函數的綜合應用，或一次函 數與二次函數的綜合應用，主要

3、 考查函數的圖象、性質及應用，  學生活動  設計意圖 幫 助 學 生 分 析 中 考 命 題 趨勢，分析二 次 函 數 的 綜 合 應 用 在 中 考的地位。引 1 ? 入 二．  這些知識是考查學生綜合能力， 解決實際問題的能力。因此函數 的實際應用和幾何、方程所組成 的綜合題是中考的熱點問題。我 們今天的任務是根據中考題型 講講二次函數的綜合應用。 1、如何求二次函數的解析式？ 最常用的方法是待定系數  待定系數法： 一設、二代、三解、四還原  起 學 生 對 二 次 函 數 的 重 視。 為 本 課 學 引

4、 入 法 2、拋物線 y=-x2 +bx+c 與數軸交 要求學生自己獨立完成解題過 于 A（﹣3，0）和 B（0，3）兩 情，解題思路: 點． 求此拋物線的解析式。 待定系數法： 習 內 容 做 好 鋪墊，復習用 待 定 系 數 法 求 二 次 函 數 新 課 (引自 2015 深圳中考) 直接把 A 和 B 兩點代入拋物 線 y=-x2 +bx+c 中，列出方程，求 出 b=-2 ，c= 3 ，再代入 y=-x2 +bx+c 中，求出拋物線解析式. 解：（1）∵拋物線 y=-x2 +bx+c 的 解 析 式 的 解 題 思 路 , 建 立數學

5、模型。 三． 猜 想 探 究  問題 1. 根據剛才做的練習題，在 已知條件不變的情況下，請同 學們作簡單的猜想 ,你還能得出 幾種結論? 說明你的思路。 (1) . 根據學生匯報，老師出示 結論 : （因為題目簡單，主要說 明解題思路，不做解答） 引入:拋物線 y=-x2 +bx+c 與數 軸交于 A（﹣3，0）和 B（0，3） 兩點．求 . 與 x 軸交于 A（﹣3，0）和 B（0，3）兩點， ∴ ì-9-3b +c =0 í c =3 解得：b=-2，c= 3， ∴拋物線解析式為： y=?x2?2x+3 （1

6、）問題較簡單，學生先思考，（ 1 ） 開放問 再提問。 題 的 設 置 不 (2) 引導學生自己提出問題， 但 激 發(fā) 學 生 自己解決問題，根據學生匯報， 的求知欲，而 老師引導，重點引導學生說明解 且 通 過 設 開 題思路 。 放性問題，讓 解題思路： 學 生 加 深 對 變式一 : 直接把 A 和 B 兩點代 二 次 函 數 的 入拋物線 y=-x2 +bx+c 中，列出 圖像、性質的 2 【 分析】 變 式七 : 設 C 是拋物線對稱軸 上 的一動點，求使∠CBA=90° E ，求出點 C 的橫坐標，再求 擬 ） 方程，求出 b=-2

7、，c= 3， 變式二:求出拋物線解析式:y=  理解，體會數 形 結 合 在 解 ?x  2  ?2x+3, 利用配方法或頂點  題的應用。 變式一: 求 b,C 的值。 變式二 : ． 求這條拋物線的頂 點坐標。  法求頂點。 變式三:求出拋物線解析式:y=? x2?2x+3,另 y=0，可得。  (2) 培 養(yǎng) 學 生 的 觀 察 圖形、分析圖 形的能力。 變式三: 求這條拋物線與 X 軸 變式四 : 設直線的解析式為 的另一交點。 變式四: 求 A,B 所在直線的解 析式。 變式五 ：求這 A 、

8、B 兩點所在 的直線與拋物線的的對稱軸的 交點。  y=bx+c ，把 A（﹣3，0）和B （0，3）代入可求出 b=1、c=3. 可得 y=x+3 變式五：求出拋物線解析式:y= 變式六: 求 sin∠OAB 的值。 ? x 2 ? 2x+3, 利用對稱軸公式求 (以上 6 個變式自編) 對稱軸直線， x=-1, 把 x=-1 代 入直線的解析式 y=x+3 可得。 變式六:因為 OA=OB=3,所以 ∠OAB=45°，sin∠OAB=  2 2 問題 2.  要求:  (1) 開 放 問 題

9、請你進一步猜想， 如果以 （1）學生分組合作，小組匯報， 從 簡 單 的 問 上條件不變，在對稱軸上有一 動點，又可以得到什么結論 ?  老師巡查，指導小組疏通解題思 題 1, 到較為 請說明理由. 原題 : 拋物線 y=-x2 +bx+c 與數 軸交于 A（﹣3，0）和 B（0，3） 兩點． 路 (2)根據學生匯報，老師引導,師 生共同完成。 復 雜 的 問 題 2，添加了動 點 ， 從 靜 到 (1). 根據學生匯報，老師出示猜 想結論： （1） 變式七 : 過點 B 作 CB⊥ AB，交拋物線的對稱軸于點 C， 過點 C 作 CE⊥y 軸，

10、垂足為點 的點 C 的坐標 .（引自 2016 模 出 OE 的長，即可得到點 C 的 變式八 : 是否 存在點 P, P 是拋 縱坐標；  動，引導學生 猜想、思考， 去探索，培養(yǎng) 學 生 的 發(fā) 散 思維。 物線對稱軸上的一動點，使 P 到 AC 的距離與到 X 軸的距離 3 （2） 變式八 :當點 P 在∠CAB （2） 引導學 相等，求點 P 的坐標。 (2015 深圳中考) 變 式九 : 設點 P 是對稱軸上的 一個動點，當△ PBC 的周長最 小，求點 P 的坐標.（引自 2012  的平分線上時，過 P 作PM⊥AC，

11、 設出 P 點坐標，可表示出 PM 、 PF ，由角平分線的性質可得到 PM=PF ，可求得 P 點坐標；當  生分析題目， 培 養(yǎng) 學 生 雙 向 分 析 的 能 力，一方面要 ?泰順縣模擬） 點 P 在∠CAB 外角平分線上時， 學 會 分 析 條 變式十: 在對稱軸上是否存在點 M，使△MBC 為等腰三角形？若  同理可求得 P 點坐標； 解:（1）變式七， 如圖 1:過點  件，一看到條 件 就 要 想 到 存在，直接寫出所有符合條件的 B 作 點 M 的坐標；若不存在， 請說 CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于  相 應 的 知

12、 識 點。另一方面 明理由.（引自 2016 中考王例  點 C ，過點 C 作 CE⊥y 軸，垂 還 要 學 會 分 題）（老師只講解變式七和八，  足為點 E，  析 給 出 的 問 剩下的變式九、十留給學生課后 ∵y= ?x  2?2x+3,  題，要解決問 討論） ∴拋物線對稱軸為直線 x=-1 (2) 根據學生匯報，老師引導。 ∴CE=1，∵AO=BO=3， 重點引導學生說明解題思路 ,引 ∴∠ABO=45°，∴∠CBE=45°， 導學生分析問題的條件和分析 ∴BE=CE=1，∴OE=OB+BE=4， 問題的

13、結論。 ∴點 C 的坐標為(?1,4)； (2) 變式八:存在，分兩種情 況討論.  題 需 要 哪 些 條件的支撐。 幫 助 學 生 建 立數學模型， 使 學 生 自 我 形 成 解 題 的 技巧和方法。 當 P 在∠CAO 的平分線上時， （ 3 ）小組合 如圖 2，作 PM⊥AC， 設 P(?1,m),則 PF=m，PM=PC 5 ? sin∠ACF=( 5 ,4?m)， ∵PM=PF， 5 ∴ 5 (4?m)=m,m= 5 -1，  作，讓學生互 相 幫 助 、 提 點，相促進， 培 養(yǎng) 學 生 合 作 意 識 以 及 團隊精神。

14、(4) 體 會 數 形 ∴P 點坐標為 (?1,  5 -1  ) ；  結 合 思 想 和 當 P 在∠CAO 的外角平分線上 分 類 討 論 思 4 5 -1 5 -1 【 解析】 變式十一 : 2 時，如圖 3，作 PN⊥AC， 設 P(?1,n),則 PF =?n， 5 PN=PC ? sin∠ACF= 5 (4?n)， ∵PN=PF， 5 ∴ 5 (4?n)=?n, n=- 5 -1， ∴P 點坐標為 (?1, - ) ； 綜上可知存在滿足條件的 P  想。 點

15、 , 其坐標為 (?1, 或 (?1, - ) ；  5 -1  ) 問題 3.  要求: 請你進一步猜想，如果條 （1）學生分組合作，小組匯報， 件不變，拋物線上有一動點， 老師巡查，指導小組疏通解題思 又可以得到什么結論 ? 或添加 條件， 又可以得到什么結論 ? 路 請你說明理由。 (2)根據學生匯報，老師引導,師 (1). 根據學生匯報，老師出示猜 生共同完成。 想結論： 變式十一 : 探究在拋物線上是 假設在在拋物線上存在點 P，使 否存在點 P，使得△APB 的面積 得△APB 的面積等于 3，連接 PA， 等于

16、 3？若存在，求出點 P 的坐 PB，過 P 作 PD⊥AB 于點 D，作 PH∥y 軸交AB 于點F，在Rt△OAB 標；若不存在，請說明理由。 (1) 開 放 性 問 題 從 簡 單 到 復 雜 ， 從 易 到 難 ， 從 靜 到 動 ， 從 點 到 線 ， 層 層 深 入 ， 引 導 學 生 展 開 想 象 的 翅 膀 ， 最 終 使 學 生 獲 得 創(chuàng) 造 性 思 維 的 (2016 模擬) 中易求 AB= OA2 +OB 2 =3 2 , (2) 題 目 的 變式十二 : 設 G 是拋物線上一 設點 P 的坐標為（m，-m -2m+

17、3）， 難 度 逐 漸 增 點，GE 垂直于 X 軸交于點 E,交 直線于點 K，求線段 GK 的長度? 當 X 取何值時，線段 GK 的長度 有最大值，最大值是多少 ? 探 5  設點 H 的坐標為（m，m+3），再 分兩種情況①當點 P 在直線 AB 上方時，②當點 P 在直線 AB 下 方時分別討論求出符合條件點 P 的坐標即可． 解: 假設在在拋物線上存在點 大，需要進行 分類討論，使 學 生 既 有 成 就 感 又 有 挑 AB= 2 2 究在拋物線上是否存在點 N，使 P，使得△APB 的面積等于 3，如  戰(zhàn)性。

18、 得四邊形 B、G、K、N 為平行四 圖 2:連接 PA,PB,過 P 作 PD⊥AB (3) 小 組 合 邊形，求點 N 的坐標。(自編) （老師只講解變式十一，剩下的 變式十二留給學生課后討論）  于點 D,作 PH∥y 軸交 AB 于點H, 在 Rt△OAB 中,易得 OA 2 +OB 2 =3 2  作，讓學生互 相 幫 助 、 提 點 ， 互 相 促 (2) 根據學生匯報，老師引導。 ∵S△APB=3，∴PD=  2  進，培養(yǎng)學生 重點引導學生說明解題思路 ,引 導學生分析問題的條件和分析 問題的結論。 

19、∵∠PHD=∠ABO=45° ,∴PH=2， 設點 P 的坐標為(m,? m ?2m+3)， ∵A(?3,0), B(0,3)， ∴直線 AB 的解析式為 y=x+3， ∴可設點 H 的坐標為(m,m+3)， ①當點 P 在直線 AB 上方時， 可得：?m 2?2m+3=m+3+2， 解得：m=?1 或?2， ∴ 符 合 條 件 的 點 P 坐 標 為 (?1,4) 或 (?2,3)， ②當點 P 在直線 AB 下方時， 可得：?m ?2m+3=m+3?2， 解 -3 +17 的合作意識 以及團隊精 神。 （4 ）體會數 形 結 合 思 想 和 分 類

20、 討 論 思想。 得：m= m = 2 -3 - 17 2 ，或 ∴ 符合條件的點 P 坐標為 -3 + 17 -1 +17 ( 2 , 2 ) 或 -3- 17 -1 - 17 ( 2 , 2 ) 綜上可知符合條件的點 P 有 4 個,坐標分別為： (?1,4) 或  (?2,3)  或 6 2 四． 方 法 總 結  -3 + 17 -1 +17 ( 2 , 2 ) 或 -3- 17 -1 - 17 2 , 2 ). ( 師生共同完成

21、 1、求函數的解析式： 待定系數法 2、以動點為載體，探求函數關系的問題 (1) 動中覓靜：動點問題首先要清楚哪些點在動，哪些點或線段跟 隨動，動中覓靜就是要在運動過程中找到不變量、不變關系. 如變式八: 設 P 是拋物線對稱軸上的一動點，使P 到 AC 的距離與 到 X 軸的距離相等，求點P 的坐標。到 AC 的距離與到 X 軸的距離 相等的點在角平分線上，由角平分線的性質可得到 PM=PF。 （2 ）平行于 y 軸的線段的長度往往可以用點的縱坐標來表示。 3、以動點為載體，探求存在性問題 （1） 要關注特殊情況下，圖形的特殊性質，從而找到題目應該滿 足的條件。 （

22、2） 動點問題，關鍵是會把一些變化的線段用含 m 的式子表示出 來，并根據條件列出方程。如變式十:一點P 的坐標為(m,? m ?2m+3) (3) 注意存在問題的題型的解題思路，一般情況都要進行分類討 論，有多個結果，不要漏了。  總 結 方 法，幫助學生 建 立 數 學 模 型，使學生自 我 形 成 解 題 的 技 巧 和 方 法 7 五. 拓 展  作業(yè): （一）、(2017 廣東中考) 23.如圖 23 圖，在平面直角坐標系 中，拋物線 y =-x2 +ax +b 交 x 軸于 A(1,0),B(3,0)兩點，點 P

23、是拋物線上在第一象限內的一點，直線 BP 與 y 軸相交于點 C.  (1). 真題演 練，讓學生感 受中考題。 (2). 學生學 （1） 求拋物線  y =-x  2  +ax +b 的解析式；  以致用，舉一 （2） 當點 P 是線段 BC 的中點時，求點 P 的坐標； （3） 在（ 2）的條件，求 sin DOCB 的值 .  反三，運用自 我 形 成 的 解 題 技 巧 和 方 法，使學生既 有 成 就 感 又 有挑戰(zhàn)性。 (二)、（2018 廣東中考）23. 如圖，已知頂點為 C（0，﹣3）的 拋物線 y=ax2

24、+b（a≠0）與 x 軸交于 A，B 兩點，直線 y=x+m 過頂 點 C 和點 B． (1) (2) 、求 m 的值； 、求函數 y=ax2  +b（a≠0）的解析式； (3) 、拋物線上是否存在點 M，使得∠MCB=15°？若存在，求出 點 M 的坐標；若不存在，請說明理由． 8 六． 設 計 說 明  這次教學設計的內容是二次函數的綜合應用，在設計的各題的變式和拓展中 含括了動點背景下所涉及的三個常見問題：函數問題、動態(tài)問題、存在問題。這 些類型問題對于優(yōu)生來說可能問題不大，但對于中下層生來說就是一

25、大困難，因 此，我在講解題目時，注意培養(yǎng)學生雙向分析的能力，一方面要學會分析條件， 一看到條件就要想到相應的知識點。另一方面還要學會分析問題，要解決問題需 要哪些條件的支撐。同時我在開放問題中，從簡單的問題1 到較為復雜的問題2， 再到復雜的問題 3，添加了動點，動點從對稱軸到拋物線上，從求點的坐標到求 角、到求三角形面積，從靜到動，從多方面、多角度地思考問題，從簡單到復雜從， 容易到困難,從點到線，層層深入探索，引導學生展開想象的翅膀，最終使學生獲得創(chuàng) 造性思維的培養(yǎng)。同時難度逐漸增,大使學生既有成就感又有挑戰(zhàn)性。讓學生小組合 作，充分給予學生討論和發(fā)表意見的機會,讓學生互相幫助、提點，互相促進，這樣對 中下層生的幫助很大，培養(yǎng)學生的合作意識以及團隊精神。注重數學學習方法的提煉 與小結, 使學生自我形成解題的技巧和方法。 9